第1章 周测一(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦集合与不等式核心内容，通过基础题型与创新情境结合，系统考查数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与常用逻辑用语|5题|并集/补集运算、充分必要条件判断、命题否定|从集合基本概念到逻辑关系推导，形成概念-运算-应用链条| |不等式应用|7题|基本不等式求最值、性质判断、恒成立问题|以不等式性质为基础，结合实际情境（矩形周长、等差数列）实现应用拓展| |创新题型|1题|新定义“封闭集”性质判断|通过集合定义与运算规则，考查抽象逻辑推理与知识迁移能力|

周测一 (满分：100分　时间：80分钟) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．(2026·陕西适应性检测)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|0≤x<3，x∈N}，则A∪B＝(　　) A．{0，1} B．{－1，0，1} C．{－1，0，1，2} D．{2} 解析：选C．集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{x|0≤x<3，x∈N}＝{0，1，2}，所以A∪B＝{－1，0，1，2}． 2．已知0<x<2，则y＝2x的最大值为(　　) A．2 B．4 C．5 D．6 解析：选B．因为0<x<2，所以y＝2x＝2≤2×＝4，当且仅当x2＝4－x2，即x＝时取等号． 3．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1≤x<2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≤1} B．{a|a＜1} C．{a|a≥2} D．{a|a>2} 解析：选C．由题意得∁RB＝{x|x<1或x≥2}．因为A∪(∁RB)＝{x|x<a}∪{x|x<1或x≥2}＝R，所以a≥2. 4．已知a<b<c，a＋b＋c＝0，则(　　) A．ab<b2 B．ac>bc C．＜ D．<1 解析：选C．因为a<b<c，a＋b＋c＝0，所以a<0<c，b的符号不能确定，当b＝0时，ab＝b2，故A错误；因为a<b，c>0，所以ac<bc，故B错误；因为a<0<c，所以<，故C正确；因为a<b，所以－a>－b，所以c－a>c－b>0，所以>1，故D错误． 5．设a，b∈R，则“ab<0”是“＋＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C．当ab<0时，或 则＋＝0，即充分性成立；当＋＝0时，＝－>0，则ab<0，即必要性成立．综上可知，“ab<0”是“＋＝0”的充要条件． 6．已知不等式(x＋ay)(＋)≥16对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．9 解析：选D．因为(x＋ay)(＋)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝1＋a＋2，当且仅当＝且x>0，y>0时取等号，所以1＋a＋2≥16，整理得(＋5)·(－3)≥0，解得a≥9，故正实数a的最小值为9. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．下列四个结论中正确的是(　　) A．∃x，y∈R，x2＋y2－4x＋2y＋5＝0 B．命题“∃x∈R，3x2－2x－1>0”的否定是“∀x∈R，3x2－2x－1<0” C．∀x∈R，x2＋x> D．“a>b”是“a>b＋1”的必要不充分条件 解析：选AD．对于A，x2＋y2－4x＋2y＋5＝(x－2)2＋(y＋1)2＝0，解得x＝2，y＝－1，即存在x＝2，y＝－1，x2＋y2－4x＋2y＋5＝0，故A正确；对于B，根据存在量词命题的否定为全称量词命题知，命题“∃x∈R，3x2－2x－1>0”的否定为“∀x∈R，3x2－2x－1≤0”，故B错误；对于C，∀x∈R，x2＋x＝(x＋)2－≥－，故C错误；对于D，若a>b，则a>b＋1不一定成立，如a＝1>b＝0.5，但a＝1<b＋1＝1.5；反之，若a>b＋1，则a>b，所以“a>b”是“a>b＋1”的必要不充分条件，故D正确． 8．已知非空数集A⊆R，同时满足以下两个性质：(1)若a，b∈A，则ab∈A；(2)若a∈A，则∈A，则称A为一个“封闭集”．以下说法正确的是(　　) A．若A为一个“封闭集”，则1∈A B．若A为一个“封闭集”，且a，b∈A，则∈A C．若A，B都是“封闭集”，则A∩B是“封闭集”的充要条件是A⊆B或B⊆A D．若A，B都是“封闭集”，则A∪B是“封闭集”的充要条件是A⊆B或B⊆A 解析：选ABD．