第1章 一题一课 一元二次不等式恒成立问题(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔

(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔

　　　　　人教A版必修第一册P58T6

感悟　母题考查由一元二次不等式在R上恒成立求参数问题，其核心是结合二次函数图象，紧扣开口方向与判别式两大关键，数形结合让抽象的代数式变得直观．本节课让我们一起来探究一元二次不等式恒成立的几种情况吧！

探究一　“全域恒成立”探究参数

　(1)已知关于x的不等式kx2－6kx＋9≥0对任意x∈R恒成立，则实数k的取值范围是(　　)

A．[0，1]

B．(0，1]

C．(－∞，0)∪(1，＋∞)

D．(－∞，0]∪[1，＋∞)

(2)(多选)对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，则实数k可以是(　　)

A．0    B．－24  

C．－20     D．－2

【解析】　(1)当k＝0时，9>0恒成立，符合题意；当k≠0时，要使kx2－6kx＋9≥0对任意x∈R恒成立，只需 解得0<k≤1，综上实数k的取值范围是[0，1].故选A．

(2)当k＝0时，不等式即为－3<0，不等式恒成立；

当k≠0时，若不等式恒成立，

则解得－24<k<0.综上，－24<k≤0，故选ACD．

【答案】　(1)A　(2)ACD

探究二　“区间限定”探究参数

　若不等式ln (2kx2＋kx－)<0，对任意x∈[1，2]恒成立，求k的取值范围．

【解】　原不等式等价于0<2kx2＋kx－<1对任意x∈[1，2]恒成立．若x∈[1，2]，则2x2＋x∈[3，10]，将2kx2＋kx－>0变形为k>，y＝在x∈[1，2]上的最大值为＝，所以k>.将2kx2＋kx－<1变形为k<，y＝在x∈[1，2]上的最小值为＝，所以k<.则实数k的取值范围为(，).

探究三　“角色互换”，由参数探究变量

　若不等式2kx2＋kx－<0，对任意0≤k≤1恒成立，求实数x的取值范围．

【解】　若不等式对任意0≤k≤1恒成立，则(2x2＋x)k－<0，

即解得－<x<.

所以实数x的取值范围为(－，).

探究四　“精准计数”，由解的个数探究参数

　若恰有一个整数x使得不等式2kx2＋kx－<0恒成立，求实数k的取值范围．