第2章 第3讲 函数的奇偶性与周期性(课件PPT)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的奇偶性与周期性”专题，依据课标要求梳理了奇偶性定义、图像特征、周期性判定及应用等核心考点，通过知识梳理与自我诊断明确奇偶性判断、解析式求法、周期性转化等常考题型，对接高考评价体系，体现备考的系统性和针对性。 课件亮点在于“真题演练+方法归纳+素养提升”，如结合2025年全国一卷真题，运用定义法和周期性转化技巧求解函数值，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。特设“常用结论速记”和“易错点警示”，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

第3讲　函数的奇偶性与周期性 课标要求 1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义．　2.会依据函数的性质进行简单的应用． 返回导航 内 容 索 引 必备知识 自主排查 1 1 核心考点 师生共研 2 必备知识 自主排查 第一部分 4 知识梳理 1．函数的奇偶性 类别 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有____∈D 且f(－x)＝________ 且f(－x)＝__________ 图象特征 关于____对称 关于____对称 提醒　函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称． －x f(x) －f(x) y轴 原点 返回导航 2．函数的周期性 (1)周期函数：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D 都有x＋T∈D，且______________________，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． f(x＋T)＝f(x) 最小 返回导航 常用结论 1．函数奇偶性的常用结论 (1)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；若函数f(x)是偶函数，则f(x)＝f(|x|). (2)奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性． (3)若F(x)＝f(x)＋c(c为常数)，且f(x)为奇函数，则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地，若F(x)存在最值，则F(x)min＋F(x)max＝2c. 返回导航 返回导航 自我诊断 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x2在(0，＋∞)上是偶函数．(　　) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0成立．(　　) (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　) × √ × 返回导航 BC 返回导航 B 3．若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a，2a]上的偶函数，则a＋b ＝(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 返回导航 －2 4．(必修第一册P86T11改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________． 解析：f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数， 所以f(－1)＝－f(1)＝－2. 返回导航 返回导航 核心考点 师生共研 第二部分 14 考点一　奇偶性的判断 【解】　函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，所以f(x)既是奇函数又是偶函数． 返回导航 返回导航 返回导航 【解】　方法一(定义法)：f(x)的定义域关于原点对称，当x>0时，－x<0，f(x)＝－x2＋2x＋1，则f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)； 当x<0时，－x>0，f(x)＝x2＋2x－1，则f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x).所以f(x)为奇函数． 返回导航 方法二(图象法)：作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特性知函数f(x)为奇函数． 返回导航 【感悟进阶】　判断函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法 返回导航 (2)图象法   (3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇±奇＝奇，奇×奇＝偶，偶±偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 返回导航 训练 B 返回导航 返回导航 返回导航 优解二(性质法)：易知y＝x2＋1与y＝e|x|均为偶函数，且恒为正． 对于A，由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f(x)也是非奇非偶函数； 对于B，y＝cos x＋x2是偶函数，所以f(x)是偶函数； 对于C，易知f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数；对于D，y＝sin x＋4x是奇函数，所以f(x)是奇函数． 返回导航 D 返回导航 解析：因为f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x). 对于A，x∈R，设F(x)＝f(x)＋g(x)，则F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－f(x)－g(x)＝－F(x)，故A错误； 对于B，x∈R，设N(x)＝f(x)－g(x)，则N(－x)＝f(－x)－g(－x)＝－f(x)－g(x)≠f(x)－g(x)＝N(x)，故B错误； 对于D，x∈R，设H(x)＝|f(x)g(x)|，H(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝H(x)，所以H(x)为偶函数，故D正确． 返回导航 考点二　函数奇偶性的应用 －x2＋3x－1 【解析】　当x>0时，－x<0，f(x)＝g(x)＋1＝－f(－x)＝－[(－x)2－3－(－x)]＝－x2＋3x，则g(x)＝－x2＋3x－1. 返回导航 【感悟进阶】　利用奇偶性求解析式，先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f(x)的解析式，或利用奇偶性构造关于f(x)的方程式(组)，从而得到f(x)的解析式． 返回导航 1 返回导航 返回导航 【感悟进阶】　利用待定系数法求参数：根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等得出参数的值．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解． 返回导航 C 训练 返回导航 返回导航 返回导航 A 考点三　函数的周期性 考教衔接 返回导航 返回导航 返回导航 细研真题 C 返回导航 细研真题 返回导航 细研真题 [变式2]　已知f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，当2<x<3时，f(x)＝5－2x，则f(x)在(－1，0)上的解析式为____________． 解析：因为f(x)是周期为2的奇函数，对于x∈(－1，0)，则－x∈(0，1)，－x＋2∈(2，3). 因此f(－x＋2)＝5－2(－x＋2)＝1＋2x， 又因为f(－x＋2)＝f(－x)＝－f(x)， 所以－f(x)＝1＋2x，则f(x)＝－1－2x. f(x)＝－2x－1 返回导航 细研真题 【感悟进阶】　函数周期性的判定与应用 (1)判定：判断函数为周期函数只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题； (2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间上的功能． 注意　若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． 返回导航 　　　　1.已知函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(3)＝2，则f(2 025)＝ ________． 训练 返回导航 5 2．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点有________个．　 解析：当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，得y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.当2≤x<4时，0≤x－2<2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以当2≤x<4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f(4)＝f(2)＝0，综上，共有5个交点． 返回导航 $