第1章 第7讲 一元二次不等式 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦不等式与集合综合应用，以分类讨论、函数思想为主线，构建从基础求解到含参综合的方法体系，培养数学推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础求解|1-3题|因式分解法、分式不等式转化|集合运算→一元二次不等式→高次不等式，层层递进| |含参讨论|5、9、11题|参数分类标准确立、解集端点分析|参数影响不等式类型→分类讨论求解→解集整合，体现逻辑推理| |综合应用|4、10、13、14题|存在性与恒成立转化、函数图像与根分布|不等式与函数结合→利用函数性质求参数范围，强化模型观念|

1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x<4}，集合B＝{x||x|≥2}，则(∁UB)∪A＝(　　) A．(－2，4) B．(－4，2) C．(－2，2) D．(－4，4) 解析：选A．由x2－3x<4，即(x＋1)(x－4)<0，解得－1<x<4，所以A＝{x|－1<x<4}，由|x|≥2，解得x≤－2或x≥2，所以B＝{x|x≤－2或x≥2}，所以 ∁UB＝{x|－2<x<2}，所以(∁UB)∪A＝(－2，4). 2．不等式≤1的解集为(　　) A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2<x≤1} C．{x|x≤－2或x>1} D．{x|x<－2或x≥1} 解析：选D．≤1，即≤0，即解得x≥1或x<－2. 3．不等式(x2－2x－3)(x2－4x＋4)<0的解集是(　　) A．{x|x<－1，或x>3} B．{x|－1<x<2，或2<x<3} C．{x|－1<x<3} D．{x|－2<x<3} 解析：选B．(x2－2x－3)(x2－4x＋4)<0可化为(x－3)(x＋1)(x－2)2<0，当x＝2时，不等式显然不成立；当x≠2时，(x－2)2>0，所以原不等式等价于(x－3)(x＋1)<0，解得－1<x<3.综上，原不等式的解集为{x|－1<x<2，或2<x<3}． 4．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞) C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6) 解析：选A．原问题等价于存在x∈(1，4)，使a<x2－4x－2成立，设y＝x2－4x－2＝(x－2)2－6，当x∈(1，4)时，y∈[－6，－2)，所以a<－2. 5．(多选)解关于x的不等式ax2＋(2－4a)x－8>0，则下列说法中正确的是(　　) A．当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4} B．当a<0时，不等式的解集为{x|x>4或x<－} C．当a<0时，不等式的解集为{x|－<x<4} D．当a＝－时，不等式的解集为∅ 解析：选AD．当a＝0时，不等式为2x－8>0，解得x>4，故A正确；由ax2＋(2－4a)x－8>0可得(ax＋2)(x－4)>0，当即a<－时，不等式的解集为{x|－<x<4}；当即－<a<0时，不等式的解集为{x|4<x<－}；当a＝－时，－＝4，此时不等式的解集为∅，故B，C不正确，D正确． 6．(多选)若关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为M＝{x|－1<x<2}，则下列选项正确的是(　　) A．不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}　 B．4a＋2b＋c<0 C．不等式≤2的解集为{x|1<x≤2} D．设关于x的不等式ax2－bx＋c＋1>0的解集为N，则M⊆N 解析：选ABD．关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为M＝{x|－1<x<2}，则a<0，且关于x的方程ax2－bx＋c＝0的根为x1＝－1，x2＝2.则解得则不等式ax2＋bx＋c>0等价为ax2＋ax－2a>0，所以解集为{x|－2<x<1}，A正确；4a＋2b＋c＝4a＋2a－2a＝4a<0，B正确；不等式≤2可化为≤2，即≥0，所以 所以解集为{x|x<1或x≥2}，C错误；设f(x)＝ax2－bx＋c，g(x)＝ax2－bx＋c＋1＝f(x)＋1，则函数f(x)的图象向上平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，如图，所以M⊆N，D正确． 7．若不等式x2＋x＋m2<0的解集不是空集，则实数m的取值范围为________． 解析：因为不等式x2＋x＋m2<0的解集不是空集，所以Δ>0，即1－4m2>0，所以－<m<. 答案：(－，) 8．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价p(元)之间的关系为p＝160－2x，生产x(x∈N)件所需成本为c(元)，其中c＝500＋30x，若要求每天获利不少于1 300元，则日销售量x的取值范围是________． 