高中数学单元测试——第4章计数原理（较难版01）

**基本信息** 高中数学计数原理单元较难版测试，覆盖排列组合、二项式定理等核心知识，结合生活情境（如搭配问题）与探究性问题（如三项式系数），适配单元复习，提升数学思维与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|真分数构成、四位数数字和|基础巩固，数学眼光观察现实问题| |多选题|3/18|排列问题判断、队员选派|能力辨析，数学思维推理逻辑| |填空题|3/15|涂色问题、二项式系数和|情境应用，数学语言表达规律| |解答题|5/77|整除证明、竞赛报名、三项式系数|综合创新，发展探究与模型意识|

高中数学单元测试 —— 第4章 计数原理（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）用1，4，7，10中的任意一个数作分子，2，5，9，11中任意一个数作分母，可构成的不同真分数的个数为（   ） A．9 B．10 C．14 D．16 2．（本题5分）小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤，如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套，则小李同学不同的搭配种数为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 3．（本题5分）（    ） A． B．3 C． D． 4．（本题5分）若一个四位数的各位数字之和为3，则这样的四位数有（   ） A．9个 B．10个 C．12个 D．15个 5．（本题5分）四面体的顶点和各棱的中点共10个点．在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为（    ） A．141 B．144 C．150 D．155 6．（本题5分）已知的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（   ）种 A．40 B．60 C．80 D．120 8．（本题5分）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 二、多选题 9．（本题6分）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 10．（本题6分）已知某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包含1名女队长)，则下列说法正确的是（    ） A．若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有18种选派方法 B．若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有31种选派方法 C．若从该乒乓球队中选派4名队员外出比赛，且既要有队长，又要有女队员，则共有30种选派方法 D．若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有630种选派方法 11．（本题6分）若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）________． 13．（本题5分）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形，如图所示，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂的颜色都不相同，且“3，5，7”号小正方形涂相同的颜色，则符合要求的涂法共有______种． 14．（本题5分）的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为______ 四、解答题 15．（本题13分）（1）已知：，求； （2）解不等式：，其中. 16．（本题15分）在的展开式中. (1)求二项式系数最大的项； (2)求系数最大的项. 17．（本题15分）求证： (1)能被7整除； (2)能被64整除． 18．（本题17分）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 19．（本题17分）在中，把，，…，称为三项式系数. (1)当时，写出三项式系数，，，，的值； (2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； (3)求的值（用组合数作答）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第4章 计数原理（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）用1，4，7，10中的任意一个数作分子，2，5，9，11中任意一个数作分母，可构成的不同真分数的个数为（   ） A．9 B．10 C．14 D．16 【答案】B 【分析】使用列举法表示即可. 【详解】由题可知：不同真分数有：，共10个. 故选：B 2．（本题5分）小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤，如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套，则小李同学不同的搭配种数为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理可得. 【详解】先选羽绒服有3种情况，再选棉裤有2种情况，根据分步乘法计数原理，共有搭配种数． 故选:B． 3．（本题5分）（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数的计算即可求解. 【详解】. 故选：B 4．（本题5分）若一个四位数的各位数字之和为3，则这样的四位数有（   ） A．9个 B．10个 C．12个 D．15个 【答案】B 【分析】根据3的不同组成，分类讨论求解. 【详解】当这个四位数由3，0，0，0构成时，共有1种情况， 当这个四位数由2，1，0，0构成时，共有种情况， 当这个四位数由1，1，1，0构成时，共有种情况， 综上所述，共有1+6+3=10种情况 故选：B 5．（本题5分）四面体的顶点和各棱的中点共10个点．在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为（    ） A．141 B．144 C．150 D．155 【答案】A 【分析】求出从10个点中任取4个点的取法，减去不合题意的结果可得答案． 【详解】从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类． 第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有种； 第二类，取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点，这4点共面，有6种； 第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱）， 它的4顶点共面，有3种． 以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有种． 故选：A． 6．（本题5分）已知的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，列式求出，再求出二项展开式的通项，进而求出幂指数为0的项即可. 【详解】依题意，，即，而n为正整数，解得， 则展开式的通项公式为， 由，解得， 所以该展开式中的常数项为. 故选：A. 7．（本题5分）6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（   ）种 A．40 B．60 C．80 D．120 【答案】B 【分析】根据题意，先排黄、蓝4个小球，共有种，再把红球插入共有种，则共有种． 【详解】首先排黄、蓝各2个，共4个小球， 相当于4个位置中，选2个放黄球，另2个放蓝球，共有种， 放好4个小球后， 选2个空位插入2个红球，共有种， 综上，共有种． 