2.1.2 有理数的减法（课时2） 教案 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该教案聚焦有理数加减混合运算及数轴距离公式，通过复习加法、减法法则唤醒旧知，提出混合运算问题引发探究，搭建从单一运算到综合运算的学习支架。 以数学抽象理解加减统一为加法本质，逻辑推理贯穿减法转加法过程，通过“同号结合法”演示、距离公式从特殊到一般归纳等互动设计，提升学生运算能力与建模意识，为教师提供系统步骤及易错提示，高效突破重难点。

2.1.2 有理数的减法（课时2） 课题 2.1.2 有理数的减法（课时2） 课型 新授课 备课人 授课班级 核心素养目标：1. 数学抽象：理解加减混合运算统一为加法运算的本质，发展符号意识 2. 逻辑推理：通过减法转化为加法的过程，体会转化思想和逻辑推理能力 3. 数学运算：掌握有理数加减混合运算的步骤和方法，能准确进行计算 4. 数学建模：利用数轴上两点间距离公式解决实际问题，培养数学建模素养 教学重难点：重点：有理数加减混合运算的步骤和方法，省略括号和加号的书写规范 难点：灵活运用运算律简化混合运算，理解数轴上两点间距离公式 AB=|a−b| 突破策略：通过具体算式逐步演示转化过程，从特殊到一般归纳运算步骤；借助数轴直观分析距离问题 一、情境导入 【过渡语】同学们，上节课我们学习了有理数的减法法则。在小学阶段，我们既学过加法也学过减法，当一个算式中既有加法又有减法时，该怎么计算呢？今天我们就来研究有理数的加减混合运算。 教师活动：在黑板上板书复习要点，引导学生回顾已学知识，为新课做好知识储备。 1. 复习旧知 请同学们回忆有理数加法法则和减法法则，用自己的语言进行表述。 学生活动：独立思考后举手回答，互相补充。 加法法则复习 同号两数相加：取相同的符号，再把绝对值相加。 教师追问：同号相加时，和的符号怎么确定？学生回答：和的符号与加数的符号相同，正数加正数取正号，负数加负数取负号。 异号两数相加：异号相加"大"减"小"，符号跟着"大"数跑。即绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差。 教师追问：异号相加时，"大"减"小"是什么意思？学生回答：用绝对值较大的加数的绝对值减去绝对值较小的加数的绝对值，和的符号与绝对值较大的加数相同。 减法法则复习 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 教师追问：减法转化为加法的关键是什么？学生回答：关键是把减号变成加号，同时把减数变成它的相反数。减去正数变成加上负数，减去负数变成加上正数。 学生活动：同桌互相出题检查减法法则的掌握情况，每人出两道题让对方计算。 【过渡语】同学们对加法法则和减法法则掌握得很好。现在请看这样一个算式，它既有加法也有减法，该如何计算呢？ 2. 提出问题 请同学们观察下面的算式，想一想该如何计算： 教师引导：这个算式中既有加法运算，也有减法运算。在小学阶段，我们遇到加减混合运算时是按照从左到右的顺序依次计算的。但在有理数范围内，减法可以转化为加法，所以我们可以先将所有减法都转化为加法。 学生活动：分组讨论，尝试将算式中的减法转化为加法。 教师请学生汇报讨论结果。学生回答：根据减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，所以减去 −5 等于加上 +5，减去 +7 等于加上 −7。 教师追问：转化后的算式中全是加法运算了，那接下来该怎么计算呢？学生回答：可以利用加法交换律和结合律，将同号的数先相加，简化计算。 【知识点】加减混合运算的基本思路：利用减法法则，将减法运算转化为加法运算，使算式中的运算统一为加法运算，再利用加法运算律进行计算。 设计意图：通过复习加法和减法法则，唤醒学生已有知识。然后提出既有加法又有减法的问题，引发认知冲突，激发探究欲望。学生通过讨论自主发现"减法转加法"的方法，体现了以学生为主体的教学理念。 二、探究新知 1. 探究一：减法转化为加法 【过渡语】让我们详细分析刚才的算式，看看如何将加减混合运算统一为加法运算。 回顾情境导入中的算式： 分析：这个算式中既有加法，也有减法。可以先根据有理数减法法则，把减法转化为加法，即把这个算式改写为： 教师引导学生逐步分析转化过程： 第一步：分析原算式。算式 (−20)+(+3)−(−5)−(+7) 中，(−20) 与 (+3) 之间是加法，(+3) 与 (−5) 之间是减法，(−5) 与 (+7) 之间也是减法。 第二步：应用减法法则。减去 (−5) 等于加上 (+5)，减去 (+7) 等于加上 (−7)。注意：变减号为加号的同时，减数要变成相反数。 第三步：写出转化后的算式。(−20)+(+3)+(+5)+(−7)，此时算式中全部是加法运算。 教师追问：转化后的算式全是加法了，如何计算更简便？学生回答：可以利用加法交换律和结合律，把符号相同的数先相加，这就是"同号结合法"。 教师演示"同号结合法"：将 (−20) 和 (−7) 结合（都是负数），将 (+3) 和 (+5) 结合（都是正数），先分别计算，再相加。 教师追问：为什么要把同号的数结合在一起？学生回答：同号两数相加，和的符号容易确定，计算更简便。把负数与负数结合、正数与正数结合，可以避免异号相加时容易出错的符号判断问题。 教师进一步解释：这就是加法交换律和结合律在有理数加法中的应用。加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。在有理数范围内，加法交换律和结合律仍然成立。 【知识点】减法转化为加法的方法：根据有理数减法法则，将算式中的减法运算全部转化为加法运算。关键步骤是"两变"：变减号为加号，变减数为相反数。转化后可以利用加法交换律和结合律（同号结合法）简化计算。 易错提示 减法转加法时要注意"两变"：一是变运算符号（减号变加号），二是变减数的性质符号（正变负、负变正）。只变一个是常见的错误。例如 中，− (−5) 应变为 + (+5)，不能只变加号不变符号。 设计意图：通过逐步分析转化过程，让学生理解"减法转加法"的原理和方法。"同号结合法"的演示帮助学生体会运算律在简化计算中的作用。教师追问引导学生思考"为什么这样做"，加深对算理的理解。 2. 核心法则：加减统一为加法 【过渡语】通过上面的探究，我们发现加减混合运算可以统一为加法运算。让我们把这个规律一般化。 引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算。有理数加减混合运算也可以表示成： 教师解释：这个公式表明，在一个含有加法和减法的算式中，可以把减法运算全部转化为加法运算。减去一个数 c，就等于加上 −c（c 的相反数）。这样，原算式就变成了若干个有理数相加的形式。 学生活动：请同学们用自己的语言解释 a+b−c=a+b+(−c) 的含义。 学生回答：a 加 b 减 c，就等于 a 加 b 再加 c 的相反数。也就是说，减法可以看作加上一个相反数的加法。 教师追问：这个公式中的 a、b、c 可以是什么数？学生回答：a、b、c 可以是任意有理数，包括正数、负数和零。 教师进一步说明：以情境导入中的算式为例，(−20)+(+3)−(−5)−(+7) 中，a=−20，b=+3，c=−5（第一次减法），再次应用法则，减去 (+7) 等于加上 (−7)。所以 (−20)+(+3)−(−5)−(+7)=(−20)+(+3)+(+5)+(−7)。 算式 (−20)+(+3)+(+5)+(−7) 是 −20，+3，+5，−7 这四个数的和。 【知识点】加减混合运算统一为加法：有理数的加减混合运算，可以通过减法法则将所有减法转化为加法，从而统一为加法运算。统一后的算式是若干个有理数的和的形式。 概念辨析 统一为加法后的算式 表示 −20、+3、+5、−7 这四个数的"和"。注意：这里的"和"是广义的，即使有些加数是负数，它仍然是求和运算。这与小学阶段理解的"和"（只有正数相加）不同，体现了有理数运算的统一性。 设计意图：从特殊到一般，将具体算式的转化方法抽象为一般公式 a+b−c=a+b+(−c)，培养学生的数学抽象素养。通过学生用自己的语言解释公式，检验理解程度。 3. 省略括号和加号 【过渡语】为了书写简便，我们可以在和式中省略括号和加号。让我们来看看如何省略。 在一个和式里，通常把各个加数的括号及其前面的运算符号"+"省略不写。 例如，算式 为书写简单，可以省略算式中的括号和加号，把它写为： 教师演示省略过程：(−20)+(+3)+(+5)+(−7) 中，省略每个加数的括号和它前面的加号，得到 −20+3+5−7。 教师追问：省略括号和加号后，算式的意义改变了吗？学生回答：没有改变。−20+3+5−7 仍然表示 −20、+3、+5、−7 这四个数的和。省略的只是书写形式，运算的本质没有变化。 教师强调：省略括号和加号后，每个数前面的符号（正号或负号）就是该数的性质符号。正号可以省略不写，负号必须保留。 两种读法 省略括号和加号后的算式有两种读法： 按性质符号读：负20、正3、正5、负7的和。即把每个数前面的符号看作该数的性质符号（正号或负号），读作"什么、什么的和"。 按运算符号读：负20加3加5减7。即把每个数前面的符号看作运算符号（加号或减号），从第二个数开始，正号读作"加"，负号读作"减"。 教师追问：两种读法有什么区别？学生回答：按性质符号读时，强调每个数的正负属性，最后说"的和"；按运算符号读时，强调运算过程，正号读"加"，负号读"减"。 学生活动：请同学们分别用两种读法读出 −20+3+5−7，并互相检查。 教师示范：按性质符号读——"负20、正3、正5、负7的和"；按运算符号读——"负20加3加5减7"。注意第一种读法最后的"的和"不能省略。 【知识点】省略括号和加号的方法：在一个和式里，省略各个加数的括号及其前面的加号。省略后，第一个数的符号是其性质符号，后面各数前面的"+"读作"加"（运算符号）或"正"（性质符号），"−"读作"减"（运算符号）或"负"（性质符号）。 解题技巧 省略括号和加号的规则： ① 省略加号和括号，保留每个数的性质符号； ② 正号可以不写，负号必须保留； ③ 第一个数如果是正数，正号可以省略；如果是负数，负号必须保留。 两种读法：按性质符号读"负20、正3、正5、负7的和"；按运算符号读"负20加3加5减7"。 设计意图：省略括号和加号是书写规范的重要内容，通过演示省略过程和两种读法，帮助学生理解算式的含义。教师追问和学生活动确保学生真正掌握，而不仅仅是机械记忆。 4. 有理数加减混合运算步骤 【过渡语】现在让我们总结有理数加减混合运算的完整步骤。 教师引导学生回顾前面的探究过程，总结出加减混合运算的一般步骤。 学生活动：分组讨论，尝试用自己的语言总结运算步骤。 学生汇报后，教师归纳整理为以下四个步骤： 第一步：减法转加法。根据有理数减法法则，将算式中的减法运算全部转化为加法运算。 第二步：省略括号。将加法算式中的括号和加号省略，写成简便形式。 第三步：运用运算律简化。利用加法交换律和结合律，将同号的数结合在一起（同号结合法），或利用其他技巧简化计算。 第四步：按加法法则计算。按照有理数加法法则，分别计算同号部分的结果，再求最终的和。 教师以情境导入的算式为例，演示完整步骤： 原式：(−20)+(+3)−(−5)−(+7) 第一步（减法转加法）：(−20)+(+3)+(+5)+(−7) 第二步（省略括号）：−20+3+5−7 第三步（运用运算律）：(−20)+(−7)+3+5（同号结合） 第四步（按加法法则计算）：(−27)+8=−19 教师追问：第三步运用运算律时，为什么要将 −20 和 −7 结合、3 和 5 结合？学生回答：因为 −20 和 −7 都是负数，同号相加计算简便；3 和 5 都是正数，同号相加也简便。分开计算后再用异号相加法则求和，不容易出错。 