第3章 第8讲 培优课——利用导数证明不等式 课后检测能力达标(课件PPT)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学
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教辅
摘要：
该高中数学高考复习课件聚焦函数与导数核心考点，依据高考评价体系梳理了不等式证明、极值求解、零点分布等考查要求，通过课后检测题分析解答题13-17分的考点权重，归纳构造函数、导数分析单调性等常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。
课件亮点在于真题模拟训练与解题策略指导，如以函数不等式证明为例，通过构造辅助函数（如g(x)=lnx -x²+x）、导数符号分析单调性，培养学生的数学思维（推理能力）和数学语言（规范证明表达）。帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准把握高考命题趋势，实现高效复习教学。
内容正文：
课后检测 能力达标
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3．(15分)(2026·南昌模拟节选)已知f(x)＝xax－ex＋1(a>1).
(1)当a＝e时，求函数f(x)的单调区间；(7分)
解：当a＝e时，f(x)＝xex－ex＋1，
则f′(x)＝(x＋1)ex－ex＝xex，
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞).
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(2)当a≥e时，求证：f(x)≥0.(8分)
证明：因为a≥e，所以当x≥0时，ax≥ex，则xax≥xex，当x<0时，ax≤ex，则xax≥xex，所以xax－ex＋1≥xex－ex＋1，由(1)可得，xex－ex＋1≥0，所以a≥e时，f(x)≥0.
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4．(17分)(2026·赣州模拟)已知函数f(x)＝ex－mx(其中e为自然对数的底数)有两个零点x1，x2.
(1)求m的取值范围；(5分)
解：由f(x)＝ex－mx得f′(x)＝ex－m.
当m≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增，不合题意．
当m>0时，由f′(x)>0得x＞ln m，由f′(x)<0得x<ln m，所以f(x)在(－∞，ln m)上单调递减，在(ln m，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(ln m)＝eln m－m ln m＝m－m ln m<0，故m>e.
因为f(0)＝1>0，x→＋∞时，f(x)→＋∞，
所以f(x)在(0，ln m)和(ln m，＋∞)内分别存在一个零点，符合题意，
所以m的取值范围为(e，＋∞).
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