第四章 概率与统计（单元测试·基础卷）数学人教B版2019选择性必修第二册

2025-2026学年高二数学单元检测卷 第四章 概率与统计·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.1 【答案】C 【详解】因为随机变量服从两点分布，且， 则. 故选：C 2．已知变量与之间的一组数据如下表： 1 2 3 4 5 0.8 2.9 4.8 7.2 9.1 若关于的线性回归方程为，则（   ） A．1.31 B． C．1.56 D． 【答案】B 【详解】， ， 而点在线性回归方程上， 得， 解得， 故选：B 3．假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭三个孩子中有男孩，则三个小孩中有女孩的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】用表示男孩，表示女孩，则样本空间. 设该家庭三个孩子中有男孩为事件，该家庭三个小孩中有女孩为事件，则，， 所以. 故选：D. 4．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A袋，所以． 故选：C． 5．为了检测某种药物对预防疾病的效果，进行了小动物试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 服用 18 7 25 未服用 12 8 20 合计 30 15 45 已知，．根据小概率值的独立性检验，则下列结论正确的是（   ） A．药物对预防疾病有效果 B．药物对预防疾病有效果，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C．药物对预防疾病无效果 D．药物对预防疾病无效果，这个结论犯错误的概率不超过0.05 【答案】C 【详解】零假设：药物对预防疾病无效果， 根据列联表数据，， 根据，将数据代入可得： ， ，根据小概率值的独立性检验，， 所以我们没有充分证据拒绝原假设，即认为药物对预防疾病无效果. 故选：C. 6．2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设第一、第二、第三场单打赢对手分别为事件A，B，C， 三场比赛中恰有两场赢对方为事件D，则， ， 所以. 故选：B 7．设随机变量，其中且，若，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由随机变量，得，由，得， 解得，于是，解得，由， 得，则，解得， 所以. 故选：A 8．端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（   ） A．随着的增大，增加，增加 B．随着的增大，增加，减小 C．随着的增大，减少，增加 D．随着的增大，减小，减小 【答案】C 【详解】由题意可知，从乙款礼盒里随机取出个粽子， 其中肉粽个数服从超几何分布，，，则， 故从甲款礼盒里随机取一个粽，相当于从含有个肉粽的个粽子中取一粽子， 取到肉粽的个数为， 易知随机变量服从两点分布，故， 所以，随着的增大，减少； ． 随着的增大，增加． 故随着的增大，减少，增加． 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．下列结论正确的有（   ） A．若随机变量，则 B．离散型随机变量服从两点分布，且，则 C．随机变量，若，则 D．已知随机变量，满足，若，则， 【答案】BCD 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，因服从两点分布，则， 又，联立解得，故B正确； 对于C，因，且 ，则， 故，故C正确； 对于D，由可得， 因为，则，故，，故D正确. 故选：BCD. 10．已知某软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能写作软件，现将该软件上市后的月份x以及每个月获得的利润y（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则下列说法正确的是（   ） 月份x 1 2 3 4 5 利润y 5 8 10 12 15 A． B．可以估计10月份的利润为26.8（万元） C．1到5月份的利润数据的第60百分位数为10（万元） D．5月份利润的残差为（万元） 【答案】AB 【详解】选项A：根据表中数据可得， 则，故A正确； 选项B：估计10月份的利润（万元），故B正确； 选项C：由， 则1到5月份的利润数据的第60百分位数为（万元），故C错误； 选项D：5月份利润的估计值为， 则残差为（万元），故D错误. 故选：AB 11．我国“天宫勘探计划”中，AI自主从编号1-12的深空探测目标（含行星、小行星等）里随机选一个执行任务，定义： 事件：“选中奇数编号目标”（对应具备稀有金属开采价值的天体） 事件：“选中编号小于7的目标”（对应我国近地测控覆盖范围内的天体） 事件：“选中1，2，4，8号目标”（对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标） 现在需要分析AI选择探测目标时，以下任务事件的概率关系正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】 【详解】由题可得总样本数为 12（编号 1-12）， 事件为“选中奇数编号目标”：，共6个，则， 事件为“选中编号小于7的目标”，共6个，则， 事件为“选中1，2，4，8号目标” ，共4个，则; 事件AB 为“奇数且编号小于 7”，即 ，共 3 个，, ,所以，故A正确； 事件AC为“编号为1”，共1个，所以,则，故B正确； 事件 为“编号为3,5,7,9,11”，共5个，所以,所以; 所以，故C错误； 事件为“编号为1”，共1个，所以,; 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．从装有5个红球和4个蓝球（球的大小和质地均相同）的盒子中随机取2个球，则在取到的2个球颜色相同的条件下，所取球都是红球的概率为 ． 【答案】/ 【详解】记事件为“取到的2个球都是红球”，事件为“取到的2个球颜色相同”． . 故答案为：. 13．将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归方程为.经计算可知：，则 . 参考公式：. 【答案】/1.875 【详解】因为， 所以， 由， 解得， 所以. 故答案为： 14．某同学进行投篮训练，每次投篮次数为n，，，每次投篮的命中率都为p，随机变量表示投篮命中的次数，服从二项分布，记，当时，可认为服从标准正态分布，已知该同学每次投篮的命中率均为0.5，每次投篮命中得2分，不中得0分．若，则该同学投中次数的期望为 次；若保证该同学n次投篮总得分在区间的概率不低于0.8，则n的最小值为 ． 附：，则，． 【答案】 【详解】①根据题意：投篮命中的次数服从二项分布， 所以（次）， 故该同学投中次数的期望为20次； ②由该同学n次投篮总得分在区间， 则该同学n次投篮命中次数在区间， ， 又因为，所以， 根据服从标准正态分布，可知，所以， 则n需满足， 故n的最小值为， 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了300名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值，并计算这300名市民评分的平均数； (2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望. 【详解】（1）解在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为， 则，解得. 2分 这300名市民评分的平均数为： . 所以这300名市民评分的平均数为：. 4分 （2）解因为评分在分以上的市民所占的频率为， 由题意可知，， 5分 所以，，， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 10分 11分 所以，. 13分 16．（15分）随着移动互联网和直播带货技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，特别是商家通过展示产品，使顾客对商品有更全面的了解.下面统计了某新手开启直播带货后从6月份到10月份每个月的销售量(万件)的数据，得到如图所示的散点图．其中6月份至10月份相应的代码为，如:表示6月份. (1)根据散点图判断，模型①与模型②哪一个更适宜作为月销售量关于月份代码的回归方程?（给出判断即可，不必说明理由） (2)（i）根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程;(计算结果精确到0.01) （ⅱ）根据结果预测12月份的销售量大约是多少万件? 参考公式与数据:， ，，其中. 【详解】（1）由散点图可知增加幅度不一致，且散点图接近于曲线，非线性， 结合图象故选模型②. 2分 （2）（i）令，则， 可得， 4分 ， 6分 则， 9分 ， 11分 所以关于的回归方程为， 即关于的回归方程； 13分 （ⅱ）令，可得， 预测12月份的销售量大约是13.9万件. 15分 17．（15分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每箱产品在交付用户之前都要从中随机抽出件进行检验，若检验出不合格品，则将该不合格品更换为合格品，假设每箱产品中均恰有2件不合格品． (1)若，求检验一箱产品时恰好抽到1件不合格品的概率； (2)若检验一箱产品时至少抽到1件不合格品的概率大于0.5，求m的最小值； (3)已知每件产品的检验费用为2m元；若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付150元的赔偿费用，要使一箱产品的检验费用与赔偿费用之和的期望值最小，m应取何值？ 【详解】（1）设事件“检验一箱产品时恰好抽到1件不合格品”为A， 则． 2分 （2）设事件“检验一箱产品时至少抽到1件不合格品”为B， 则， 5分 令，得，当时，单调递增， 7分 又当时，，当时，， 所以m的最小值为6． 9分 （3）每箱产品随机抽出m件进行检验，设抽到的不合格品的件数为X， 依题意，X服从超几何分布，则． 11分 设一箱产品的检验费用与赔偿费用之和为Y元， 则， 所以． 13分 函数的图象的对称轴方程为， 要使的值最小，应取． 15分 18．（17分）第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕，11月21日在深圳闭幕，是粤港澳三地首次联合承办的全国性体育盛会.此次赛事融合了体育竞技与大湾区文化特色，彰显了粤港澳大湾区深度融合，丰富了“一国两制”的实践.其中公路自行车赛是唯一的一项联结粤港澳三地的标志性跨境赛事，运动员需6次无间断通过三地口岸，每次通关通过人脸识别、北斗定位等技术无感查验，甲运动员每次通关查验顺利的概率为0.99，且各次查验相互独立.舞龙舞狮更是首次纳入全运会群众展演项目，粤港澳联队由6名广东选手、1名香港选手和1名澳门选手组成，团队表演的难度系数分为、、三个等级，对应的得分概率如下表： 难度等级 得分区间 得分概率（广东选手） 得分概率（香港选手） 得分概率（澳门选手） A级 8-10分 0.7 0.65 0.6 B级 6-7分 0.25 0.3 0.35 C级 4-5分 0.05 0.05 0.05 (1)在公路自行车赛中，求甲运动员6次通关查验全部顺利通过的概率，以及至少有1次查验不顺利的概率（结果均保留四位小数）； (2)从粤港澳联队选手中任选2人分别作为狮头和狮尾进行“南狮自选赛”的表演，设这2人中广东选手的人数为，求的分布列和均值； (3)从粤港澳联队中随机选取1名选手完成指定群众展演项目表演，已知该选手的得分在8-10分，求该选手是广东选手的概率（结果保留三位小数）. 【详解】（1）因为甲运动员每次通关查验顺利的概率为0.99，且各次查验相互独立， 所以甲运动员6次通关查验全部顺利通过的概率为； 2分 至少有1次查验不顺利的概率为. 4分 （2）的可能取值为， ； ； . 8分 所以的分布列列表为： 10分 所以的均值为. 12分 （3）从粤港澳联队中随机选取1名选手完成指定群众展演项目表演，则该选手是广东选手的概率为，是香港选手的概率为，是澳门选手的概率为. 记“选手的得分在8-10分”为事件，记“该选手是广东选手”为，“该选手是香港选手”为，“该选手是澳门选手”为. 由题可知，. 14分 . 所以，若已知该选手的得分在8-10分，则该选手是广东选手的概率为. 17分 19．（17分）互联网的快速发展和应用给人们的生活带来诸多便利，比如网上购物，它给消费者提供了更多选择，节约大量时间.某网购平台为了提高2025年的销售额，年底前一个月组织网店开展“秒杀”抢购活动，甲，乙，丙，丁四人计划在该购物平台分别参加A，B，C，D四家网店各一个订单的“秒杀”抢购，已知此四人在这四家网店订单“秒杀”成功的概率均为p，四人是否抢购成功互不影响.记四人抢购到的订单总数为随机变量. (1)若，求X的分布列以及均值，方差； (2)已知每个订单由件商品构成，记四人抢购到的商品总数量为，假设，求取最小值时正整数的值. 【详解】（1）由题意知：的所有可能取值为0，1，2，3，4，则， 2分 ，， ，， . 6分 所以的分布列为： 4 7分 所以，. 9分 （2）每个订单对应个商品，故，又， 所以 12分 令，则， 14分 当时，，所以； 当时，； 当时，恒成立，即恒成立； 所以取最小值时正整数的值为3或4. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第四章 概率与统计·基础通关（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C B D C C B A C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 BCD AB ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）解在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为， 则，解得. 2分 这300名市民评分的平均数为： . 所以这300名市民评分的平均数为：. 4分 （2）解因为评分在分以上的市民所占的频率为， 由题意可知，， 5分 所以，，， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 10分 11分 所以，. 13分 16．【详解】（1）由散点图可知增加幅度不一致，且散点图接近于曲线，非线性， 结合图象故选模型②. 2分 （2）（i）令，则， 可得， 4分 ， 6分 则， 9分 ， 11分 所以关于的回归方程为， 即关于的回归方程； 13分 （ⅱ）令，可得， 预测12月份的销售量大约是13.9万件. 15分 17．【详解】（1）设事件“检验一箱产品时恰好抽到1件不合格品”为A， 则． 2分 （2）设事件“检验一箱产品时至少抽到1件不合格品”为B， 则， 5分 令，得，当时，单调递增， 7分 又当时，，当时，， 所以m的最小值为6． 9分 （3）每箱产品随机抽出m件进行检验，设抽到的不合格品的件数为X， 依题意，X服从超几何分布，则． 11分 设一箱产品的检验费用与赔偿费用之和为Y元， 则， 所以． 13分 函数的图象的对称轴方程为， 要使的值最小，应取． 15分 18．【详解】（1）因为甲运动员每次通关查验顺利的概率为0.99，且各次查验相互独立， 所以甲运动员6次通关查验全部顺利通过的概率为； 2分 至少有1次查验不顺利的概率为. 4分 （2）的可能取值为， ； ； . 8分 所以的分布列列表为： 10分 所以的均值为. 12分 （3）从粤港澳联队中随机选取1名选手完成指定群众展演项目表演，则该选手是广东选手的概率为，是香港选手的概率为，是澳门选手的概率为. 记“选手的得分在8-10分”为事件，记“该选手是广东选手”为，“该选手是香港选手”为，“该选手是澳门选手”为. 由题可知，. 14分 . 所以，若已知该选手的得分在8-10分，则该选手是广东选手的概率为. 17分 19．【详解】（1）由题意知：的所有可能取值为0，1，2，3，4，则， 2分 ，， ，， . 6分 所以的分布列为： 4 7分 所以，. 9分 （2）每个订单对应个商品，故，又， 所以 12分 令，则， 14分 当时，，所以； 当时，； 当时，恒成立，即恒成立； 所以取最小值时正整数的值为3或4. 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第四章 概率与统计·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.1 2．已知变量与之间的一组数据如下表： 1 2 3 4 5 0.8 2.9 4.8 7.2 9.1 若关于的线性回归方程为，则（   ） A．1.31 B． C．1.56 D． 3．假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭三个孩子中有男孩，则三个小孩中有女孩的概率为（   ） A． B． C． D． 4．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（    ） A． B． C． D． 5．为了检测某种药物对预防疾病的效果，进行了小动物试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 服用 18 7 25 未服用 12 8 20 合计 30 15 45 已知，．根据小概率值的独立性检验，则下列结论正确的是（   ） A．药物对预防疾病有效果 B．药物对预防疾病有效果，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C．药物对预防疾病无效果 D．药物对预防疾病无效果，这个结论犯错误的概率不超过0.05 6．2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 7．设随机变量，其中且，若，，则（    ） A． B． C．1 D． 8．端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（   ） A．随着的增大，增加，增加 B．随着的增大，增加，减小 C．随着的增大，减少，增加 D．随着的增大，减小，减小 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．下列结论正确的有（   ） A．若随机变量，则 B．离散型随机变量服从两点分布，且，则 C．随机变量，若，则 D．已知随机变量，满足，若，则， 10．已知某软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能写作软件，现将该软件上市后的月份x以及每个月获得的利润y（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则下列说法正确的是（   ） 月份x 1 2 3 4 5 利润y 5 8 10 12 15 A． B．可以估计10月份的利润为26.8（万元） C．1到5月份的利润数据的第60百分位数为10（万元） D．5月份利润的残差为（万元） 11．我国“天宫勘探计划”中，AI自主从编号1-12的深空探测目标（含行星、小行星等）里随机选一个执行任务，定义： 事件：“选中奇数编号目标”（对应具备稀有金属开采价值的天体） 事件：“选中编号小于7的目标”（对应我国近地测控覆盖范围内的天体） 事件：“选中1，2，4，8号目标”（对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标） 现在需要分析AI选择探测目标时，以下任务事件的概率关系正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．从装有5个红球和4个蓝球（球的大小和质地均相同）的盒子中随机取2个球，则在取到的2个球颜色相同的条件下，所取球都是红球的概率为 ． 13．将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归方程为.经计算可知：，则 . 参考公式：. 14．某同学进行投篮训练，每次投篮次数为n，，，每次投篮的命中率都为p，随机变量表示投篮命中的次数，服从二项分布，记，当时，可认为服从标准正态分布，已知该同学每次投篮的命中率均为0.5，每次投篮命中得2分，不中得0分．若，则该同学投中次数的期望为 次；若保证该同学n次投篮总得分在区间的概率不低于0.8，则n的最小值为 ． 附：，则，． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了300名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并计算这300名市民评分的平均数； (2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望. 16．（15分）随着移动互联网和直播带货技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，特别是商家通过展示产品，使顾客对商品有更全面的了解.下面统计了某新手开启直播带货后从6月份到10月份每个月的销售量(万件)的数据，得到如图所示的散点图．其中6月份至10月份相应的代码为，如:表示6月份. (1)根据散点图判断，模型①与模型②哪一个更适宜作为月销售量关于月份代码的回归方程?（给出判断即可，不必说明理由） (2)（i）根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程;(计算结果精确到0.01) （ⅱ）根据结果预测12月份的销售量大约是多少万件? 参考公式与数据:， ，，其中. 17．（15分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每箱产品在交付用户之前都要从中随机抽出件进行检验，若检验出不合格品，则将该不合格品更换为合格品，假设每箱产品中均恰有2件不合格品． (1)若，求检验一箱产品时恰好抽到1件不合格品的概率； (2)若检验一箱产品时至少抽到1件不合格品的概率大于0.5，求m的最小值； (3)已知每件产品的检验费用为2m元；若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付150元的赔偿费用，要使一箱产品的检验费用与赔偿费用之和的期望值最小，m应取何值？ 18．（17分）第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕，11月21日在深圳闭幕，是粤港澳三地首次联合承办的全国性体育盛会.此次赛事融合了体育竞技与大湾区文化特色，彰显了粤港澳大湾区深度融合，丰富了“一国两制”的实践.其中公路自行车赛是唯一的一项联结粤港澳三地的标志性跨境赛事，运动员需6次无间断通过三地口岸，每次通关通过人脸识别、北斗定位等技术无感查验，甲运动员每次通关查验顺利的概率为0.99，且各次查验相互独立.舞龙舞狮更是首次纳入全运会群众展演项目，粤港澳联队由6名广东选手、1名香港选手和1名澳门选手组成，团队表演的难度系数分为、、三个等级，对应的得分概率如下表： 难度等级 得分区间 得分概率（广东选手） 得分概率（香港选手） 得分概率（澳门选手） A级 8-10分 0.7 0.65 0.6 B级 6-7分 0.25 0.3 0.35 C级 4-5分 0.05 0.05 0.05 (1)在公路自行车赛中，求甲运动员6次通关查验全部顺利通过的概率，以及至少有1次查验不顺利的概率（结果均保留四位小数）； (2)从粤港澳联队选手中任选2人分别作为狮头和狮尾进行“南狮自选赛”的表演，设这2人中广东选手的人数为，求的分布列和均值； (3)从粤港澳联队中随机选取1名选手完成指定群众展演项目表演，已知该选手的得分在8-10分，求该选手是广东选手的概率（结果保留三位小数）. 19．（17分）互联网的快速发展和应用给人们的生活带来诸多便利，比如网上购物，它给消费者提供了更多选择，节约大量时间.某网购平台为了提高2025年的销售额，年底前一个月组织网店开展“秒杀”抢购活动，甲，乙，丙，丁四人计划在该购物平台分别参加A，B，C，D四家网店各一个订单的“秒杀”抢购，已知此四人在这四家网店订单“秒杀”成功的概率均为p，四人是否抢购成功互不影响.记四人抢购到的订单总数为随机变量. (1)若，求X的分布列以及均值，方差； (2)已知每个订单由件商品构成，记四人抢购到的商品总数量为，假设，求取最小值时正整数的值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第四章 概率与统计·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.1 2．已知变量与之间的一组数据如下表： 1 2 3 4 5 0.8 2.9 4.8 7.2 9.1 若关于的线性回归方程为，则（   ） A．1.31 B． C．1.56 D． 3．假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭三个孩子中有男孩，则三个小孩中有女孩的概率为（   ） A． B． C． D． 4．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（    ） A． B． C． D． 5．为了检测某种药物对预防疾病的效果，进行了小动物试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 服用 18 7 25 未服用 12 8 20 合计 30 15 45 已知，．根据小概率值的独立性检验，则下列结论正确的是（   ） A．药物对预防疾病有效果 B．药物对预防疾病有效果，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C．药物对预防疾病无效果 D．药物对预防疾病无效果，这个结论犯错误的概率不超过0.05 6．2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 7．设随机变量，其中且，若，，则（    ） A． B． C．1 D． 8．端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（   ） A．随着的增大，增加，增加 B．随着的增大，增加，减小 C．随着的增大，减少，增加 D．随着的增大，减小，减小 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．下列结论正确的有（   ） A．若随机变量，则 B．离散型随机变量服从两点分布，且，则 C．随机变量，若，则 D．已知随机变量，满足，若，则， 10．已知某软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能写作软件，现将该软件上市后的月份x以及每个月获得的利润y（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则下列说法正确的是（   ） 月份x 1 2 3 4 5 利润y 5 8 10 12 15 A． B．可以估计10月份的利润为26.8（万元） C．1到5月份的利润数据的第60百分位数为10（万元） D．5月份利润的残差为（万元） 11．我国“天宫勘探计划”中，AI自主从编号1-12的深空探测目标（含行星、小行星等）里随机选一个执行任务，定义： 事件：“选中奇数编号目标”（对应具备稀有金属开采价值的天体） 事件：“选中编号小于7的目标”（对应我国近地测控覆盖范围内的天体） 事件：“选中1，2，4，8号目标”（对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标） 现在需要分析AI选择探测目标时，以下任务事件的概率关系正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．从装有5个红球和4个蓝球（球的大小和质地均相同）的盒子中随机取2个球，则在取到的2个球颜色相同的条件下，所取球都是红球的概率为 ． 13．将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归方程为.经计算可知：，则 . 参考公式：. 14．某同学进行投篮训练，每次投篮次数为n，，，每次投篮的命中率都为p，随机变量表示投篮命中的次数，服从二项分布，记，当时，可认为服从标准正态分布，已知该同学每次投篮的命中率均为0.5，每次投篮命中得2分，不中得0分．若，则该同学投中次数的期望为 次；若保证该同学n次投篮总得分在区间的概率不低于0.8，则n的最小值为 ． 附：，则，． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了300名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并计算这300名市民评分的平均数； (2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望. 16．（15分）随着移动互联网和直播带货技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，特别是商家通过展示产品，使顾客对商品有更全面的了解.下面统计了某新手开启直播带货后从6月份到10月份每个月的销售量(万件)的数据，得到如图所示的散点图．其中6月份至10月份相应的代码为，如:表示6月份. (1)根据散点图判断，模型①与模型②哪一个更适宜作为月销售量关于月份代码的回归方程?（给出判断即可，不必说明理由） (2)（i）根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程;(计算结果精确到0.01) （ⅱ）根据结果预测12月份的销售量大约是多少万件? 参考公式与数据:， ，，其中. 17．（15分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每箱产品在交付用户之前都要从中随机抽出件进行检验，若检验出不合格品，则将该不合格品更换为合格品，假设每箱产品中均恰有2件不合格品． (1)若，求检验一箱产品时恰好抽到1件不合格品的概率； (2)若检验一箱产品时至少抽到1件不合格品的概率大于0.5，求m的最小值； (3)已知每件产品的检验费用为2m元；若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付150元的赔偿费用，要使一箱产品的检验费用与赔偿费用之和的期望值最小，m应取何值？ 18．（17分）第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕，11月21日在深圳闭幕，是粤港澳三地首次联合承办的全国性体育盛会.此次赛事融合了体育竞技与大湾区文化特色，彰显了粤港澳大湾区深度融合，丰富了“一国两制”的实践.其中公路自行车赛是唯一的一项联结粤港澳三地的标志性跨境赛事，运动员需6次无间断通过三地口岸，每次通关通过人脸识别、北斗定位等技术无感查验，甲运动员每次通关查验顺利的概率为0.99，且各次查验相互独立.舞龙舞狮更是首次纳入全运会群众展演项目，粤港澳联队由6名广东选手、1名香港选手和1名澳门选手组成，团队表演的难度系数分为、、三个等级，对应的得分概率如下表： 难度等级 得分区间 得分概率（广东选手） 得分概率（香港选手） 得分概率（澳门选手） A级 8-10分 0.7 0.65 0.6 B级 6-7分 0.25 0.3 0.35 C级 4-5分 0.05 0.05 0.05 (1)在公路自行车赛中，求甲运动员6次通关查验全部顺利通过的概率，以及至少有1次查验不顺利的概率（结果均保留四位小数）； (2)从粤港澳联队选手中任选2人分别作为狮头和狮尾进行“南狮自选赛”的表演，设这2人中广东选手的人数为，求的分布列和均值； (3)从粤港澳联队中随机选取1名选手完成指定群众展演项目表演，已知该选手的得分在8-10分，求该选手是广东选手的概率（结果保留三位小数）. 19．（17分）互联网的快速发展和应用给人们的生活带来诸多便利，比如网上购物，它给消费者提供了更多选择，节约大量时间.某网购平台为了提高2025年的销售额，年底前一个月组织网店开展“秒杀”抢购活动，甲，乙，丙，丁四人计划在该购物平台分别参加A，B，C，D四家网店各一个订单的“秒杀”抢购，已知此四人在这四家网店订单“秒杀”成功的概率均为p，四人是否抢购成功互不影响.记四人抢购到的订单总数为随机变量. (1)若，求X的分布列以及均值，方差； (2)已知每个订单由件商品构成，记四人抢购到的商品总数量为，假设，求取最小值时正整数的值. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $