第1章 第6讲 二次函数(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

第6讲　二次函数

课标要求　1.理解并掌握二次函数的图象与性质．　2.能用二次函数的图象与性质解决简单问题．

1．二次函数解析式的三种形式

(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．

(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．

2．二次函数的图象和性质

常用结论　

二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况：

(1)当－≤ m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)；

(2)当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f(n)；

(3)当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f(m)；

(4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m).

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.(　　)

(2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．(　　)

(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[m，n])的最值一定是.(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×

2．(用结论)函数f(x)＝x2－2x＋4，x∈[0，3]，则函数f(x)的最大值是(　　)

A．4    B．5  

C．6    D．7

解析：选D．函数f(x)＝x2－2x＋4的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，可知函数f(x)的最大值为f(3)＝9－6＋4＝7.

3．(必修第一册P100T4改编)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为____________．

解析：依题意知，≥20或≤5，解得k≥160或k≤40.

答案：(－∞，40]∪[160，＋∞)

4．已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为________________．

解析：由题意，可设f(x)＝a(x－2)2－4(a>0)，又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，解得a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x.

答案：f(x)＝x2－4x

考点一　二次函数的解析式

　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求

二次函数f(x)的解析式．

【解】　方法一(利用一般式)：

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0).

由题意得解得

所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

方法二(利用顶点式)：

设f(x)＝a(x－m)2＋n(a<0).

因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为直线x＝＝，所以m＝.根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，

所以f(x)＝a(x－)2＋8.

因为f(2)＝－1，所以a(2－)2＋8＝－1，

解得a＝－4，所以f(x)＝－4(x－)2＋8

＝－4x2＋4x＋7.

方法三(利用两根式)：

由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，

故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a<0)，

即f(x)＝ax2－ax－2a－1.

又函数f(x)有最大值8，

即＝8，

解得a＝－4.故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

【感悟进阶】　求二次函数解析式的策略