第2章 第2讲 函数的单调性与最值(课件PPT)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的单调性与最值”核心考点，依据课标要求梳理了单调性定义、单调区间、最值条件等必备知识，对接高考评价体系，分析出单调性应用（比较大小、解不等式、求参数）为高频考点，归纳了定义法证明、分段函数单调性等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如以2024新课标I卷分段函数单调性参数题为例，剖析定义法“取值—作差—定号—结论”四步流程，培养数学思维与运算能力。通过换元法求值域等典型题解析，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准规划复习，提升备考效率。

第2讲　函数的单调性与最值 课标要求 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最值．　2.理解函数的单调性、最值的实际意义，掌握函数单调性的简单应用． 返回导航 内 容 索 引 必备知识 自主排查 1 1 核心考点 师生共研 2 必备知识 自主排查 第一部分 4 知识梳理 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 类别 增函数 减函数 定 义 在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意的两个数x1，x2∈A 当x1<x2时，都有___________，那么就说函数f(x)在区间A上是增函数 当x1<x2时，都有____________，那么就说函数f(x)在区间A上是减函数 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 返回导航 类别 增函数 减函数 图 象 描 述   自左向右看图象是 _____的   自左向右看图象是____的 上升 下降 返回导航 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调____或单调____，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做函数y＝f(x)的________． 提醒　(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示；(2)有多个单调区间应分开写，不能用“∪”“或”连接，只能用“，”“和”连接． 递增 递减 单调区间 返回导航 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有____________； (2)∃x0∈D，使得______________ (1)∀x∈D，都有____________； (2)∃x0∈D，使得_____________ 结论 M为最大值 M为最小值 f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M 返回导航 返回导航 返回导航 自我诊断 × × × × 返回导航 BCD 返回导航 解析：对于A，f(x)＝－2x＋1是一次函数，所以f(x)在R上是减函数，故A错误； 对于B，因为f(x)＝x2＋1图象的对称轴为y轴，且图象开口向上，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故B正确； 返回导航 2 返回导航 [2，＋∞) 返回导航 解析：由题意知，函数f(x)为增函数，因为f(2x－3)＜f(1)，所以2x－3＜1，解得x＜2，故实数x的取值范围是(－∞，2). (－∞，2) 返回导航 核心考点 师生共研 第二部分 17 考点一　函数的单调性 返回导航 返回导航 (2)利用单调性的定义证明：f(x)在(－1，1)上单调递增． 返回导航 因为x1，x2∈(－1，1)，x1<x2， 所以x1x2－1<0，x2－x1>0， 故f(x1)－f(x2)<0， 故f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－1，1)上单调递增． 返回导航 【感悟进阶】　利用定义法证明或判断函数单调性的步骤 返回导航 B 返回导航 返回导航 【感悟进阶】　确定函数的单调区间的方法 (1)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解． (2)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写． (3)导数法：利用导数取值的正、负确定函数的单调区间． 返回导航 训练 　　　　1.已知函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间为(　　) A．(－2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，－2) 解析：由函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，可知a＜0，所以函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的图象开口向下，对称轴为直线x＝2，因此g(x)的单调递增区间为(－∞，2). C 返回导航 返回导航 (2)F(x)在R＋上单调递增． 返回导航 考点二　函数单调性的应用 B 角度1　比较函数值的大小 例3　已知函数f(x)对任意实数x都有f(2－x)＝f(2＋x)，并且对任意x1＜x2＜2，总有f(x1)＜f(x2)，则下列不等式正确的是(　　) A．f(1.2)＞f(1.5) B．f(1.5)＞f(3) C．f(1.5)＜f(3) D．f(3)＜f(4) 返回导航 【解析】　因为对任意x1＜x2＜2，总有f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，故f(1.2)＜f(1.5)，A错误； 对于f(2－x)＝f(2＋x)，分别令x＝1，2，可得f(1)＝f(3)，f(0)＝f(4)，又f(1.5)＞f(1)，所以f(1.5)＞f(3)，B正确，C错误； 又f(1)＞f(0)，所以f(3)＞f(4)，D错误． 返回导航 【感悟进阶】　比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较． 返回导航 C 返回导航 返回导航 【感悟进阶】　利用单调性解不等式的注意点 (1)准确判断函数的单调性． (2)勿忘定义域对变量的限制． (3)不等式的一边没有“f ”而是常数时应将其化为函数f(x0)的形式． (4)注意利用函数性质(奇偶性、对称性、周期性)对函数值进行转化． 返回导航 B 返回导航 【解析】　因为函数f(x)在R上单调递增，且当x＜0时，f(x)＝－x2－2ax－a，所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0； 当x≥0时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)为增函数． 若函数f(x)在R上单调递增， 则－a≤f(0)＝1，即a≥－1. 综上，实数a的取值范围是[－1，0]. 返回导航 【感悟进阶】　利用函数的单调性求参数的思路 (1)根据函数单调性直接构建参数满足的方程式(组)(不等式(组))或先得到函数图象的升降趋势，再结合图象求解； (2)对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 返回导航 A 训练 返回导航 (－1，0)∪(0，1) 返回导航 考点三　函数的值域(最值) ACD 返回导航 【解析】　对于A，y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图1所示)，可得函数的值域为[2，6)，A正确； 返回导航 返回导航 【感悟进阶】　求函数值域(最值)的几种常用方法 (1)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； (2)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； (3)换元法：对较复杂的函数可先通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值； (4)分离参数法：分子分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式的和的形式． (5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 返回导航 C 训练 返回导航 C 返回导航 返回导航 2．(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　 　) A．f(x)＝－2x＋1 B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝1－ D．f(x)＝|x| 角度2　解不等式 例4　已知函数f(x)＝－，则不等式f(x＋1)>f(2x)的解集为(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．[－，0] D．[－，1) $