【知识点】有理数加减混合运算步骤：①减法转加法（利用减法法则）；②省略括号和加号（简化书写）；③运用运算律简化计算（同号结合法等）；④按加法法则计算（同号相加、异号相加）。 重点强调 加减混合运算四步法： ① 减法转加法——变减号为加号，变减数为相反数； ② 省略括号——省略加号和括号，保留性质符号； ③ 运用运算律——同号结合法，正数与正数结合，负数与负数结合； ④ 按法则计算——先算同号部分的和，再算异号相加。 口诀：一转二省三结合，最后按法则算结果。 教师强调：在实际计算中，第二步和第三步可以合并，熟练后可以直接将原式转化为简化形式并运用运算律。但对于初学者，建议严格按四步进行，确保每一步正确无误。 学生活动：请两位同学到黑板上演示计算过程，其余同学在练习本上完成。教师巡视指导，关注学生的书写规范和符号处理。 设计意图：通过归纳运算步骤，帮助学生形成系统的计算方法。四步法简洁明了，便于学生记忆和操作。教师演示完整步骤并配以追问，帮助学生理解每一步的依据和目的。 5. 探究二：数轴上两点间的距离 【过渡语】前面我们学习了有理数加减混合运算的方法。现在让我们利用有理数的减法来解决一个几何问题——求数轴上两点间的距离。 在数轴上，点 A，B 分别表示数 a，b。对于下列各组数 a，b：a=2，b=6；a=0，b=6；a=2，b=−6；a=−2，b=−6。 （1）观察点 A，B 在数轴上的位置，你能得出它们之间的距离吗？ 分析各组情况 当 a=2，b=6 时：点 A 在原点右侧距离原点 2 个单位长度处，点 B 在原点右侧距离原点 6 个单位长度处。A、B 之间的距离为 6−2=4。 当 a=0，b=6 时：点 A 在原点处，点 B 在原点右侧 6 个单位长度处。A、B 之间的距离为 6−0=6。 教师追问：前两种情况中，a 和 b 都是正数或零，距离怎么计算？学生回答：当两个数都是非负数且 b>a 时，距离等于 b−a，即大数减小数。 当 a=2，b=−6 时：点 A 在原点右侧 2 个单位长度处，点 B 在原点左侧 6 个单位长度处。A、B 之间的距离为 2−(−6)=2+6=8。 教师追问：这里 a 是正数，b 是负数，为什么距离是 2−(−6)？学生回答：因为 A 在右侧，B 在左侧，两点间的距离等于右侧的数减去左侧的数，即 2−(−6)。根据减法法则，2−(−6)=2+6=8。 当 a=−2，b=−6 时：点 A 在原点左侧 2 个单位长度处，点 B 在原点左侧 6 个单位长度处。A、B 之间的距离为 (−2)−(−6)=(−2)+6=4。 教师追问：这里 a 和 b 都是负数，距离怎么计算？学生回答：A 在右侧（−2 > −6），B 在左侧，距离等于右侧的数减去左侧的数，即 (−2)−(−6)=(−2)+6=4。 学生活动：在练习本上画出数轴，标出各组 A、B 点的位置，验证计算结果。 归纳距离公式 （2）利用有理数的运算，你能用含有 a，b 的算式表示上述各组点 A，B 之间的距离吗？ 教师引导学生观察四组计算结果，寻找规律。 当 a=2，b=6 时，AB=|a−b|=|6−2|=4 当 a=0，b=6 时，AB=|a−b|=|6−0|=6 当 a=2，b=−6 时，AB=|a−b|=|2−(−6)|=8 当 a=−2，b=−6 时，AB=|a−b|=|(−2)−(−6)|=4 教师引导学生发现规律：无论 a 和 b 是正数、负数还是零，A、B 两点间的距离都可以表示为 |a−b|。 教师追问：为什么距离要用绝对值表示？学生回答：因为距离是一个非负数，而 a−b 可能是正数也可能是负数，取绝对值可以保证结果是非负的。当 a>b 时，|a−b|=a−b；当 a<b 时，|a−b|=b−a。无论哪种情况，结果都是两点间的距离。 【知识点】数轴上两点间的距离公式：如果数轴上 A，B 两点所表示的数分别为 a，b，则这两个点之间的距离为 AB=|a−b|。即在数轴上，任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值。 算理讲解 距离公式 的理解： ① a、b 可以是任意有理数（正数、负数或零）； ② |a−b| 表示 a−b 的绝对值，保证结果非负； ③ 当 a > b 时，|a−b| = a−b；当 a < b 时，|a−b| = b−a； ④ 距离公式的本质是"大数−小数"，用绝对值统一表示。 知识拓展 距离公式的应用：AB=|a−b| 不仅可以用来计算数轴上两点间的距离，还可以用来解决实际问题。例如： ① 求温度差：最高温度 a 与最低温度 b 的温差为 |a−b|； ② 求高度差：海拔 a 与海拔 b 的高度差为 |a−b|； ③ 判断点的位置：若 |a−b| = 0，则 a = b，即 A、B 是同一点。 教师强调：距离公式 AB=|a−b| 是有理数减法的重要应用。它将几何问题（求距离）转化为代数问题（求差的绝对值），体现了数形结合的思想。 学生活动：请同学们自己举出两个数 a 和 b，利用距离公式计算 AB，并在数轴上验证结果。 设计意图：通过四组具体数据的分析，从特殊到一般归纳出距离公式 AB=|a−b|。学生通过画数轴验证，加深对公式的理解。教师追问引导学生思考"为什么用绝对值"，培养逻辑推理能力。距离公式体现了数形结合思想，培养数学建模素养。 三、例题精讲 例1 计算： 审题分析 本题是典型的有理数加减混合运算题。算式中既有加法也有减法，需要先将减法转化为加法，再运用运算律简化计算。 解题关键：准确应用减法法则将减法转化为加法，注意"两变"——变减号为加号，变减数为相反数。转化后运用同号结合法简化计算。 解题过程 解：原式 = （减法转加法：减去 −5 变为加上 +5，减去 +7 变为加上 −7） （省略括号和加号） （运用加法交换律和结合律，同号结合：−20 与 −7 结合，3 与 5 结合） （分别计算同号部分：−20+(−7)=−27，3+5=8） （异号相加：|−27|>|8|，取负号，27−8=19） 方法总结 解题技巧 加减混合运算的解题流程： ① 减法转加法：将所有减法转化为加法（两变：变号+变相反数）； ② 省略括号：写成简化形式； ③ 同号结合：正数与正数结合，负数与负数结合； ④ 分别计算：先算各同号部分的和； ⑤ 异号求和：用异号相加法则求最终结果。 关键提示：每一步都要注意符号的正确处理。 教师强调：在第三步运用运算律时，移动加数的位置时必须连同它前面的符号一起移动。例如，将 −7 移到 −20 旁边时，−7 前面的负号要一起移动，不能只移动数字 7。 变式训练 计算： 学生独立完成变式训练后，教师请学生汇报解题过程。 减法转加法：3+(−5)+7+2+(−8) 省略括号：3−5+7+2−8 同号结合：(3+7+2)+(−5−8)=12+(−13) 计算结果：12+(−13)=−1 教师点评：此题中正数有 3、7、2，负数有 −5、−8。将正数结合得 3+7+2=12，负数结合得 (−5)+(−8)=−13，最后异号相加 12+(−13)=−1。思路清晰，计算正确。 设计意图：例1是加减混合运算的基础题，通过完整的四步演示帮助学生掌握运算流程。变式训练让学生独立完成，巩固所学方法。教师点评强调同号结合法的运用和符号处理。 例2 在数轴上，点 A 表示数 −3，点 B 表示数 5，求 A、B 两点间的距离。 审题分析 本题考查数轴上两点间距离公式的应用。已知 a=−3，b=5，利用公式 AB=|a−b| 即可求出距离。 解题关键：准确代入公式，注意减去负数时要转化为加法，最后取绝对值。 解题过程 解：因为 a = −3，b = 5，所以 即 A、B 两点间的距离为 8。 教师追问：这里 −3−5 为什么等于 −8？学生回答：−3−5=−3+(−5)，同号相加取负号，3+5=8，所以结果为 −8。 教师追问：|−8| 为什么等于 8？学生回答：绝对值表示数轴上的点到原点的距离，是一个非负数。−8 的绝对值就是 −8 在数轴上对应的点到原点的距离，等于 8。 