高中数学单元测试——第4章计数原理（较难版02）

**基本信息** 高中数学第4章计数原理较难版单元卷，适用于单元复习，通过基础巩固、能力提升与创新应用梯度设计，融合六艺文化、杨辉三角历史情境与实际问题，培养数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|分类加法（1）、分步乘法（2）、排列组合（4）、二项式定理（6）|基础概念辨析，如第1题直接考查分类加法计数原理| |多选题|3题/18分|排列判断（9）、分配问题（10）、二项式系数性质（11）|多角度能力考查，如第10题综合分析不同分配方案| |填空题|3题/15分|涂色问题（13）、二项式系数（14）|创新情境设计，如第13题结合图形涂色考查分步计数| |解答题|5题/77分|不等式求解（15）、竞赛报名（18）、杨辉三角证明（19）|综合应用与文化传承，如第19题结合杨辉三角历史考查逻辑推理|

高中数学单元测试 —— 第4章 计数原理（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某学校开设4门球类课程、5门田径类课程和2门体操类课程供学生选修，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．40种 B．20种 C．11种 D．9种 【答案】C 【分析】直接根据分类加法计数原理得答案． 【详解】解析：分类加法计数原理，种． 故选：C． 2．（本题5分）集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由组合的概念和分步乘法计数原理可得结果. 【详解】从集合A中取1个元素有种方法，从集合B中取1个元素有种方法， 所以从两个集合中各取1个元素有种方法. 故选：B. 3．（本题5分）计算（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据排列数公式计算可得. 【详解】. 故选：C 4．（本题5分）从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个奇数和1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为（   ） A．36 B．42 C．48 D．54 【答案】C 【分析】分三位数中含有0，和不含0两种情况，利用排列组合知识进行求解，相加可得答案. 【详解】若三位数中含有0，则从1,3,5中选2个奇数，有种方法， 0可以放在个位或十位，故组成没有重复数字的三位数个数为， 若三位数中不含有0，从2,4中选一个偶数，从1,3,5中选2个奇数，进行全排列， 有种方法， 综上，共有个没有重复数字的三位数. 故选：C 5．（本题5分）在直角坐标平面中，平行直线与平行直线组成的图形中，平行四边形共有（    ） A．25个 B．36个 C．100个 D．225个 【答案】D 【分析】从平行直线中选2条，再从平行直线选2条，即可确定1个平行四边形，从而确定平行四边形的个数. 【详解】从平行直线中选2条， 再从平行直线选2条，即可确定1个平行四边形， 所以可确定平行四边形的个数为：个. 故选：D 6．（本题5分）在的展开式中，第、、项的二项式系数依次成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干条件得出，结合，可求得的值. 【详解】因为展开式中第、、项的二项式系数依次成等差数列，即， 即，整理得，即， 又因为，，故的值为. 故选：D. 7．（本题5分）六艺，是我国周朝教育体系中的六种技能，即：礼､乐､射､御､书､数.在周朝官学中开设这六门课程，从这六门课中选5门，连排5节课，每门排一节，要求每天必须学“礼､乐､数”，并要求“礼”与“乐”相邻排课，但均不与“数”相邻排课，且“御”不能排在第一节，则不同的排课方案种数为（    ） A．24 B．48 C．64 D．128 【答案】C 【分析】本题相邻用捆绑法，不相邻用插空法，然后减去御在第一节的情况. 【详解】情况一：不选“御”，则课程为{礼, 乐, 数, 射, 书}，将(礼,乐)捆绑， 先排“射”､“书”有种，再将(礼,乐)和“数”插入3个空中，有种，(礼,乐)内部有种，共种； 情况二：选择“御”，则另一门从“射”､“书”中选，有种， 以选{礼, 乐, 数, 御, 射}为例，先不考虑“御”的限制，排法同情况一，有24种， 再减去“御”在第一节的情况：固定“御”在第一位，(礼,乐)只能在(2,3)或(4,5)位， 对应“数”和“射”的位置唯一确定，故有种，因此该课程组合有种排法. 综上所述，总共有种； 汇总两种情况，总排课方案为种. 故选：C 8．（本题5分）方程的正整数解共有（   ） A．50组 B．58组 C．60组 D．66组 【答案】B 【分析】将系数相同的变量合并换元，即设， 讨论和时的取值，利用隔板法求出解的组数，最后由分类加法计数原理即可得出答案. 【详解】对于方程， 设，则， 当时，，因为为偶数，则也为偶数，所以可以为， 时，只有一种解，此时， 由隔板法可知，将8个单位长度分成3个整数部分，一共有种分法， 所以共有组解，同理可得其他的组数， 所以当时，可得解的组数为； 当时，，因为为偶数，则为奇数，所以可以为， 利用隔板法可得解的组数为， 当时，因为，所以此时，不合题意， 综上，方程的正整数解共有组． 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）下列问题是排列问题的为（　　） A．高二（1）班选名班干部去学校礼堂听团课 B．某班名同学在假期互发微信 C．从1，2，3，4，5中任取两个数字相除 D．10个车站，站与站间的车票 【答案】BCD 【分析】根据排列的定义判断即可. 【详解】对于A：不存在顺序问题，不是排列问题； 对于B：存在顺序问题，是排列问题； 对于C：两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题； 对于D：车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题． 故选：BCD 10．（本题6分）某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ） A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种 B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案 C．若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案 D．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有144种不同的方案． 【答案】BC 【分析】利用计数原理，结合分组思想，排列组合思想即可逐项求解． 【详解】对于A：这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种，故A错误； 对于B：根据若每人安排一门学科，每门学科至少一人， 我们把这五人分成四组共有种方法，再将这四组人去负责四个学科相关工作共有种， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故B正确； 对于C：若数学学科必须安排两人，则有种方法，其余学科各安排一人共有种， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故C正确； 对于D：“每人安排一门学科，每门学科至少一人”的总方案数为240（同选项B），需排除“A负责语文”或“B负责数学”的情况，用容斥原理计算： 情况1：A负责语文 固定在语文，分2种子情况： ①语文为“2人组”（人）：选1人加入语文（），剩余3人分配到其他3科（），方案数： ②语文为“1人组”（仅A）：先B、C、D、E分为三组（2，1，1），有种方法，再将三组分到数学、英语、物理，有种方法，故总的方法数为：； 情况1总方案数：． 情况2：B负责数学 与“情况1”对称，总方案数同样为60． 情况3：A负责语文且B负责数学（重复减去的部分） 负责语文且B负责数学，并保证英语、物理学科均有人负责.分情况讨论如下： ①语文或数学为“2人组”：剩余3人选2人分配到英语和物理有种方法，最后1人去语文或数学有种方法，方法数：； ②英语或物理为“2人组”：3人分成两组（2，1），有种分法，两组分配到英语和物理，有种分法，故方案数为； 故情况3总方案数：． 根据容斥原理，不符合条件的方案数为：， 因此，符合条件的方案数为：，故D错误. 故选：BC． 11．（本题6分）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据乘法的运算法则，结合赋值法、二项式系数公式逐一判断即可. 【详解】A：二项式展开式中最高次项的指数为， 所以展开式中最高次项的指数为， 所以，因此本选项说法正确； B：展开式中最高次项的指数为，系数为， 所以， 含项的系数为， 中，含项的系数， 所以，因此本选项说法正确； C：在中， 令，得， 令，得， 两式相减，得， 所以本选项说法不正确； D：由上可知，所以本选项说法正确. 故选：ABD 三、填空题 12．（本题5分）________． 【答案】 【分析】直接根据组合数公式及组合数的性质计算可得. 【详解】因为． 故答案为： 13．（本题5分）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形，如图所示，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂的颜色都不相同，且“3，5，7”号小正方形涂相同的颜色，则符合要求的涂法共有______种． 【答案】108 【分析】由涂色问题进行分情况计算即可. 【详解】分类： 若小正方形1，9与5同色，则有种； 若小正方形1与5同色，9与5异色，则有种； 若小正方形9与5同色，1与5异色，则有种； 若小正方形1，9均与5异色或1与9同色，9与5异色，则有种. 可得，故符合条件的涂法共有108种. 故答案为：108. 14．（本题5分）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 【答案】 【分析】根据二项式系数之和得出，再利用二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】二项式系数之和为，所以， 因为的展开式的通项公式为： ， 当时，所以， 则展开式中的系数为. 故答案为：40. 四、解答题 15．（本题13分）（1）解关于x的不等式． （2）求等式中的n值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用排列数公式，化简列出不等式求解即得. （2）利用组合数公式，化简列出方程求解即得 【详解】（1）由，得，， 于是，整理得，解得， 所以. （2）原方程变形为，即，显然， 因此， 化简整理，得，而，解得， 所以. 16．（本题15分）已知． (1)求； (2)指出，，，⋯，中最大的项． 【答案】(1)-513 (2) 【分析】（1）直接由赋值法即可求解； （2）将问题转换为判断展开式的系数谁最大，由不等式法即可求解. 【详解】（1）令，得， 令，得， 所以； （2）判断中谁最大即判断展开式的系数谁最大． 展开式的通项， 由，得，因为，所以或6． 故中最大的项为． 17．（本题15分）（1）求精确到0.001的近似值； （2）若今天是星期一，再过天是星期几？ 【答案】（1）0.995；（2）星期三． 【分析】（1）由并作展开，结合精确数位即可得近似值； （2）由并作展开，判断除以7的余数，即可得. 【详解】（1）， 可以看出，及其后面的项在精确到0.001时都可以忽略， 所以近似值为． （2）因为， 显然，是一个除以7余2的数， 所以，如果今天是星期一，再过天是星期三． 18．（本题17分）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 【答案】(1)90 (2)30 (3)540 【分析】（1）利用分步乘法计数原理、组合计数问题列式计算. （2）利用组合计数问题、排列计数问题列式计算. （3）将学生人数按分组，财利用排列组合综合问题列式计算. 【详解】（1）若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有种. （2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，则报名方法有种. （3）由题可得报名人数的分配方案可以是，，或，，或，，. 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种. 所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有种. 19．（本题17分）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.    杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题. 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：； 请回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数. 【答案】(1)256 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由杨辉三角的第八行结合组合数的性质求解即可； （2）由组合数公式证明即可； （3）由二项式定理结合组合数性质求解即可. 【详解】（1）杨辉三角中第8行的各数之和为 （2） ， （3）的展开式中，求含项的系数为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第4章 计数原理（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某学校开设4门球类课程、5门田径类课程和2门体操类课程供学生选修，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．40种 B．20种 C．11种 D．9种 2．（本题5分）集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）计算（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 4．（本题5分）从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个奇数和1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为（   ） A．36 B．42 C．48 D．54 5．（本题5分）在直角坐标平面中，平行直线与平行直线组成的图形中，平行四边形共有（    ） A．25个 B．36个 C．100个 D．225个 6．（本题5分）在的展开式中，第、、项的二项式系数依次成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）六艺，是我国周朝教育体系中的六种技能，即：礼､乐､射､御､书､数.在周朝官学中开设这六门课程，从这六门课中选5门，连排5节课，每门排一节，要求每天必须学“礼､乐､数”，并要求“礼”与“乐”相邻排课，但均不与“数”相邻排课，且“御”不能排在第一节，则不同的排课方案种数为（    ） A．24 B．48 C．64 D．128 8．（本题5分）方程的正整数解共有（   ） A．50组 B．58组 C．60组 D．66组 二、多选题 9．（本题6分）下列问题是排列问题的为（　　） A．高二（1）班选名班干部去学校礼堂听团课 B．某班名同学在假期互发微信 C．从1，2，3，4，5中任取两个数字相除 D．10个车站，站与站间的车票 10．（本题6分）某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ） A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种 B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案 C．若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案 D．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有144种不同的方案． 11．（本题6分）已知，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）________． 13．（本题5分）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形，如图所示，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂的颜色都不相同，且“3，5，7”号小正方形涂相同的颜色，则符合要求的涂法共有______种． 14．（本题5分）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 四、解答题 15．（本题13分）（1）解关于x的不等式． （2）求等式中的n值． 16．（本题15分）已知． (1)求； (2)指出，，，⋯，中最大的项． 17．（本题15分）（1）求精确到0.001的近似值； （2）若今天是星期一，再过天是星期几？ 18．（本题17分）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 19．（本题17分）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.    杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题. 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：； 请回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $