第1章 第6讲 二次函数(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义聚焦二次函数核心考点，涵盖解析式三种形式、图象与性质及闭区间最值等内容，按“定义-形式-性质-应用”逻辑架构知识点。通过考点梳理（表格对比a正负下的性质）、方法指导（三种解析式求法归纳）、真题训练（判断正误、例题解析）等环节，帮助学生构建知识网络，突破图象分析、最值求解等难点。 讲义采用“问题驱动-方法归纳-素养提升”模式，如求解析式时对比一般式、顶点式、零点式培养数学思维，图象分析用“看开口、对称轴、特殊点”策略发展几何直观。设置分层练习（基础判断、中档例题、综合变式），配合即时方法总结，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第6讲　二次函数 课标要求　1.理解并掌握二次函数的图象与性质．　2.能用二次函数的图象与性质解决简单问题． 1．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． 2．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 定义域 R R 值域 [，＋∞) (－∞，] 单调性 在(－∞，－]上单调递减； 在[－，＋∞)上单调递增 在上单调递增； 在[－，＋∞)上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 常用结论　 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况： (1)当－≤ m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)； (2)当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f(n)； (3)当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f(m)； (4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m). 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.(　　) (2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[m，n])的最值一定是.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．(用结论)函数f(x)＝x2－2x＋4，x∈[0，3]，则函数f(x)的最大值是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选D．函数f(x)＝x2－2x＋4的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，可知函数f(x)的最大值为f(3)＝9－6＋4＝7. 3．(必修第一册P100T4改编)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为____________． 解析：依题意知，≥20或≤5，解得k≥160或k≤40. 答案：(－∞，40]∪[160，＋∞) 4．已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为________________． 解析：由题意，可设f(x)＝a(x－2)2－4(a>0)，又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，解得a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x. 答案：f(x)＝x2－4x 考点一　二次函数的解析式 　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式． 【解】　方法一(利用一般式)： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0). 由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 方法二(利用顶点式)： 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a<0). 因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为直线x＝＝，所以m＝.根据题意，函数有最大值8，所以n＝8， 所以f(x)＝a(x－)2＋8. 因为f(2)＝－1，所以a(2－)2＋8＝－1， 解得a＝－4，所以f(x)＝－4(x－)2＋8 ＝－4x2＋4x＋7. 方法三(利用两根式)： 由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a<0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数f(x)有最大值8， 即＝8， 解得a＝－4.故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 【感悟进阶】　求二次函数解析式的策略 　已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离为2，则二次函数的解析式为____________． 解析：因为二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以可设二次函数为y＝a(x＋3)·(x－1)(a≠0)，整理得y＝ax2＋2ax－3a，顶点的纵坐标为＝－4a，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2，所以|－4a|＝2，即a＝±，所以二次函数的解析式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋.　 答案：y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋　 考点二　二次函数的图象 　(多选)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则(　　) A．b>0 B．c>0 C．2b＋c<0 D．f(＋x)＝f(－x) 【解析】　由题图，知a>0，c>0，－＝1＋2＝3，即b＝－3a，所以b<0，所以A错误，B正确；因为f(2)＝4a＋2b＋c＝0，所以2b＋c＝－4a<0，所以C正确；因为函数f(x)图象的对称轴为直线x＝，则f(＋x)＝f(－x)，所以D正确． 【答案】　BCD 【感悟进阶】　识别二次函数图象应学会“三看” 　1.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则函数f(x)的图象可能是(　　) 解析：选D．由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c<0，所以函数图象开口向上，排除A，C；又f(0)＝c<0，排除B．故选D． 2．(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c<0 C．9a＋3b＋c<0 D．abc<0 解析：选ACD．由题中二次函数图象开口向下知a<0，对称轴为直线x＝－＝1，即2a＋b＝0，故b>0.又因为f(0)＝c>0，所以abc<0，f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0.故选ACD． 考点三　二次函数的性质 　已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a>0)，若f(x)在区间[2，3]上有最大值5，最小值2. (1)求a，b的值； (2)若g(x)＝f(x)－mx在[2，4]上单调，求m的取值范围． 【解】　(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a(a＞0).易知f(x)在[2，3]上单调递增，故 即解得 (2)因为f(x)＝x2－2x＋2，则g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，因为g(x)在[2，4]上单调，所以≤2或≥4，解得m≤2或m≥6.故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞). 【感悟进阶】　二次函数性质问题的类型及求解策略 (1)类型：①对称轴和区间都是固定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴固定，区间动． (2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解． 　已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值． 解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，函数f(x)图象的对称轴为直线x＝－∈[－2，3]，所以f(x)min＝f(－)＝－－3＝－，f(x)max＝f(3)＝15，所以f(x)的值域为[－，15]. (2)函数f(x)图象的对称轴为直线x＝－. 当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，　 所以6a＋3＝1，即a＝－，满足题意； 当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， 所以－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意． 综上可知，a＝－或a＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $