重难点培优02 平面向量中的最值范围问题（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量最值范围这一高考核心考点，系统整合定义法、基底法、坐标法三大解题方法，结合向量三角不等式、极化恒等式等关键知识，构建“知识梳理-题型突破-分层训练”的复习体系，通过知识精讲明确方法本质，题型深研提炼通法变式，分层练习巩固基础与提升能力，帮助学生建立完整的解题思维链。 讲义以数学思维培养为核心，创新采用“题型分类+通法变式”教学策略，如在基底型最值问题中，通过梯形几何图形引导学生用基底统一向量表达，发展数学抽象与逻辑推理能力，设置7类典型题型及分层训练，配合即时反馈设计，确保高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

重难点培优02 平面向量中的最值范围问题内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 知识点01 平面向量求最值范围的三大方法 1 知识点02 向量三角不等式 2 知识点03 极化恒等式 2 题型深研·通法变式提能力 3 题型1 利用三角向量不等式求最值范围 3 题型2 平面向量基本定理基底型最值问题 4 题型3 向量数量积相关最值问题 7 题型4 向量模长类最值问题 9 题型5 向量含参取值范围问题 11 题型6 向量结合几何图形综合最值问题 13 题型7 极化恒等式求最值 16 分层进阶·双阶训练验成效 18 巩固过关 19 创新提升 19 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点01 平面向量求最值范围的三大方法 （1）定义法 定义法是依托向量本身的概念、线性运算与数量积运算完成转化的基础解题方法。 结合向量模长、夹角、数量积等核心定义，对题目给出的条件进行变形转化，梳理出清晰的等式或者不等式关系； 完成转化后，结合初中二次函数值域、高中基本不等式等代数工具，对整理后的代数式进行分析，求出对应目标的最值或是取值范围，最终得到题目的答案。 （2）基底法 基底法适用于不方便建系、但存在一组长度与夹角已知的固定向量的题型，核心是统一向量表达形式。 观察题干条件，挑选一组长度、夹角已知的非共线向量作为基底，把题目中所有零散向量，全部通过线性运算转化为这一组基底的线性组合； 利用向量加法、数乘、数量积运算律展开、化简目标表达式，构造出含有未知参数的关系式； 结合二次函数、基本不等式、三角函数取值范围等知识，对含参关系式分析计算，求出目标向量的最值或取值范围。 （3）坐标法 坐标法是解决向量最值问题最通用、最直观的方法，适合带有垂直、矩形、直角三角形等规则几何图形的题型。 根据图形特点建立合适的平面直角坐标系，将三角形、四边形等几何图形放置在坐标系中，用具体坐标标注图形上所有关键点，同时把题目中出现的向量全部转化为坐标形式； 将向量加减、数乘、数量积等全部运算转化为坐标之间的代数计算，去掉向量符号，变为纯代数式； 对化简后的代数式，灵活选用二次函数配方法、基本不等式、三角函数有界性等数学工具，求解目标向量模、数量积、参数的最值与取值范围。 知识点02 向量三角不等式 设任意两个向量，有不等式，当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立． 特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立． 知识点03 极化恒等式 极化恒等式用于把向量数量积转化为模长运算，简化最值计算，分两种常用形式： （1）平行四边形形式 若在平行四边形中，则 （2）三角形中点形式 在中，为的中点，所以 题型深研·通法变式提能力 题型1 利用三角向量不等式求最值范围 例1．已知向量满足，则的取值范围是__________． 变式1-1．已知向量，满足，，则的取值范围是_________. 变式1-2．设单位向量，已知，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 变式1-3．已知为等边三角形，AB=2，△ABC所在平面内的点P满足，的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型2 平面向量基本定理基底型最值问题 例2．如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 变式2-1．如图所示，在中，为上一点，且满足，则的最小值为__________. 变式2-2．如图所示，已知梯形中，，，E为线段的中点，且线段与的交点为F，设，． (1)用表示； (2)求的值； (3)若，点G在线段CD上运动，设，求的取值范围． 变式2-3．在直角梯形中，，，，E，F分别为，的中点，以A为圆心，为半径的圆交于G，点在弧上运动（如图）.若，其中，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型3 向量数量积相关最值问题 例3．已知向量，，满足，，，若，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 变式3-1．已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的最大值是________． 变式3-2．已知向量，满足，定义，若，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 变式3-3．已知向量，，且与的夹角为. (1)求； (2)求的最小值. 题型4 向量模长类最值问题 例4．已知，是两个非零向量，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式4-1．已知平面向量，，满足且，向量满足，则的最大值是______． 变式4-2．若向量满足，，则的最小值为________ 变式4-3．已知，，是在同一平面内的三个单位向量，且，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型5 向量含参取值范围问题 例5．在中，点是边上异于端点的一点，若，则的最小值为______． 变式5-1．已知，，与的夹角． (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 变式5-2．