方法总结 解题技巧 求数轴上两点间距离的步骤： ① 确定两点表示的数 a 和 b； ② 代入公式 AB=|a−b|； ③ 计算 a−b 的值（注意减法转加法）； ④ 取绝对值，得到距离。 注意：距离总是非负数，所以结果一定 ≥ 0。 变式训练 在数轴上，点 A 表示数 4，点 B 表示数 −2，求 A、B 两点间的距离。 解析：a=4，b=−2，AB=|4−(−2)|=|4+2|=|6|=6。所以 A、B 两点间的距离为 6。 教师追问：如果交换 A、B 的位置，即 a=−2，b=4，结果会变吗？学生回答：不会变。AB=|(−2)−4|=|−6|=6，结果相同。这说明距离公式 AB=|a−b| 与 A、B 的顺序无关。 设计意图：例2是距离公式的直接应用，帮助学生掌握公式的使用方法。变式训练和教师追问帮助学生理解距离公式的对称性（与顺序无关），深化对公式本质的理解。 例3 计算： + () - - 审题分析 本题是含有分数的加减混合运算。需要先将减法转化为加法，再通分计算。 解题关键：准确转化减法为加法，通分时找最小公倍数，注意符号处理。 解题过程 解：原式 = + () + （减法转加法：减去 − 变为加上 +） 通分：2、3、4 的最小公倍数为 12。 = () + () + () （=，−=−，=） 同号结合：将负数 − 单独计算，正数 和 结合。 = ( + ) + () （正数结合： + = = ） = () + () （异号相加： + (−)，即 + (−)，|| > |−|，取正号，9−4 = 5） = 所以原式 = 。 方法总结 解题技巧 分数加减混合运算的注意事项： ① 先将减法转化为加法； ② 通分时找各分母的最小公倍数； ③ 同号结合，分别计算分子； ④ 注意符号：正数加正数得正，负数加负数得负，异号相加看绝对值大小。 易错点：通分时分子和分母同时扩大相同的倍数，不要只扩大分母。 变式训练 计算：(−)+−(−) 解析：原式=(−)++=(−+)+=+=+=1。 设计意图：例3引入分数运算，提升综合运算能力。通过完整的通分和计算过程，帮助学生掌握分数混合运算的方法。变式训练巩固所学，教师纠正环节培养学生自我检查的习惯。 课堂小结 1. 知识回顾 本节课通过分析含有加法和减法的算式，探究了有理数加减混合运算的方法。我们将加减混合运算统一为加法运算，学习了省略括号和加号的书写方法，并探究了数轴上两点间的距离公式。 【知识点】本节课核心知识：1. 加减混合运算统一为加法运算（a+b−c=a+b+(−c)）；2. 省略括号和加号的书写规范及两种读法；3. 加减混合运算四步法（减法转加法→省略括号→运用运算律→按法则计算）；4. 数轴上两点间距离公式 AB=|a−b|。 2. 法则要点 加减统一为加法：利用减法法则，将减法转化为加法，使算式统一为加法运算。 省略括号和加号：在一个和式里，省略各个加数的括号及其前面的加号，保留性质符号。 两种读法：按性质符号读"负20、正3、正5、负7的和"；按运算符号读"负20加3加5减7"。 距离公式：数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值，即 AB=|a−b|。 3. 方法总结 归纳总结 加减混合运算四步法口诀： 一转：减法转加法，两变记心间（变号变相反数）； 二省：省略括号和加号，保留性质符号； 三结合：同号结合法，正正负负分开放； 四计算：同号先相加，异号再求和。 距离公式记心间：AB=|a−b|，大减小取绝对值。 4. 易错点提醒 易错提示 ① 减法转加法时，要同时变减号为加号、变减数为相反数，只变一个会出错。 ② 省略括号后，移动加数时必须连同前面的符号一起移动。 ③ 两种读法的区别：按性质符号读最后说"的和"，按运算符号读不说"的和"。 ④ 距离公式中取绝对值不要遗忘，距离结果一定非负。 ⑤ 同号结合时，注意区分性质符号和运算符号。 学科网（北京）股份有限公司 $