解析：设该厂每天获得的利润为y元，则y＝(160－2x)·x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，0<x<80，x∈N.根据题意知，－2x2＋130x－500≥1 300，解得20≤x≤45，x∈N.所以当20≤x≤45，x∈N时，每天获得的利润不少于1 300元． 答案：{x|20≤x≤45，x∈N} 9．(13分)已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0. (1)若该不等式的解集为(－4，2)，求a，b的值；(4分) (2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．(9分) 解：(1)根据题意得 解得 (2)当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b>0⇔x2－ax－(a＋1)<0，即[x－(a＋1)](x＋1)<0.当a＋1＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为∅；当a＋1<－1，即a<－2时，原不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＋1>－1，即a>－2时，原不等式的解集为(－1，a＋1).综上，当a<－2时，原不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＝－2时，原不等式的解集为∅；当a>－2时，原不等式的解集为(－1，a＋1). 10．关于x的方程x2－2ax＋1＝0的两根分别在(0，1)与(1，3)内，则实数a的取值范围为(　　) A．1<a< B．a<1或a> C．－1<a< D．－<a<－1 解析：选A．令f(x)＝x2－2ax＋1.因为关于x的方程x2－2ax＋1＝0的两根分别在(0，1)与(1，3)内，所以即所以1<a<. 11．若关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为(　　) A．(6，7] B．[－3，－2) C．[－3，－2)∪(6，7] D．[－3，7] 解析：选C．不等式x2－(m＋2)x＋2m<0即(x－2)(x－m)<0.当m>2时，不等式的解集为(2，m)，此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是3，4，5，6，故6<m≤7；当m＝2时，不等式的解集为∅，此时不符合题意；当m<2时，不等式的解集为(m，2)，此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是－2，－1，0，1，故－3≤m<－2.综上，实数m的取值范围为[－3，－2)∪(6，7]. 12．(多选)已知关于x的不等式a(x－1)(x＋3)＋2>0的解集是(x1，x2)，则下列结论正确的有(　　) A．x1＋x2＋2＝0 B．x1x2＋3<0 C．|x1－x2|<4 D．x1<－3，x2>1 解析：选ABD．因为关于x的不等式a(x－1)·(x＋3)＋2>0的解集是(x1，x2)，其中x1<x2，所以a<0，且x1，x2是方程ax2＋2ax＋2－3a＝0的两根，所以x1＋x2＝－2，x1x2＝＝－3，所以x1＋x2＋2＝0，x1x2＋3＝<0，故A，B正确； 又因为|x1－x2|＝ ＝2>4，故C错误； 作出y＝a(x－1)(x＋3)和y＝－2的图象，则x1，x2为两函数图象交点的横坐标，由图象可知x1<－3，x2>1，故D正确． 13．(15分)已知函数f(x)＝x2＋2ax－a＋2. (1)若∃x∈[－1，1]，使得f(x)≥0成立，求实数a的取值范围；(7分) (2)若对于∀a∈[－1，1]，f(x)>0恒成立，求实数x的取值范围．(8分) 解：(1)若∃x∈[－1，1]，使得f(x)≥0成立，则f(x)max≥0，x∈[－1，1]. 函数f(x)图象的对称轴方程为x＝－a. 当－a≤0，即a≥0时，f(x)max＝f(1)＝a＋3≥0，得a≥－3，所以a≥0. 当－a>0，即a<0时，f(x)max＝f(－1)＝3－3a≥0，得a≤1，所以a<0. 综上可得，实数a的取值范围是R. (2)因为对于∀a∈[－1，1]，f(x)>0恒成立，令g(a)＝(2x－1)a＋x2＋2， 则g(a)>0在[－1，1]上恒成立， 所以解得x≠－1， 故实数x的取值范围是{x|x≠－1}． 14．(新定义)在R上定义运算：a⊕b＝a(b＋1).已知－1≤x≤1时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<0成立，则实数m的取值范围为(　　) A．{m|－2<m<1} B．{m|1<m<2} C．{m|－3<m<1} D．{m|－1<m<2} 解析：选A．依题意不等式(m－x)⊕(m＋x)<0，即(m－x)(m＋x＋1)<0， 即(x－m)(x＋m＋1)>0，化简得x2＋x－m2－m＞0，则当－1≤x≤1时，存在x使不等式x2＋x>m2＋m成立． 令f(x)＝x2＋x，x∈[－1，1]，因为f(x)＝(x＋)2－在[－1，－)上单调递减，在(－，1]上单调递增， 且f(－1)＝0，f(1)＝2，f(－)＝－， 所以f(x)∈[－，2]， 所以m2＋m<2，解得－2<m<1， 即实数m的取值范围为{m|－2<m<1}． 学科网（北京）股份有限公司 $