对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若a∈A，则∈A，那么a×＝1∈A，A正确；对于B，因为A为一个“封闭集”，a，b∈A，所以∈A，所以∈A，B正确；对于C，不妨取A＝{，1，2}，B＝{，1，3}，则A，B，A∩B＝{1}都是“封闭集”，显然A⊆B或B⊆A不成立，C错误；对于D，充分性：A，B都是“封闭集”，若A⊆B或B⊆A，易知A∪B是“封闭集”．必要性：若A∪B是“封闭集”，令A∪B＝C，假设A⊆B或B⊆A不成立，则存在a∈A，a∉B，b∈B，b∉A，同时a∈C，b∈C，因为A∪B＝C是“封闭集”，所以ab∈C，∈C，分两类情况讨论，若ab∈A，又当a∈A时，∈A，所以ab×＝b∈A，这与假设矛盾，若ab∉A，又当b∈B时，∈B，所以ab×＝a∈B，这与假设矛盾，故假设不成立，原结论A∪B是“封闭集”，则A⊆B或B⊆A成立，即必要性成立，D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．(2026·上海月考)已知a，b∈R，且－2＜a＜b＜3，则a－b的取值范围是__________． 解析：由－2＜b＜3得－3＜－b＜2，又－2＜a＜3，所以由不等式的性质可得－5＜a－b＜5，又因为a＜b，所以a－b＜0，因此－5＜a－b＜0. 答案：－5＜a－b＜0 10．周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边．现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若这两个直角三角形的“弦”的长度为2，则该矩形周长的最大值为________． 解析：方法一：设矩形的一组邻边长为a，b，则该矩形的周长为2(a＋b)，且a2＋b2＝8. a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2()2＝(a＋b)2，即a＋b≤＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，所以2(a＋b)≤8，即该矩形周长的最大值为8. 方法二：设矩形的一组邻边长为a，b，则该矩形的周长为2(a＋b)，且a2＋b2＝8. ≤＝＝2，当且仅当a＝b＝2时取等号，所以a＋b≤4，所以2(a＋b)≤8，即该矩形周长的最大值为8. 答案：8 11．在1和11之间插入m个数，使得这m＋2个数成等差数列．若这m个数中第1个为a，第m个为b，则＋的最小值是________． 解析：由题意知a＋b＝1＋11＝12，1<a<b<11，则＋＝1，所以＋＝(＋)(＋)＝＋＋＋≥＋2＝3，当且仅当＝，a＋b＝12，即b＝10，a＝2时，等号成立，此时a，b满足1<a<b<11，所以＋的最小值是3. 答案：3 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)已知集合A＝{x|0<x<3}，B＝{x|a－3<x<2a－1}． (1)若a＝4，求(∁RA)∪B；(6分) (2)若A∪B＝B，求实数a的取值范围．(7分) 解：(1)由a＝4得，B＝{x|1<x<7}， 因为A＝{x|0<x<3}，∁RA＝{x|x≤0或x≥3}，所以(∁RA)∪B＝{x|x≤0或x>1}． (2)因为A∪B＝B，所以A⊆B． 由于A＝{x|0<x<3}，故B≠∅， 可得解得2≤a≤3. 故实数a的取值范围为{a|2≤a≤3}． 13．(本小题满分15分)已知a>b>1. (1)证明：<；(6分) (2)若a＋b＝5，求＋的最小值．(9分) 解：(1)证明：因为a>b>1，所以a－1>0，b－1>0，b－a<0， 所以－＝＝<0，所以<. (2)因为a>b>1，所以a－1>0，b＋1>0. 又a＋b＝5，所以＋＝[(a－1)＋(b＋1)]·(＋)＝[5＋＋]≥×(5＋2)＝， 当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，所以＋的最小值是. 14．(本小题满分15分)已知命题p：“∀x∈R，x2＋ax＋4≠0(a>0)”是真命题． (1)求实数a的取值所构成的集合A；(7分) (2)在(1)的条件下，设不等式|1－|<b的解集为非空集合B，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数b的取值范围．(8分) 解：(1)因为命题p：“∀x∈R，x2＋ax＋4≠0(a>0)”是真命题，所以方程x2＋ax＋4＝0无解． 所以Δ＝a2－16<0，解得－4<a<4，因为a>0，所以0<a<4，所以实数a的取值所构成的集合A＝{a|0<a<4}． (2)因为|1－|<b，所以－b<1－<b，解得3－3b<x<3＋3b， 所以B＝{x|3－3b<x<3＋3b}．又“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B⊆A． 因为B≠∅，所以 解得0<b≤. 所以实数b的取值范围是{b|0<b≤}． 学科网（北京）股份有限公司 $