故选：B． 8．（本题5分）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 【答案】A 【分析】“将三元一次方程的正整数解的组数”转变为“等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法”，利用隔板法即可求得结果. 【详解】三元一次方程的正整数解的组数， 等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法. 只需要在8个小球中间的7个空位中选取2个空位用隔板隔开即可， 则共有种分法， 即三元一次方程的正整数解的组数为21. 故选：A. 二、多选题 9．（本题6分）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 【答案】BD 【分析】利用排列的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以A错误， 对于B，因为选取人后，4人排列有顺序要求，是排列问题，所以B正确， 对于C，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以C错误， 对于D，因为地区不一样，选取人后有顺序要求，是排列问题，所以D正确， 故选：BD. 10．（本题6分）已知某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包含1名女队长)，则下列说法正确的是（    ） A．若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有18种选派方法 B．若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有31种选派方法 C．若从该乒乓球队中选派4名队员外出比赛，且既要有队长，又要有女队员，则共有30种选派方法 D．若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有630种选派方法 【答案】ABD 【分析】应用组合数运算计算判断A，B，分类计算判定C，不平均分组分类结合排列和组合数计算判断D. 【详解】某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包含1名女队长)， 对于A：若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有种选派方法，A选项正确； 对于B：若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有种选派方法，B选项正确； 对于C：从7名队员中任选4名，总方法数为种，不满足‘既要有队长，又要有女队员’的情况分为两类： ①没有队长：从5名非队长队员中选4人，有种方法； ②没有女队员：从4名男队员中选4人，有种方法，这两类情况没有交集，因此满足条件的方法数为种，C选项错误； 对于D：若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有种选派方法，D选项正确； 故选：ABD. 11．（本题6分）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用赋值法求解. 【详解】对于A：令得，A错误； 对于B：令得①， 令得②， ①+②得， 所以，B正确； 对于C：①-②得， 所以，C错误； 对于D：令得， 又，所以，D正确； 故选：BD. 三、填空题 12．（本题5分）________． 【答案】 【分析】直接根据组合数公式及组合数的性质计算可得. 【详解】因为． 故答案为： 13．（本题5分）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形，如图所示，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂的颜色都不相同，且“3，5，7”号小正方形涂相同的颜色，则符合要求的涂法共有______种． 【答案】108 【分析】由涂色问题进行分情况计算即可. 【详解】分类： 若小正方形1，9与5同色，则有种； 若小正方形1与5同色，9与5异色，则有种； 若小正方形9与5同色，1与5异色，则有种； 若小正方形1，9均与5异色或1与9同色，9与5异色，则有种. 可得，故符合条件的涂法共有108种. 故答案为：108. 14．（本题5分）的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为______ 【答案】 【分析】各项的二项式系数之和为64，可得，得到，再利用通项公式即可求常数项. 【详解】因为各项的二项式系数和为64，所以 ，所以, 所以的， 令，解得，代入通项得常数项. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）（1）已知：，求； （2）解不等式：，其中. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据组合数公式得到方程，解得即可； （2）根据排列数公式得到不等式，解得，需注意且. 【详解】（1）因为，解得或（舍去）； （2）不等式， 即， 即，即，解得， 又，即且，所以或，故不等式的解集为. 16．（本题15分）在的展开式中. (1)求二项式系数最大的项； (2)求系数最大的项. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据二项式系数的性质即可判断最大项并求解； （2）设第项系数最大，则其系数大于或等于其前一项和后一项系数，列出不等式组求解即可得到答案. 【详解】（1）由题意，二项展开式共9项，故第5项二项式系数最大， 又展开式通项为， 所以 （2）设第项系数最大，则， 所以，解得， 故系数最大的项是第3项和第4项， . 17．（本题15分）求证： (1)能被7整除； (2)能被64整除． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（2）根据二项式展开式的特征，提取公因数即可求证. 【详解】（1）, 易知除以外各项都能被7整除． 又显然能被7整除， 所以能被7整除． （2）是64的倍数， 故原式可被64整除． 18．（本题17分）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 【答案】(1)90 (2)30 (3)540 【分析】（1）利用分步乘法计数原理、组合计数问题列式计算. （2）利用组合计数问题、排列计数问题列式计算. （3）将学生人数按分组，财利用排列组合综合问题列式计算. 【详解】（1）若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有种. （2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，则报名方法有种. （3）由题可得报名人数的分配方案可以是，，或，，或，，. 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种. 所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有种. 19．（本题17分）在中，把，，…，称为三项式系数. (1)当时，写出三项式系数，，，，的值； (2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； (3)求的值（用组合数作答）. 【答案】(1)，，，， (2) (3) 【分析】（1）写出展开式，即可得到相应的系数； （2）写出（，）的展开式，即可得解； （3）由表示出系数，再由，计算出系数，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，，，，； （2）因为， ， ， ， ， 所以三项式的（，）次系数的数阵表如下： （3） ， 其中系数为， 又 而二项式的通项（且）， 由，解得， 所以系数为， 由代数式恒成立， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $