第1章 一题一课 一元二次不等式恒成立问题(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义聚焦一元二次不等式恒成立问题，覆盖全域恒成立、区间限定、参数变量互换、解的个数探究等核心考点，以母题引入为起点，通过分模块递进式探究构建知识体系。教学流程包含考点梳理、方法指导（数形结合、分类讨论等）、真题训练环节，帮助学生系统突破难点，体现复习的针对性。 资料创新采用问题驱动与角色转换策略，如探究三将参数视为变量构造函数，培养学生数学思维与模型意识。设置分层练习（基础例题到综合探究）并配合技法点拨，确保高效复习。助力学生提升恒成立问题的解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔ (2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔ 　　　　　人教A版必修第一册P58T6 感悟　母题考查由一元二次不等式在R上恒成立求参数问题，其核心是结合二次函数图象，紧扣开口方向与判别式两大关键，数形结合让抽象的代数式变得直观．本节课让我们一起来探究一元二次不等式恒成立的几种情况吧！ 探究一　“全域恒成立”探究参数 　(1)已知关于x的不等式kx2－6kx＋9≥0对任意x∈R恒成立，则实数k的取值范围是(　　) A．[0，1] B．(0，1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) (2)(多选)对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，则实数k可以是(　　) A．0 B．－24 C．－20 D．－2 【解析】　(1)当k＝0时，9>0恒成立，符合题意；当k≠0时，要使kx2－6kx＋9≥0对任意x∈R恒成立，只需 解得0<k≤1，综上实数k的取值范围是[0，1].故选A． (2)当k＝0时，不等式即为－3<0，不等式恒成立； 当k≠0时，若不等式恒成立， 则解得－24<k<0.综上，－24<k≤0，故选ACD． 【答案】　(1)A　(2)ACD 探究二　“区间限定”探究参数 　若不等式ln (2kx2＋kx－)<0，对任意x∈[1，2]恒成立，求k的取值范围． 【解】　原不等式等价于0<2kx2＋kx－<1对任意x∈[1，2]恒成立．若x∈[1，2]，则2x2＋x∈[3，10]，将2kx2＋kx－>0变形为k>，y＝在x∈[1，2]上的最大值为＝，所以k>.将2kx2＋kx－<1变形为k<，y＝在x∈[1，2]上的最小值为＝，所以k<.则实数k的取值范围为(，). 探究三　“角色互换”，由参数探究变量 　若不等式2kx2＋kx－<0，对任意0≤k≤1恒成立，求实数x的取值范围． 【解】　若不等式对任意0≤k≤1恒成立，则(2x2＋x)k－<0， 即解得－<x<. 所以实数x的取值范围为(－，). 探究四　“精准计数”，由解的个数探究参数 　若恰有一个整数x使得不等式2kx2＋kx－<0恒成立，求实数k的取值范围． 【解】　记f(x)＝2kx2＋kx－，若恰有一个整数x使得不等式恒成立，则k>0，因为－<0，且f(x)＝2kx2＋kx－图象的对称轴为直线x＝－＝－，所以该整数解为x＝0，结合二次函数f(x)＝2kx2＋kx－(k>0)的图象，可得即解得k≥.所以实数k的取值范围是[，＋∞). 【技法点拨】　恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． 1．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0为真命题，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：选D．因为命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0为真命题，即不等式ax2＋2x＋3>0的解集为R.若a＝0，则不等式ax2＋2x＋3>0可化为2x＋3>0，解得x>－，不等式的解集不是R，不符合题意；若a≠0，则根据一元二次不等式解集的形式可知解得a>.综上可知，a>. 2．若命题“∃x∈R，2kx2－2kx－1≥0”是假命题，则实数k的取值范围是(　　) A．(－2，0) B．(－2，0] C．(－∞，－2]∪(0，＋∞) D．(－∞，－2)∪[0，＋∞) 解析：选B．由题可得∀x∈R，2kx2－2kx－1＜0是真命题，当k＝0时，不等式显然成立．当k≠0时，可知函数y＝2kx2－2kx－1的图象恒在x轴下方，则解得－2＜k＜0.综上可得－2＜k≤0. 3．(2026·辽宁月考)已知关于x的不等式x2－(m＋3)x＋2m＋2≤0(m∈R)的整数解恰有4个，则m的取值范围为(　　) A．(－3，－2]∪[4，5] B．[－3，－2]∪[4，5) C．(－3，－2]∪[4，5) D．[－3，－2]∪[4，5] 解析：选C．由x2－(m＋3)x＋2m＋2≤0，得(x－2)[x－(m＋1)]≤0，因为该不等式的整数解恰有4个，则－2<m＋1≤－1或5≤m＋1<6，所以－3<m≤－2或4≤m<5. 4．已知当a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，求x的取值范围． 解：把不等式的左端看成关于a的函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，a∈[－1，1]，故由f(a)>0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得即 解得x<1或x>3. 学科网（北京）股份有限公司 $