第1章 第4讲 基本不等式(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义围绕基本不等式核心考点，依据课标要求构建“概念梳理-结论拓展-方法应用”知识体系，通过正误判断巩固基础，分类讲解直接法、配凑法等四种求最值方法，结合真题训练帮助学生突破“一正二定三相等”难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义以数学思维和数学语言为导向，创新采用“方法归类+分层训练”模式，如常数代换法中通过等式变形构造“1”的代换，培养学生运算推理与模型应用能力。设置基础判断、例题解析、分层练习三级环节，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第4讲　基本不等式 课标要求　1.了解基本不等式的推导过程．　2.掌握基本不等式≤(a，b>0).　3.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件是a>0，b>0； (2)等号成立的条件是：当且仅当a＝b时取等号； (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 提醒　应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错． 2．基本不等式与最值 已知x>0，y>0，则 (1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)； (2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大). 常用结论　 1．＋≥2(ab>0). 2．ab≤()2(a，b∈R). 3．≥()2(a，b∈R). 4．≥≥(a>0，b>0). 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (2)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　) (3)ab≤()2成立的条件是ab>0.(　　) (4)函数f(x)＝sin x＋(0<x<)的最小值为2. (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　) A．9 B．18 C．9 D．27 解析：选B．因为m＞0，n＞0，由基本不等式得m＋n≥2，即m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，所以m＋n的最小值是18. 3．已知x>1，则x＋的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C．因为x>1，所以x－1>0，所以x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时等号成立，故x＋的最小值为3. 4．(必修第一册P46例3(2)改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 解析：设矩形场地的相邻边长分别为x m，y m，则x＋y＝10，所以矩形场地的面积为S＝xy≤()2＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号． 答案：25 5．(用结论)若a>0，b>0，且a＋b＝1，则a2＋b2的最小值为________． 解析：由≥()2，得a2＋b2≥(a＋b)2＝，当且仅当a＝b＝时等号成立． 答案： 考点一　直接法求最值 　(1)(2025·漯河高级中学期中)已知0＜a＜，则a的最大值为(　　) A． B． C．1 D． (2)若实数x，y满足x＋2y＝1，则2x＋4y的最小值为________． 【解析】　(1)因为0＜a＜，所以2－a2＞0，所以a＝≤＝1，当且仅当a2＝2－a2，即a＝1时取等号，所以a的最大值为1. (2)2x＋4y≥2＝2＝2＝2，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时，等号成立，故2x＋4y的最小值为2. 【答案】　(1)C　(2)2 【感悟进阶】　利用基本不等式求“和”式的最小值时，一般运用变形a＋b≥2(a，b>0)，这时必须确保“积”是定值；求“积”式的最大值时，一般运用变形ab≤()2(a，b∈R)，这时必须确保“和”是定值． 易错点　需检验是否满足等号成立的条件． 　1.函数f(x)＝(x>0)的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选B．f(x)＝＝x＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，故f(x)的最小值为3. 2．已知x＞1，y＞0，x＋y＝2，则(x－1)y的最大值是(　　) A． B． C． D．1 解析：选A．因为x＞1，y＞0，x＋y＝2，则x－1＞0，(x－1)＋y＝1，可得(x－1)y≤＝，当且仅当x－1＝y，即x＝，y＝时，等号成立，所以(x－1)y的最大值是. 考点二　配凑法求最值 　(1)已知a>1，则2a＋的最小值是(　　) A．2＋6 B．2＋4 C．4＋4 D．4＋6 (2)已知0＜x＜1，则x(4－3x)取得最大值时，x的值为________． 【解析】　(1)由题意得a－1>0，2a＋＝2a＋＝2a＋4＋＝2(a－1)＋＋6≥2＋6＝4＋6，当且仅当2(a－1)＝，即a＝＋1时，等号成立，所以2a＋的最小值是4＋6. (2)因为0＜x＜1，所以－3＜－3x＜0， 所以1＜4－3x＜4，所以x(4－3x)＝(3x)·(4－3x)≤()2＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，等号成立，故所求x的值为. 【答案】　(1)D　(2) 【感悟进阶】　利用配凑法求最值，最主要的是将式子配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式． 　1.若a＞0，b＞0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________． 解析：因为a＞0，b＞0，且a＋2b－4＝0，所以a＋2b＝4，所以ab＝a·2b≤×()2＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，所以ab的最大值为2. 答案：2 2．已知x＞1，则的最小值为________． 解析：因为x＞1，所以x－1＞0， ＝＝x－1＋2＋≥2＋2＝6，当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立． 答案：6 考点三　常数代换法求最值 　(1)若m＞0，n＞0，且3m＋2n＝mn，则3m＋2n的最小值为(　　) A．20 B．18 C．24 D．12 (2)若实数a，b，c满足a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝2，则＋的最小值为________． 【解析】　(1)将3m＋2n＝mn两边同时除以mn得，＋＝1，所以3m＋2n＝(3m＋2n)(＋)＝＋6＋6＋≥24，当且仅当＝且3m＋2n＝mn，即m＝4，n＝6时取等号．所以3m＋2n的最小值为24. (2)a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝2，则＋＝(＋)(a＋1＋b＋c)＝[5＋＋]≥[5＋2]＝3，当且仅当＝，即a＝1，b＋c＝1时取等号，则＋的最小值为3. 【答案】　(1)C　(2)3 【感悟进阶】　运用代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数). (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值． 　已知0<x<1，则＋的最小值是________． 解析：由0<x<1，得1－x>0. ＋＝(＋)[x＋(1－x)] ＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当＝，即x＝时，等号成立，所以＋的最小值是9. 答案：9 考点四　消元法或换元法求最值 　已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． 【解析】　方法一(消元法)：由x＋3y＋xy＝9，得x＝， 所以x＋3y＝＋3y ＝＝ ＝ ＝3(1＋y)＋－6 ≥2－6＝6， 当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号，所以x＋3y的最小值为6. 方法二(换元法)：由已知得9－(x＋3y)＝xy＝·x·3y≤·()2， 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号． 所以(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0， 令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0， 得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 【答案】　6 【感悟进阶】　利用消元法、换元法求最值的方法 (1)消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解． (2)换元法，求较复杂的式子的最值时，通常利用换元法将式子恰当变形，简化式子，再利用基本不等式求解． 　1.设x>0，y>0，xy＝2x＋y＋16，则xy的最小值为(　　) A． B．4 C． D．32 解析：选D．因为x>0，y>0，所以xy＝2x＋y＋16≥2＋16，当且仅当2x＝y时取等号．令t＝>0，得t2≥2t＋16，即t2－2t－16≥0，解得t≥4，此时≥4⇒xy≥32，当且仅当2x＝y，即x＝4，y＝8时取等号．所以xy的最小值为32. 2．若正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，则x＋y的最小值是________． 解析：正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，故y＝＝＋，故x＋y＝x＋＋＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立． 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $