第1章 第4讲 基本不等式(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

第4讲　基本不等式

课标要求　1.了解基本不等式的推导过程．　2.掌握基本不等式≤(a，b>0).　3.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．

1．基本不等式：≤

(1)基本不等式成立的条件是a>0，b>0；

(2)等号成立的条件是：当且仅当a＝b时取等号；

(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．

提醒　应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错．

2．基本不等式与最值

已知x>0，y>0，则

(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)；

(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).

常用结论　

1．＋≥2(ab>0).

2．ab≤()2(a，b∈R).

3．≥()2(a，b∈R).

4．≥≥(a>0，b>0).

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)

(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　)

(3)ab≤()2成立的条件是ab>0.(　　)

(4)函数f(x)＝sin x＋(0<x<)的最小值为2. (　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．已知m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　)

A．9    B．18  

C．9    D．27

解析：选B．因为m＞0，n＞0，由基本不等式得m＋n≥2，即m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，所以m＋n的最小值是18.

3．已知x>1，则x＋的最小值为(　　)

A．1    B．2  

C．3    D．4

解析：选C．因为x>1，所以x－1>0，所以x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时等号成立，故x＋的最小值为3.

4．(必修第一册P46例3(2)改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.

解析：设矩形场地的相邻边长分别为x m，y m，则x＋y＝10，所以矩形场地的

面积为S＝xy≤()2＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号．

答案：25

5．(用结论)若a>0，b>0，且a＋b＝1，则a2＋b2的最小值为________．

解析：由≥()2，得a2＋b2≥(a＋b)2＝，当且仅当a＝b＝时等号成立．

答案：

考点一　直接法求最值

　(1)(2025·漯河高级中学期中)已知0＜a＜，则a的最大值为(　　)

A．    B．  

C．1    D．

(2)若实数x，y满足x＋2y＝1，则2x＋4y的最小值为________．

【解析】　(1)因为0＜a＜，所以2－a2＞0，所以a＝≤＝1，当且仅当a2＝2－a2，即a＝1时取等号，所以a的最大值为1.

(2)2x＋4y≥2＝2＝2＝2，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时，等号成立，故2x＋4y的最小值为2.

【答案】　(1)C　(2)2

【感悟进阶】　利用基本不等式求“和”式的最小值时，一般运用变形a＋b≥2(a，b>0)，这时必须确保“积”是定值；求“积”式的最大值时，一般运用变形ab≤()2(a，b∈R)，这时必须确保“和”是定值．

易错点　需检验是否满足等号成立的条件．