第4章计数原理单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

湘教版高中数学选择性必修第一册第4章《计数原理》单元测试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“吉祥数”，例如105和123，则所有的“吉祥数”共有（） A．21个 B．20个 C．19个 D．18个 【答案】A 【分析】按照首位数字为进行分类，计算每种情况下的“吉祥数”个数，相加得到总数. 【详解】当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个； 当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个； 当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个； 当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个； 当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个； 当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个； 因此，所有的“吉祥数”共有个. 故选：A 2．李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色各不相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合分步乘法计数原理，利用古典概型概率公式求解概率即可. 【详解】每次摸取有3种颜色选择，有放回地摸取3次，根据分步乘法计数原理，总基本事件数为， 3次摸取的颜色各不相同，即从3种颜色中选3种排列， 第1次有3种选择，第2次不能与第1次相同有2种选择，第3次不能与前两次相同有1种选择， 符合条件的事件数为，所以所求概率为.故选：B. 3．某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】D 【分析】先安排讲座，再安排讲座和及其余三场讲座，最后利用分步乘法计算原理即可得出答案. 【详解】由题意知讲座只能安排在第一或最后一场，安排A有种排法， 因为讲座和必须相邻，所以安排BC及其余三场讲座共有种排法， 根据分步计数原理知共有种排法.故选：D． 4．6名身高各不相同的同学抽签站成前后正对的两排，每排3人，则站好后，后排的每个同学都比他对应的前排同学高的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，运用排列与组合分别求出总基本事件数与符合条件的事件数，再利用古典概型的概率公式求解． 【详解】6名身高各不相同的同学抽签站成前后正对的两排，总排列数为：； 若后排同学都比前排的高，可以将6人两两分组，每组中矮的站前排、高的站后排： 6人两两分组方法为：，每组中矮的站前排、高的站后排只有1种排法， 符合条件的排列数为；对应概率，故C正确．故选：C． 5．的展开式中，含的项的系数是（    ） A．35 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】将两式乘积展开成两项和，由二项展开式通项求解. 【详解】，其中含有的项分别是和， 这两项系数之和为，故选：C. 6．现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算术》，则下列说法正确的是（ ） A．将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有种不同的放法 B．将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不同的放法 C．将五本书排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的不同的排法有120种 D．将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有90种不同的分法 【答案】D 【分析】根据分步计数乘法原理即可求解判断A；把《本草纲目》和《九章算术》看成一本书进行排列即可计算求解判断B；先全排再根据定序问题计算求解即可判断C；根据先分组后排序计算即可求解判断D. 【详解】对于A，将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，每本书均有6种不同的放法， 根据分步计数乘法原理，共有种放法，所以A不正确； 对于B，将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻， 可把《本草纲目》和《九章算术》看成一本书，共有种放法，所以B不正确； 对于C，将五本书并排成一排，， 则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的排法有种，所以C不正确； 对于D，将5本不同的书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本， 有种分组方法， 再将其分给三人，共有种分法，所以D正确.故选：D 7．如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（   ） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】B 【分析】按照焊接点脱落的个数分类讨论，运用分类加法计数原理求解即可. 【详解】按照焊接点脱落的个数分类讨论，若脱落1个，则有共2种情况， 若脱落2个，则有共6种情况， 若脱落3个，则有共4种情况， 若脱落4个，则有共1种情况， 由分类加法计数原理，情况种数共有种． 故选：B． 8．三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 【答案】A 【分析】“将三元一次方程的正整数解的组数”转变为“等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法”，利用隔板法即可求得结果. 【详解】三元一次方程的正整数解的组数， 等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法. 只需要在8个小球中间的7个空位中选取2个空位用隔板隔开即可，则共有种分法， 即三元一次方程的正整数解的组数为21. 故选：A. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．用数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有（   ） A．一共可以组成96个数 B．一共可以组成120个数 C．一共可以组成偶数60个 D．一共可以组成72个大于2000的数 【答案】ACD 【分析】由特殊位置优先的原则，结合两个计数原理逐个判断即可. 【详解】对于AB，四位数的首位不能为0，有4种选项，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位， 可以组成无重复数字的四位数个，A正确， B错误； 对于C，若个位数为0，则有个，若个位数不为0，则有个， 所以可以组成无重复数字的四位偶数个，C正确； 对于D，四位数的首位有3种选择，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位， 可以组成无重复数字且大于2000的四位数个，D正确． 故选：ACD 10．李清照，齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一才女”之称．现将李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本），则下列选项正确的有（   ） A．若刚好每人分到3本书，则有1680种不同的分法 B．若每人至少分到2本书，则有11508种不同的分法 C．若刚好有1人只分到1本书，则有6326种不同的分法 D．若每人至多分到4本书，则有13020种不同的分法 【答案】AB 【分析】考虑在各选项的条件下，3个人分书的本数可能的情况，结合平均分组以及不平均分组问题的解法求解各选项中的分法，即可求得答案. 【详解】若刚好每人分到3本书，则有种不同的分法，故A正确； 若每人至少分到2本书，则3人分书的本数可能是，，， 所以有种不同的分法，故B正确； 若刚好有1人只分到1本书，则3人分书的本数可能是，，， 所以有种不同的分法，故C不正确； 若每人至多分到4本书，则3人分书的本数可能是，，， 所以有种不同的分法，故D不正确． 故选：AB 11．已知，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．二项式系数和为128 D． 【答案】AD 【分析】令可判断A，令可判断B，求出二项式系数和可判断C，对两边求导，令可判断D. 【详解】由， 对于A，令得，故A正确； 对于B，令得，所以，故B错误； 对于C，二项式系数和为，故C错误； 对于D，对两边求导，得 ，令得，故D正确. 故选：AD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．把5封不同的信投入4个不同的信箱，不同的投法种数共有 种. 【答案】 【分析】利用分步计数乘法原理，即可求解. 【详解】分步计数乘法原理：每封信都有种投法，所以总共有， 故答案为： 13．甲、乙均在内的5人坐在一排的5个座位上，若甲、乙相邻，且甲、乙均不在这排座位的两端，则不同的坐法有 种. 【答案】 【分析】利用捆绑法即可求解. 【详解】甲乙两人的排列方式有种，将甲乙看成一人，可选的位置有2种，剩余3人的排列方式有种， 所以若甲、乙相邻，且甲、乙均不在这排座位的两端，不同的坐法有种. 故答案为： 14．的展开式中的系数为 . 【答案】15 【分析】利用二项展开式及多项式的乘法，分类讨论求解即可. 【详解】展开式的通项为，则的展开式中项有两种情况： ①当时，展开式中含项为，系数为； ②当时，展开式中含项为，系数为.所以的展开式中项的系数为15. 故答案为：15 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）4名男生和3名女生站成一排，分别有多少种不同的站法？ (1)3名女生不相邻． (2)男生甲不在排头，女生乙不在排尾． (3)甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变． 【答案】(1)1440种 (2)3720种 (3)840种 【分析】（1） 先安排男生，再插空法求解，得到答案； （2）正难则反的方法，先全排列，再求出男生甲在排头，女生乙在排尾及两者同时发生的情况数，列式计算； （3）用定序倍缩法进行求解. 【详解】（1）先安排男生，有种可能，再将3名女生插空，有种可能，故3名女生不相邻的站法有种； （2）4名男生和3名女生站成一排，共有种情况， 其中男生甲在排头的情况有种情况，女生乙在排尾的情况有种情况，男生甲在排头的同时，女生乙在排尾的情况有种情况， 所以男生甲不在排头，女生乙不在排尾的情况有种； （3）甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变，可以用定序倍缩法进行求解，即站法有种． 16．（15分）在这个数字中选择若干个数. (1)能组成多少个无重复数字且为的倍数的五位数？ (2)能组成多少个无重复数字且不大于的四位数？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分个位数为和两种情况讨论，再根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可得解； （2）分千位数为或和两种情况讨论，再根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可得解. 【详解】（1）当个位数为时，则万位数有种选法， 则千位数有种选法，百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数； 当个位数为时，则万位数有种选法，则千位数有种选法，百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数， 综上所述，能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数； （2）当千位数为或时，则能组成个无重复数字且不大于3450的四位数； 当千位数为，百位数为，十位数为时，则符合题意的数只有一个； 当千位数为，百位数为，十位数不为时，则十位数有种选法，个位数有种选法， 所以符合题意的数有种； 当千位数为，百位数不为，则百位数有种选法，十位数有种选法，个位数有种选法， 所以符合题意的数有种， 综上所述，能组成个无重复数字且不大于3450的四位数. 17．（15分）有4本不同的科技类书和3本不同的文艺类书，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上 (1)若从这7本书中随机取2本书，则至少取到1本文艺类书的取法有多少种? (2)同一种类的书都互不相邻的概率是多少?(计算结果要化为最简分数) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合间接法，结合组合数的计算公式，即可求解； （2）求得同一种类的书互不相邻的种数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：从这7本书中随机取出2本书，共有种取法， 从4本科技类书中任取2本书，共有种取法， 所以至少取到1本文艺类书的取法，共有种不同的取法. （2）解：把7本书进行全排列，共有种排法， 其中同一种类的书互不相邻，共有种排法， 所以同一种类的书都互不相邻的概率是. 18．（17分）已知 (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)729 【分析】（1）先求出，再将改为后令即可得答案； （2）设，通过计算可得答案. 【详解】（1）令得，再将改为，则 再令，得，所以； （2）设，则 . 19．（17分）电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起． (1)女生互不相邻的坐法有多少种？ (2)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 【答案】(1)1440 (2)960 【分析】（1）采用插空法即可求解. （2）利用插空法结合捆绑法可求解. 【详解】（1）先将4个男生排好，有种排法， 再在这4个男生之间及两头的5个空挡中插入3个女生有种方法， 故符合条件的排法共有(种). （2）先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法， 由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法， 最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法， 故符合条件的排法共有(种). 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学选择性必修第一册 第4章《计数原理》单元测试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“吉祥数”，例如105和123，则所有的“吉祥数”共有（） A．21个 B．20个 C．19个 D．18个 2．李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色各不相同的概率为（   ） A． B． C． D． 3．某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 4．6名身高各不相同的同学抽签站成前后正对的两排，每排3人，则站好后，后排的每个同学都比他对应的前排同学高的概率是（    ） A． B． C． D． 5．的展开式中，含的项的系数是（    ） A．35 B．5 C． D． 6．现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算术》，则下列说法正确的是（ ） A．将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有种不同的放法 B．将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不同的放法 C．将五本书排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的不同的排法有120种 D．将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有90种不同的分法 7．如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（   ） A．11 B．13 C．15 D．17 8．三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．用数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有（   ） A．一共可以组成96个数 B．一共可以组成120个数 C．一共可以组成偶数60个 D．一共可以组成72个大于2000的数 10．李清照，齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一才女”之称．现将李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本），则下列选项正确的有（   ） A．若刚好每人分到3本书，则有1680种不同的分法 B．若每人至少分到2本书，则有11508种不同的分法 C．若刚好有1人只分到1本书，则有6326种不同的分法 D．若每人至多分到4本书，则有13020种不同的分法 11．已知，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．二项式系数和为128 D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．把5封不同的信投入4个不同的信箱，不同的投法种数共有 种. 13．甲、乙均在内的5人坐在一排的5个座位上，若甲、乙相邻，且甲、乙均不在这排座位的两端，则不同的坐法有 种. 14．的展开式中的系数为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）4名男生和3名女生站成一排，分别有多少种不同的站法？ (1)3名女生不相邻． (2)男生甲不在排头，女生乙不在排尾． (3)甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变． 16．（15分）在这个数字中选择若干个数. (1)能组成多少个无重复数字且为的倍数的五位数？ (2)能组成多少个无重复数字且不大于的四位数？ 17．（15分）有4本不同的科技类书和3本不同的文艺类书，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上 (1)若从这7本书中随机取2本书，则至少取到1本文艺类书的取法有多少种? (2)同一种类的书都互不相邻的概率是多少?(计算结果要化为最简分数) 18．（17分）已知 (1)求的值； (2)求的值． 19．（17分）电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起． (1)女生互不相邻的坐法有多少种？ (2)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学选择性必修第一册 第4章《计数原理》单元测试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为吉祥数”，例如105和123，则所有的“吉祥数共有() A.21个 B.20个 C.19个 D.18个 2.李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜 色各不相同的概率为() A司 c.3 1 D. 3.某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座A只能安排在第一或最 后一场，讲座B和C必须相邻，问不同的安排方法共有() A.24种 B.48种 C.72种 D.96种 4.6名身高各不相同的同学抽签站成前后正对的两排，每排3人，则站好后，后排的每个同学都比他对应的前排同 学高的概率是() C.3 1 D. 12 5.1+的展开式中，含r的项的系数是《) A.35 B.5 C.-5 D.-35 6.现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算术》，则下列说法正确的是() A.将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有5种不同的放法 B.将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不同的放法 C.将五本书排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的不同的排法有 120种 D.将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有90种不同的分法 7.如图所示，在A,B间有四个焊接点1,2,3,4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通 的情况的种数为() A.11 B.13 C.15 D.17 8.三元一次方程x+y+z=8的正整数解的组数为() A.21 B.28 C.35 D.42 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.用数字0,1,2,3,4组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有() A.一共可以组成96个数 B.一共可以组成120个数 C.一共可以组成偶数60个 D.一共可以组成72个大于2000的数 10.李清照，齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一才女”之称.现将 李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本），则下列选项正确的有() A.若刚好每人分到3本书，则有1680种不同的分法 B.若每人至少分到2本书，则有11508种不同的分法 C.若刚好有1人只分到1本书，则有6326种不同的分法 D.若每人至多分到4本书，则有13020种不同的分法 11.己知(2-x)°=4，+4x+4,x2++4x,则下列说法中正确的是(） A.4=28 B.a+42+…+4=1 C.二项式系数和为128 D.4+202+3a3++8a。=-8 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.把5封不同的信投入4个不同的信箱，不同的投法种数共有种 13.甲、乙均在内的5人坐在一排的5个座位上，若甲、乙相邻，且甲、乙均不在这排座位的两端，则不同的坐法 有种 4.1+三+)的展开式中的系数为 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分)4名男生和3名女生站成一排，分别有多少种不同的站法？ (1)3名女生不相邻. (2)男生甲不在排头，女生乙不在排尾. (3)甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变 16.(15分)在0,1,2,3,4,5这6个数字中选择若干个数 (1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ (2)能组成多少个无重复数字且不大于3450的四位数？ 17.(15分)有4本不同的科技类书和3本不同的文艺类书，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上 (1)若从这7本书中随机取2本书，则至少取到1本文艺类书的取法有多少种？ (2)同一种类的书都互不相邻的概率是多少？（计算结果要化为最简分数） 18.（17分)已知(2x-1)°=a。+4x+a2x2+…+a,x (1)求a+a++a的值； (2)求(4+42+a,+)-(a+4+a)的值. 19.(17分)电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约 一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起. (1)女生互不相邻的坐法有多少种？ (2)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？湘教版高中数学选择性必修第一册第4章《计数原理》单元测试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“吉祥数”，例如105和123，则所有的“吉祥数”共有() A.21个 B.20个 C.19个 D.18个 【答案】A 【分析】按照首位数字为1~6进行分类，计算每种情况下的“吉祥数”个数，相加得到总数 【详解】当首位数字为1时，后两位数字之和为6-1=5，“吉祥数有105,114,123,132,141,150，共6个： 当首位数字为2时，后两位数字之和为6-2=4，“吉祥数”有204,213,222,231,240，共5个： 当首位数字为3时，后两位数字之和为6-3=3，“吉祥数”有303,312,321,330，共4个： 当首位数字为4时，后两位数字之和为6-4=2，“吉祥数'有402,411,420，共3个： 当首位数字为5时，后两位数字之和为6-5=1，“吉祥数'有501,510，共2个： 当首位数字为6时，后两位数字之和为6-6=0，“吉祥数”有600，共1个： 因此，所有的“吉祥数”共有6+5+4+3+2+1=21个 故选：A 2.李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜 色各不相同的概率为() 1 A.9 2 1 B. C. D. 2 9 3 3 【答案】B 【分析】结合分步乘法计数原理，利用古典概型概率公式求解概率即可. 【详解】每次摸取有3种颜色选择，有放回地摸取3次，根据分步乘法计数原理，总基本事件数为3×3×3=27， 3次摸取的颜色各不相同，即从3种颜色中选3种排列， 第1次有3种选择，第2次不能与第1次相同有2种选择，第3次不能与前两次相同有1种选择， ,6=2故选：B 符合条件的事件数为3×2×1=6，所以所求概率为) 3.某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座A只能安排在第一或最 后一场，讲座和C必须相邻，问不同的安排方法共有() A.24种 B.48种 C.72种 D.96种 【答案】D 【分析】先安排讲座A,再安排讲座B和C及其余三场讲座，最后利用分步乘法计算原理即可得出答案 【详解】由题意知讲座A只能安排在第一或最后一场，安排A有A=2种排法， 因为讲座B和C必须相邻，所以安排BC及其余三场讲座共有AA;=48种排法， 根据分步计数原理知共有2×48=96种排法.故选：D. 4.6名身高各不相同的同学抽签站成前后正对的两排，每排3人，则站好后，后排的每个同学都比他对应的前排同 学高的概率是() 1 B. D. 6 12 【答案】C 【分析】根据己知条件，运用排列与组合分别求出总基本事件数与符合条件的事件数，再利用古典概型的概率公式 求解。 【详解】6名身高各不相同的同学抽签站成前后正对的两排，总排列数为：A。=6×5×4×3×2×1=720; 若后排同学都比前排的高，可以将6人两两分组，每组中矮的站前排、高的站后排： 6人两两分组方法为：CCC?=15×6×1=90,每组中矮的站前排、高的站后排只有1种排法， 符合条件的排列数为01=90：对应概率P=沿-日故C正衡，故选：c 5.1+x)(x2-)的展开式中，含x的项的系数是() A.35 B.5 C.-5 D.-35 【答案】C 【分析】将两式乘积展开成两项和，由二项展开式通项求解 【详解1-x--(r-+r(-,其中含有的项分别是1c(和c(e 这两项系数之和为-20+15=-5，故选：C. 6.现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算术》，则下列说法正确的是() A.将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有56种不同的放法 B.将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不同的放法 C.将五本书排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的不同的排法有 120种 D.将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有90种不同的分法 【答案】D 【分析】根据分步计数乘法原理即可求解判断A:把《本草纲日》和《九章算术》看成一本书进行排列即可计算求 解判断B；先全排再根据定序问题计算求解即可判断C;根据先分组后排序计算即可求解判断D】 【详解】对于A,将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，每本书均有6种不同的放法， 根据分步计数乘法原理，共有6种放法，所以A不正确： 对于B,将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻， 可把《本草纲目》和《九章算术》看成一本书，共有AA4=48种放法，所以B不正确： 对于C,将五本书并排成一排，A=5×4×3×2×1=120, 则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的排法 A_120=60种，所以C不正确： 2 对于D,将5本不同的书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本， 4×3 5× 有CcC_ 2×1 2x1二=15种分组方法， A 2×1 用特金人共有巴g出“ 5x4×3x1 ×3×2×1=90种分法，所以D正确故选：D A: 7,如图所示，在A,B间有四个焊接点1,2,3,4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通 的情况的种数为() A.11 B.13 C.15 D.17 【答案】B 【分析】按照焊接点脱落的个数分类讨论，运用分类加法计数原理求解即可。 【详解】按照焊接点脱落的个数分类讨论，若脱落1个，则有{以，{4共2种情况， 若脱落2个，则有1,2，{1,3}，{1,4{2,3}，{2,4，{3,4共6种情况， 若脱落3个，则有1,2,3}，1,2,4，{2,3,4，{1,3,4)共4种情况， 若脱落4个，则有1,2,3,4共1种情况， 由分类加法计数原理，情况种数共有2+6+4+1=13种. 故选：B 8.三元一次方程x+y+z=8的正整数解的组数为() A.21 B.28 C.35 D.42 【答案】A 【分析】“将三元一次方程的正整数解的组数”转变为“等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同 分法”，利用隔板法即可求得结果 【详解】三元一次方程x+y+z=8的正整数解的组数， 等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法 只需要在8个小球中间的7个空位中选取2个空位用隔板隔开即可，则共有C:=X6 21种分法， 2×1 即三元一次方程x+y+z=8的正整数解的组数为21. 故选：A 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.用数字0,1,2,3,4组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有() A.一共可以组成96个数 B.一共可以组成120个数 C.一共可以组成偶数60个 D.一共可以组成72个大于2000的数 【答案】ACD 【分析】由特殊位置优先的原则，结合两个计数原理逐个判断即可. 【详解】对于AB,四位数的首位不能为0，有4种选项，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位， 可以组成无重复数字的四位数4×4×3×2=96个，A正确，B错误： 对于C,若个位数为0，则有4×3×2=24个，若个位数不为0，则有2×3×3×2=36个， 所以可以组成无重复数字的四位偶数24+36=60个，C正确： 对于D,四位数的首位有3种选择，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位， 可以组成无重复数字且大于2000的四位数3×4×3×2=72个，D正确. 故选：ACD 10.李清照，齐州章丘（今山东省济南市章丘区)人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一才女”之称.现将 李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本），则下列选项正确的有() A.若刚好每人分到3本书，则有1680种不同的分法 B.若每人至少分到2本书，则有11508种不同的分法 C.若刚好有1人只分到1本书，则有6326种不同的分法 D.若每人至多分到4本书，则有13020种不同的分法 【答案】AB 【分析】考虑在各选项的条件下，3个人分书的本数可能的情况，结合平均分组以及不平均分组问题的解法求解各 选项中的分法，即可求得答案 【详解】若刚好每人分到3本书，则有CCC.A-1680种不同的分法，故A正确 A 若每人至少分到2本书，则3人分书的本数可能是(2,3,4)，(2,2,5)，3,3,3)， 所以有ccca+CCC.A+CCC.A=7560+268+1680=150钟不同的分法，故B正确： A A 若刚好有1人只分到1本书，则3人分书的本数可能是1,2,6)，1,3,5)，1,4,4)， 所以有CC,CC+aaaa+.CS℃.A1512+3024+1890=642种不同的分法，枚c不正确： A 若每人至多分到4本书，则3人分书的本数可能是(2,3,4)，(3,3,3)，1,4,4)， 所以有CC3CCg+CSCC.A+CCC.A-7560+1680+1380-1B0种不同的分法，故D不正确. A A 故选：AB 11.已知(2-x)=4,+ax+a,x2++4x3,则下列说法中正确的是（) A.a=28 B.4+a2++4=1 C.二项式系数和为128 D.4+22+33++84=-8 【答案】AD 【分析】令x=0可判断A,令x=1可判断B,求出二项式系数和可判断C,对(2-x)=4。+4x+4,x2++ax8两 边求导，令x=1可判断D. 【详解】由(2-x)=4+4x+42x2+…+4x8, 对于A,令x=0得4，=2，故A正确： 对于B,令x=1得4+4+凸2++a4=1,所以4+4，++4=1-2，故B错误； 对于C,二项式系数和为28=256，故C错误： 对于D,对(2-x)°=4+4x+4,x2+…+ax3两边求导，得 -8(2-x)=4+2a2x+.+8ax7,令x=1得4+2a+3a+…+8a=-8,故D正确。 故选：AD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.把5封不同的信投入4个不同的信箱，不同的投法种数共有 种 【答案】1024 【分析】利用分步计数乘法原理，即可求解， 【详解】分步计数乘法原理：每封信都有4种投法，所以总共有4=1024， 故答案为：1024. 13.甲、乙均在内的5人坐在一排的5个座位上，若甲、乙相邻，且甲、乙均不在这排座位的两端，则不同的坐法 有种 【答案】24 【分析】利用捆绑法即可求解。 【详解】甲乙两人的排列方式有A2=2种，将甲乙看成一人，可选的位置有2种，剩余3人的排列方式有A=6种， 所以若甲、乙相邻，且甲、乙均不在这排座位的两端，不同的坐法有2×2×6=24种 故答案为：24 5 14.1+ 1+x)的展开式中x的系数为 【答案】15 【分析】利用二项展开式及多项式的乘法，分类讨论求解即可 【详解们a1y展开式的通项为。=Ct,侧1+)0+少的民开式中r项有两种情说： ①当女=5时，展开式中含r项为c:是-5Cx,系数为C×5=5 ②当k=3时，展开式中含x项为1Cx,系数为C=10.所以1+) +x)的展开式中x项的系数为15. 故答案为：15 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分)4名男生和3名女生站成一排，分别有多少种不同的站法？ (1)3名女生不相邻. (2)男生甲不在排头，女生乙不在排尾， (3)甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变. 【答案】(1)1440种 (2)3720种 (3)840种 【分析】(1)先安排男生，再插空法求解，得到答案： (2)正难则反的方法，先全排列，再求出男生甲在排头，女生乙在排尾及两者同时发生的情况数，列式计算： (3)用定序倍缩法进行求解. 【详解】(1)先安排男生，有A种可能，再将3名女生插空，有A;种可能，故3名女生不相邻的站法有AA=1440 种： (2)4名男生和3名女生站成一排，共有A,种情况， 其中男生甲在排头的情况有A种情况，女生乙在排尾的情况有A种情况，男生甲在排头的同时，女生乙在排尾的 情况有A种情况， 所以男生甲不在排头，女生乙不在排尾的情况有A7-A。-A。+A;=3720种： (3)甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变，可以用定序倍缩法进行求解，即站法有 =840种. A 16.(15分)在0,12,3,4,5这6个数字中选择若千个数 (1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ (2)能组成多少个无重复数字且不大于3450的四位数？ 【答案】(1)216 (2)166 【分析】(1)分个位数为0和5两种情况讨论，再根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可得解： (2)分千位数为1或2和3两种情况讨论，再根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可得解， 【详解】(1)当个位数为0时，则万位数有5种选法， 则千位数有4种选法，百位数有3种选法，十位数有2种选法， 所以能组成5×4×3×2=120个无重复数字且为5的倍数的五位数： 当个位数为5时，则万位数有4种选法，则千位数有4种选法，百位数有3种选法，十位数有2种选法， 所以能组成4×4×3×2=96个无重复数字且为5的倍数的五位数， 综上所述，能组成120+96=216个无重复数字且为5的倍数的五位数： (2)当千位数为1或2时，则能组成2×5×4×3=120个无重复数字且不大于3450的四位数： 当千位数为3，百位数为4，十位数为5时，则符合题意的数只有3450一个； 当千位数为3，百位数为4，十位数不为5时，则十位数有3种选法，个位数有3种选法， 所以符合题意的数有3x3=9种： 当千位数为3，百位数不为4，则百位数有3种选法，十位数有4种选法，个位数有3种选法， 所以符合题意的数有3×4×3=36种， 综上所述，能组成120+1+9+36=166个无重复数字且不大于3450的四位数 17.(15分)有4本不同的科技类书和3本不同的文艺类书，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上 (1)若从这7本书中随机取2本书，则至少取到1本文艺类书的取法有多少种？ (2)同一种类的书都互不相邻的概率是多少？（计算结果要化为最简分数） 【答案】(1)15 @站 【分析】(1)根据题意，结合间接法，结合组合数的计算公式，即可求解： (2)求得同一种类的书互不相邻的种数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解 【详解】(1)解：从这7本书中随机取出2本书，共有C种取法， 从4本科技类书中任取2本书，共有C种取法， 所以至少取到1本文艺类书的取法，共有C?-C?=15种不同的取法 (2)解：把7本书进行全排列，共有A7种排法， 其中同一种类的书互不相邻，共有A4A种排法， 所以同一种类的书都互不相邻的概率是AA=马 A735 18.(17分)已知(2x-1)°=a4+ax+ax2++a6x (1)求4+a2+…+a的值： (2)求(a,+a2+a,+a)-(4+4+a)的值. 【答案】(1)la+a++la。=728 (2)729 【分析】(1)先x=0求出a。,再将(2x-1)°改为(2x+1)°后令x=1即可得答案； (2)设f()=(2x-1)°，通过(a+a,+a+a)-(a+a,+a)'=f)f(-1)计算可得答案 【详解】(1)令x=0得a。=1,再将(2x-1)°改为(2x+1),则(2x+1)=a+ax+a,x2++a,x 再令x=1,得a+4+a++a。=3=729,所以4+42++a。=728: (2)设f(x)=(2x-1)°，则(a,+4,+a+a)-(a+a+a)广=(a+a++a%)(a。-4+a-+as) =f(1)f(-1)=1×(-3)°=729. 19.(17分)电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约 一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起. (1)女生互不相邻的坐法有多少种？ (2)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 【答案】(1)1440 (2)960 【分析】(1)采用插空法即可求解 (2)利用插空法结合捆绑法可求解 【详解】(1)先将4个男生排好，有A4种排法， 再在这4个男生之间及两头的5个空挡中插入3个女生有A种方法， 故符合条件的排法共有AA=24×60=1440(种) (2)先排甲、乙、丙以外的其他4人，有A种排法， 由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有A种排法， 最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有A?种排法， 故符合条件的排法共有A4A2·A=24×2×20=960(种).