已知平面向量，，若在上的投影向量为，则的最大值为______． 变式5-3．已知点是单位圆劣弧上一点，，以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，设，则，如图所示，若，则实数的取值范围是___________． 题型6 向量结合几何图形综合最值问题 例6．已知点是的重心，若，，则的最小值是________． 变式6-1．如图，已知，均为等边三角形，，，分别为，，的中点，为内一点（含边界），，的最大值为________． 变式6-2．已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，若平面内动点P满足，则的最小值为_____. 变式6-3．如图，在中，为的中点，，，是圆心为、半径为的圆的动直径，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 题型7 极化恒等式求最值 例7．已知是边长为的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是 A． B． C． D． 变式7-1．的斜边等于4，点在以为圆心、1为半径的圆上，则的取值范围是 A． B． C． D． 变式7-2．如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（    ）    A． B． C． D． 变式7-3．铜钱，古代铜质辅币，大多为圆形方孔，其几何形状如图所示．若图中正方形ABCD的边长为2，圆O的半径为3，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，动点P在圆O上，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．8 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．已知O为的重心，若，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 2．若平面向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量的模的最大值为（     ） A． B． C． D． 3．在梯形中，，，，，点，分别在线段，上运动，若，则，求的最大值（     ） A． B． C． D． 4．已知圆的半径为2，弦长度为2，为圆上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知平面向量，满足，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．6 6．如图，在四边形中，，，是线段上的一动点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．若点G是所在平面上一点，且，H是直线上一点，，则的最大值是（    ） A．2 B．1 C． D． 8．（多选）已知，为非零向量，且满足，，则下列说法正确的有（   ） A．，夹角的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 9．已知，，若向量与向量的夹角为锐角，则实数的取值范围为____________________． 10．已知向量，满足，且，则的最大值是________． 11．已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为_______． 12．在中，、为边上的三等分点，，与所成的夹角为，则的最大值为_____ 13．在边长为4的菱形中，，以为直径的上半圆与交于点，是此半圆上的动点，则____________；的最大值是____________． 14．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.如图是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正六边形，正六边形的边长为是正六边形内部以及边界上任意一点，则的取值范围为_________. 创新提升 1．对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角．若非零向量，满足，向量，的夹角，且是整数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．青花瓷是中国瓷器的主流品种之一，常简称青花.图1是一个青花瓷圆盘，该圆盘可看作两个圆心重合的圆（如图2），若大圆半径为，小圆半径为2，点在大圆上，点在小圆上，，动点满足，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．在梯形中，，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最大值为_______________． 4．如图，中，点，，分别是线段，，的中点，设，，则__________（用，表示）；已知，，，则的最大值为__________．    8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优02 平面向量中的最值范围问题内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 知识点01 平面向量求最值范围的三大方法 1 知识点02 向量三角不等式 2 知识点03 极化恒等式 2 题型深研·通法变式提能力 3 题型1 利用三角向量不等式求最值范围 3 题型2 平面向量基本定理基底型最值问题 4 题型3 向量数量积相关最值问题 7 题型4 向量模长类最值问题 9 题型5 向量含参取值范围问题 11 题型6 向量结合几何图形综合最值问题 13 题型7 极化恒等式求最值 16 分层进阶·双阶训练验成效 18 巩固过关 19 创新提升 19 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点01 平面向量求最值范围的三大方法 （1）定义法 定义法是依托向量本身的概念、线性运算与数量积运算完成转化的基础解题方法。 结合向量模长、夹角、数量积等核心定义，对题目给出的条件进行变形转化，梳理出清晰的等式或者不等式关系； 完成转化后，结合初中二次函数值域、高中基本不等式等代数工具，对整理后的代数式进行分析，求出对应目标的最值或是取值范围，最终得到题目的答案。 （2）基底法 基底法适用于不方便建系、但存在一组长度与夹角已知的固定向量的题型，核心是统一向量表达形式。 观察题干条件，挑选一组长度、夹角已知的非共线向量作为基底，把题目中所有零散向量，全部通过线性运算转化为这一组基底的线性组合； 利用向量加法、数乘、数量积运算律展开、化简目标表达式，构造出含有未知参数的关系式； 结合二次函数、基本不等式、三角函数取值范围等知识，对含参关系式分析计算，求出目标向量的最值或取值范围。 （3）坐标法 坐标法是解决向量最值问题最通用、最直观的方法，适合带有垂直、矩形、直角三角形等规则几何图形的题型。 根据图形特点建立合适的平面直角坐标系，将三角形、四边形等几何图形放置在坐标系中，用具体坐标标注图形上所有关键点，同时把题目中出现的向量全部转化为坐标形式； 将向量加减、数乘、数量积等全部运算转化为坐标之间的代数计算，去掉向量符号，变为纯代数式； 对化简后的代数式，灵活选用二次函数配方法、基本不等式、三角函数有界性等数学工具，求解目标向量模、数量积、参数的最值与取值范围。 知识点02 向量三角不等式 设任意两个向量，有不等式，当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立． 特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立． 知识点03 极化恒等式 极化恒等式用于把向量数量积转化为模长运算，简化最值计算，分两种常用形式： （1）平行四边形形式 若在平行四边形中，则 （2）三角形中点形式 在中，为的中点，所以 题型深研·通法变式提能力 题型1 利用三角向量不等式求最值范围 例1．已知向量满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】∵ ∴ ∴，即； 当且仅当与方向相同或与至少有一个为零向量时取等号， ，即. 当且仅当与方向相反或与至少有一个为零向量时取等号， ∴的取值范围是 故答案为：. 变式1-1．已知向量，满足，，则的取值范围是_________. 【答案】 【详解】由于 ， 故答案为： 变式1-2．设单位向量，已知，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】设， 因为单位向量，， 则， 则，等号成立时方向相反， 故的最小值为. 故选：C 变式1-3．已知为等边三角形，AB=2，△ABC所在平面内的点P满足，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 所以，， 由平面向量模的三角不等式可得， 当且仅当与方向相反时，等号成立. 因此，的最小值为， 故选：C 题型2 平面向量基本定理基底型最值问题 例2．如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以， 显然，又三点共线，所以， 由基本不等式得，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最大值为． 变式2-1．如图所示，在中，为上一点，且满足，则的最小值为__________. 【答案】6 【详解】由可得， 由得， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6. 变式2-2．如图所示，已知梯形中，，，E为线段的中点，且线段与的交点为F，设，． (1)用表示； (2)求的值； (3)若，点G在线段CD上运动，设，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为，， 所以， 所以， 又E为线段的中点， 所以． （2）设，则， ， 因为共线，所以存在一个非零实数，使得，即， 所以，两式相除可得， 所以． （3）设，，， ， 因为， 所以， 所以，解得， 所以， 由对勾函数的性质可得，当时，． 变式2-3．在直角梯形中，，，，E，F分别为，的中点，以A为圆心，为半径的圆交于G，点在弧上运动（如图）.若，其中，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：建立如图所示的坐标系， 则，， 由得，， ，， ， ，其中， 所以当，即时，取得最大值． 题型3 向量数量积相关最值问题 例3．已知向量，，满足，，，若，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】已知，设，，， 则由得；由得， 由，平方得代入，得， 化简得： ，即， 则，因此只需要求的最小值， 由，不妨设，代入得： 即的最小值为， 因此的最小值为. 变式3-1．已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的最大值是________． 【答案】 【详解】由题意得，，则 ， 由最小值为，且由二次函数分析可知， 当时，取得最小值， 所以 ，解得， 又与的夹角为锐角，则，此时， 所以，设， 由, 又，故． 变式3-2．已知向量，满足，定义，若，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】设，， 由，得，所以，即， 所以， 设，则，即， 所以根据辅助角公式，，所以，即的最大值为. 变式3-3．已知向量，，且与的夹角为. (1)求； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得， 又，夹角，则. ， 故. （2）， 当时，最小值为. 题型4 向量模长类最值问题 例4．已知，是两个非零向量，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 因此，解得， 则， 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 变式4-1．已知平面向量，，满足且，向量满足，则的最大值是______． 【答案】 【详解】已知平面向量，，满足且， 设，，， ，代入坐标得： ， 可知点在圆心，半径为的圆上， 则的最大值等于原点到圆心的距离加上圆的半径， 即. 变式4-2．若向量满足，，则的最小值为________ 【答案】2 【详解】由，所以，所以， 又由， ， 所以， 所以， 当且仅当与同向时，等号成立. 所以的最小值为. 变式4-3．已知，，是在同一平面内的三个单位向量，且，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，是在同一平面内的三个单位向量，且， 所以，设，的夹角为，，的夹角为； 因为，，故，； 如图所示，，； 则有； 由 ， 由可知； 则 ； 因为，故，则； 可得； 故． 题型5 向量含参取值范围问题 例5．在中，点是边上异于端点的一点，若，则的最小值为______． 【答案】 【详解】在中，点是边上异于端点的一点，， 根据向量共线定理，可知，，． ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 变式5-1．已知，，与的夹角． (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，，. ∵ ， 代入，，， ∴ ， ∴ . （2）∵ 向量与的夹角为锐角， ∴ ，且两向量不同向. 先解不等式，展开得 ， 代入数值得 ， 整理得 ，解得 . 当两向量共线同向时，存在，使得， 由系数对应相等可得 ，解得 ，即， ∵ ，∴ ，需排除该值. 综上，实数的取值范围是. 变式5-2．已知平面向量，，若在上的投影向量为，则的最大值为______． 【答案】 【详解】由在上的投影向量为，则，由于考虑最大值， 不妨设，则， 当且仅当，解得，即时等号成立，所以的最大值为. 变式5-3．已知点是单位圆劣弧上一点，，以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，设，则，如图所示，若，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】依题意可得，，而，由， 得，则， 由，得，因此， 所以的取值范围是． 题型6 向量结合几何图形综合最值问题 例6．已知点是的重心，若，，则的最小值是________． 【答案】 【详解】 如图所示，已知，，则，化简得， 由，所以，当且仅当时等号成立， 由于点是的重心，所以，所以， 因为，即， 因此，所以的最小值是. 变式6-1．如图，已知，均为等边三角形，，，分别为，，的中点，为内一点（含边界），，的最大值为________． 【答案】 【详解】因为不共线，故以为基底向量. 因为是中点，所以，同理得， 因为是中点，所以，所以， ，， 综上， ， ， . 因为线性目标函数在可行域（含边界）上的最大值必在顶点处取得， 当与重合时：，得，； 当与重合时：，得，； 当与重合时：，得，； 显然，因此的最大值为. 变式6-2．已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，若平面内动点P满足，则的最小值为_____. 【答案】 【详解】以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图坐标系. 则，设， 因为，所以得. 所以. . ，所以，所以. 所以. 当时，取得最小值，最小值为. 变式6-3．如图，在中，为的中点，，，是圆心为、半径为的圆的动直径，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， 又 ， 且，所以． 设与的夹角为， 则． 因为，所以． 题型7 极化恒等式求最值 例7．已知是边长为的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系 设 ， 则 所以 所以最小值为 所以选B 【点睛】本题考查了向量数量积在平面几何中的简单应用，建立坐标系是常用的方法，属于中档题． 变式7-1．的斜边等于4，点在以为圆心、1为半径的圆上，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 . 注意，， 所以当与同向时取最大值5，反向时取小值-3. 故选C. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，以及几何图形中向量问题的求解.属于中档题. 变式7-2．如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，为中点，则， 因为，，所以为等边三角形， 则，，而，则， 由，， 所以 . 故选：B. 变式7-3．铜钱，古代铜质辅币，大多为圆形方孔，其几何形状如图所示．若图中正方形ABCD的边长为2，圆O的半径为3，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，动点P在圆O上，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．8 【答案】C 【详解】 连接，，，则； 故，； 故， ，， 故． 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．已知O为的重心，若，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】如图：若O为的重心，则为的中点， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以当时，取到最大值. 2．若平面向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量的模的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设平面向量、夹角为， 则在上投影向量的模为，且， 由，平方可得， 又因为， 可得：， 令，则， 由， 所以，整理得：， 解得：， 即， 所以， 即在上投影向量模的最大值为. 3．在梯形中，，，，，点，分别在线段，上运动，若，则，求的最大值（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，    由题意得各点坐标：，，，， 已知，且在线段上，故，即， ， 由得，因此， 则， 该式为开口向下的二次函数，对称轴为，代入得最大值： ， 即的最大值是，故D正确. 4．已知圆的半径为2，弦长度为2，为圆上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，； 故， 因为半径为2，故， 因为，故为等边三角形，； 代入整理可得； ，，故， 故． 5．已知平面向量，满足，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】A 【详解】设原点为，令，，则，可得. 根据向量夹角的定义，与的夹角为，即中，即的长度. 对应用正弦定理得，代入，，得， 因为正弦值满足，当时取最大值1，因此的最大值为. 6．如图，在四边形中，，，是线段上的一动点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 设，则，解得， 又因为， 且、不共线，所以，这两个等式相加得， 因为，，由基本不等式可得，解得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为. 7．若点G是所在平面上一点，且，H是直线上一点，，则的最大值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 则，所以是的重心，且、、三点共线，为直线外一点，由向量共线定理可知：， 将代入得：， 化简得：， 又因为，所以，，消去得：，为使取得最大值，显然，， 由基本不等式得：，所以，则， 当且仅当，即：，的时候等号成立，所以的最大值为. 8．（多选）已知，为非零向量，且满足，，则下列说法正确的有（   ） A．，夹角的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】BC 【详解】对于A：因为，，即，所以， 设，夹角为，则， 当且仅当即时取等号，所以，故A错误； 对于B：因为，，，所以， 解得，故B正确； 对于C：因为，所以， ，故C正确； 对于D：，所以，故D错误. 9．已知，，若向量与向量的夹角为锐角，则实数的取值范围为____________________． 【答案】 【详解】由题意可知：，, 则，， 因为向量与向量的夹角为锐角, 所以,解得， 当时，，解得. 综上，. 10．已知向量，满足，且，则的最大值是________． 【答案】4 【详解】因为，所以，即，① 又，即，② 所以，③ 又由①②可得，解得，代入③可得， 所以的最大值是4. 11．已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为_______． 【答案】 【详解】圆的半径为2，弦长，故， 所以，故， 取的中点，连接，如图所示：   ，，两式平方后相减可得 ， 由于，故当取得最大值时，取得最大值， 显然当三点共线且在线段上时，取得最大值， 最大值为，此时. 12．在中，、为边上的三等分点，，与所成的夹角为，则的最大值为_____ 【答案】 【详解】因为、为边上的三等分点，所以. 因为， ， 所以. 因为，与所成的夹角为，所以. 令，则，. 当时，取得最大值为. 13．在边长为4的菱形中，，以为直径的上半圆与交于点，是此半圆上的动点，则____________；的最大值是____________． 【答案】 【详解】空1：如图，    取的中点O，连接，因为，， 所以是等边三角形，所以， 又在中，， 所以； 空2：   取的中点，连接，交半圆于点N，则，， 又 ，等号成立时，三点共线， 故的最大值是. 14．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.如图是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正六边形，正六边形的边长为是正六边形内部以及边界上任意一点，则的取值范围为_________. 【答案】 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为正六边形的边长为2，所以，，则 ， 设，则，所以， 由正六边形的性质可知，，所以点的横坐标为，点的横坐标为 ， 因为是正六边形的内部以及边界上任意一点，观察图形可知，点的横坐标的最小值为点的横坐标，最大值为点的横坐标， 所以，即， 所以 的取值范围为． 创新提升 1．对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角．若非零向量，满足，向量，的夹角，且是整数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，知， 因为，所以 ，， 因为 ，所以，因此， 因为是整数，所以 ，故，， 而 ，即 ，即，所以， 因为 ，，所以，即， 故的取值范围为． 2．青花瓷是中国瓷器的主流品种之一，常简称青花.图1是一个青花瓷圆盘，该圆盘可看作两个圆心重合的圆（如图2），若大圆半径为，小圆半径为2，点在大圆上，点在小圆上，，动点满足，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，，，，. 因为 ， 所以 . 代入数值可得：， 即 ， 化简得 . 令 ，则 ，代入上式得： ， 整理得 ， 即 ， 化简整理为关于 的一元二次方程：. 因为 ，所以该方程必有实数解， 故判别式 ， 即 ， 解得 ，即 ， 所以 ，故 的最大值为 . 3．在梯形中，，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最大值为_______________． 【答案】 【详解】根据题意，作出如下所示图形： 因为，，所以， 又因为动点和分别在线段和上，所以，解得， ， 其中，，，， 代入并化简得， 设函数，， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以的最大值在处取得，最大值为， 所以的最大值为. 4．如图，中，点，，分别是线段，，的中点，设，，则__________（用，表示）；已知，，，则的最大值为__________．    【答案】 【详解】由是中点，故， 是中点，则， 是中点，则， 所以 整理得，即 由，得分满足， 由定比分点向量公式 ， ， 由已知，，得，故， 又，代入得 ， 所以， 由，得，当且仅当时取等号. 代入得最大值： . 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $