第四章 概率与统计（高效培优单元测试·强化卷）数学人教B版2019选择性必修第二册

第四章 概率与统计单元测试卷·强化卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 2．已知为随机变量X和Y的样本相关系数，为随机变量M和N的样本相关系数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则X和Y负相关 B．若，则M和N线性不相关 C．若，，则X和Y的线性相关程度比M和N的线性相关程度强 D．若越接近1，则M和N的线性相关程度越弱 【答案】B 【详解】A，若，则X和Y正相关，故A错误； B，若，则M和N线性不相关，故B正确； C，若，，则， 所以X和Y的线性相关程度比M和N的线性相关程度弱，故C错误； D，若越接近1，则M和N的线性相关程度越强，故D错误. 故选：B 3．两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】两位游客从5个景点中任选，每人有5种选择，总事件数：种. 事件的对立事件为“两位游客都不选择葫芦古镇”，的事件数：种, 因此. 事件分为两种情况：甲选葫芦古镇，乙选其余4个景点，4种； 乙选葫芦古镇，甲选其余4个景点，4种；共种事件， 因此. 所以. 故选：C. 4．假设某厂包装食盐的生产线，生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：g），该生产线上的检测员某天随机抽取了四包食盐，则恰有两包食盐的质量不低于的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】每包食盐的质量不低于的概率为，抽取了四包食盐， 则四包食盐质量不低于的包数服从二项分布， 所以恰有两包食盐的质量不低于的概率为． 故选：A 5．为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有（    ）只 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828 A．35 B．36 C．37 D．38 【答案】B 【详解】设没接种只数为k，依题意，得2×2列联表如下： 发病 没发病 合计 接种 2k 没接种 k 合计 3k 则的观测值为：，因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱足球与性别有关的结论， 于是，即，即 ∴，∴ 故选：B． 6．已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则函数的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 【答案】C 【详解】服从正态分布，故 由对称性可知， 又，， 故，关于点成中心对称，C正确，AD错误； 又， 故， 不关于直线对称，B错误. 故选：C 7．2024海峡两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华·福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕．海峡两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两岸情．在活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次．指挥中心统计了前5次的数据，其中，为第次入口人流量数据（单位：百人），由此得到关于的回归方程，，已知，根据回归方程（参考数据：，），可预测下午4点时入口游客的人流量为（    ） A．9.6 B．11.0 C．11.4 D．12.0 【答案】B 【分析】 【详解】令，则， 又，由，得， 因为，所以 则， 下午4点时对应的是， 可得， 故选：B 8．由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能（）的中国初创公司．其模型于2024年年底发布，此模型足以媲美，一经推出便成为全球热门话题．利用进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是目前市场各种模型运算参差不齐．技术人员对n个模型进行测试，测试由m道题组成，每个模型都对这道题逐一进行求解．若一道题至少有个模型未解对，则称此题为难题；若一个模型至少解出了道题，则该模型测试成绩合格．如果测试至少有个模型成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为（   ） A．6 B．9 C．18 D．27 【答案】B 【详解】设有个模型合格，道题为难题，则， 依题意有， 所以 所以， 同理 ， 要使两式有整数解，则，所以． 当时，若3个模型生答题情况如下表： 题目1 题目2 题目3 1 √ √ × 2 √ × √ 3 √ × × 则有2个模型合格，2个难题，符合题意，所以的最小值为9． 故选：B 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（多选）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的关系，正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由图形特征可知，都是负相关，都是负数，比的相关系数绝对值更大，所以，，都是正相关，比的相关关系更强，所以. 故选：AC 10．设为两个相互独立的随机事件，且，下列命题中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由为两个相互独立的随机事件，则和，和也是相互独立，得， 对于A项，，故A项错误； 对于B项，，故B项正确； 对于C项，，故C项正确； 对于D项，，故D项正确． 故选：BCD 11．某次体育比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场即比赛结束．甲、乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如下表： 出场顺序 1号 2号 3号 4号 5号 获胜概率 若比赛结束时甲队获胜的场数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意可得: 时，前三场甲输，未进行后两场比赛， 所以，则．A正确 时，前3场甲1胜2负，第4场甲负，未进行第五场 ，解得．B错误 由题意知所有的可能取值为0，1，2，3，则 ， 甲胜率表如下所示： 出场顺序 1号 2号 3号 4号 5号 获胜概率 时，前4场甲2胜2负（含1和3胜；2和4胜；1，3中胜一场，2，4中胜一场三大类），第5场甲负 ， 时，前3局全胜未进行后2场比赛；前3局甲胜2场，第4场甲胜，未进行第五场比赛；前4场甲2胜2负，第5场甲胜（因第5场甲胜负概率相同，所以此时概率等于） ，C正确 所以的分布列为 0 1 2 3 故．D错误 故选：AC 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这些产品中任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为 . 【答案】 【详解】根据题意可知，任意抽取个共有种抽法， 则其中恰好有个二等品的抽法共有种， 因此任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为. 故答案为： 13．某工厂有四条流水线，生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的，，，，这四条流水线的不合格品率依次为，，，.该厂规定，出现不合格品要追究有关流水线的经济责任，现在从出厂的产品中任取一件，结果为不合格品，但该件产品的生产流水线标志缺失，工厂欲对这件不合格品追责，则第四条流水线应该承担 的责任.（结果精确到） 【答案】 【详解】记产品是不合格品为事件，产品来自第四条流水线为事件， 则， 所以， 所以第四条流水线应该承担约的责任. 故答案为： 14．甲、乙、丙三人分别从2个不同的数中随机选择若干个数（可以不选），分别构成集合，，，记中元素的个数为，则的概率为 . 【答案】 【详解】设两个不同数为，一个元素被某人选中的概率为且相互独立， 所以一个元素被甲乙丙三人都选中的概率为， 由中元素的个数，表示至少一个元素被三人选中， 而两个元素均未被三人选中的概率为， 所以的概率为. 故答案为： 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．某工厂有两台机床生产同种产品，产品按质量分为特优级产品和优级产品，为比较两台机床生产的产品质量是否与机床有关，分别用两台机床各自生产了300件产品，产品的质量统计如下表： 特优级品 优级品 合计 一号机床 225 75 300 二号机床 180 120 300 合计 405 195 600 (1)能否有的把握认为两台机床的产品质量有差异？ (2)现考虑让一号机床生产4件产品，若用上述样本中的频率作为概率进行估计，用表示这4件产品中的特优级品数量，求的期望与方差． 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)有99.9%的把握认为两台机床的产品质量有差异 (2)期望为3，方差为0.75 【分析】 【详解】（1）零假设为：两台机床的产品质量没差异， 根据列联表数据，计算卡方统计量： ，其中，（一号机床特优级品），（一号机床优级品），（二号机床特优级品），（二号机床优级品），（总样本量）， 代入得，， 99.9%的把握的临界值为（对应）， 由于， 故有99.9%的把握认为两台机床的产品质量有差异 （2）一号机床生产特优级产品的频率为，故 期望： 方差： 16．某芯片研究团队为制定下一年的研发投入计划，需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，该团队建立了两个模型：①；②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到右侧散点图，如图.令，，计算得如下数据： 20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500 (1)设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，旋转一个拟合程度更好的模型： (2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额y需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?（结果精确到0.01） 附：对于一组数据，样本相关系数 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. 【答案】(1)模型②； (2)（i）（ⅱ）27.1亿元 【分析】 【详解】（1）由题意表格数据得， 同理， ∵0.86<0.91，即， 则从相关系数的角度，选择模型②的拟合程度会更好. （2）（i）由（1）得，模型②，可建立关于x的线性回归方程， 则，又， ∴，∴， ∴，即. （ii）由（i）得， 要使下一年销售额达到80亿元，即，， ∴，解得， 故下一年销售额达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元. 17．某个学习小组有6名同学，其中男生4人，女生2人，现从中选出3人参加一项活动，记男生的人数为． (1)求的分布列和数学期望； (2)现从该小组6名同学中重新选取3人参加另一项活动． ①求两次活动中恰好有一人都参加的概率； ②已知第一次活动有两名男生参加，求第二次活动这两名男生也参加的概率． 【答案】(1)分布列见解析，期望为2； (2)①；②. 【分析】 【详解】（1）由题设的可能取值为，则，，， 所以的分布列如下： 1 2 3 ； （2）①由题意，6个人中有1个人参加两次活动有种， 再从5人中选2人参加第一项活动，最后从3人中选2人参加另一项活动， 所以两次活动中恰好有一人都参加的概率； ②第一次有两名男生参加，第二次这两名男生也参加，且另一名从其它4人中选1人，所以对应概率为. 18．人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. (1)求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； (2)若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； (3)经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）设A，B，C三款模型通过算法设计评审为事件， A，B，C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件， 则 ； （2）设A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件， 则 ； 由条件概率公式可得 ； （3）设A，B，C三款模型能成功上线为事件， 则，，， 的可能取值为， 则， ， ， ， 所以X的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望为. 19．“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动． (1)若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自中学，从这7名中学生中选取3名中学生，求选取的中学生中来自中学的人数的分布列和数学期望； (2)在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率； （ii）当时，求的最大值． 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）；（ii） 【分析】 【详解】（1）由题意知，的可能取值有，，，， ，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 （2）（i）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则， 设乙答对题数为，则， 设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”， 则 （ii）因为，所以 由，又，所以， 则，又，所以， 设，所以，因， 由二次函数的性质可知，当时取最大值， 故甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 概率与统计单元测试卷·强化卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 2．已知为随机变量X和Y的样本相关系数，为随机变量M和N的样本相关系数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则X和Y负相关 B．若，则M和N线性不相关 C．若，，则X和Y的线性相关程度比M和N的线性相关程度强 D．若越接近1，则M和N的线性相关程度越弱 3．两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（    ） A． B． C． D． 4．假设某厂包装食盐的生产线，生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：g），该生产线上的检测员某天随机抽取了四包食盐，则恰有两包食盐的质量不低于的概率为（    ）． A． B． C． D． 5．为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有（    ）只 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828 A．35 B．36 C．37 D．38 6．已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则函数的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 7．2024海峡两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华·福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕．海峡两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两岸情．在活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次．指挥中心统计了前5次的数据，其中，为第次入口人流量数据（单位：百人），由此得到关于的回归方程，，已知，根据回归方程（参考数据：，），可预测下午4点时入口游客的人流量为（    ） A．9.6 B．11.0 C．11.4 D．12.0 8．由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能（）的中国初创公司．其模型于2024年年底发布，此模型足以媲美，一经推出便成为全球热门话题．利用进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是目前市场各种模型运算参差不齐．技术人员对n个模型进行测试，测试由m道题组成，每个模型都对这道题逐一进行求解．若一道题至少有个模型未解对，则称此题为难题；若一个模型至少解出了道题，则该模型测试成绩合格．如果测试至少有个模型成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为（   ） A．6 B．9 C．18 D．27 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（多选）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的关系，正确的有（   ） A． B． C． D． 10．设为两个相互独立的随机事件，且，下列命题中，正确的是（   ） A． B． C． D． 11．某次体育比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场即比赛结束．甲、乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如下表： 出场顺序 1号 2号 3号 4号 5号 获胜概率 若比赛结束时甲队获胜的场数为，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这些产品中任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为 . 13．某工厂有四条流水线，生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的，，，，这四条流水线的不合格品率依次为，，，.该厂规定，出现不合格品要追究有关流水线的经济责任，现在从出厂的产品中任取一件，结果为不合格品，但该件产品的生产流水线标志缺失，工厂欲对这件不合格品追责，则第四条流水线应该承担 的责任.（结果精确到） 14．甲、乙、丙三人分别从2个不同的数中随机选择若干个数（可以不选），分别构成集合，，，记中元素的个数为，则的概率为 . 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．某工厂有两台机床生产同种产品，产品按质量分为特优级产品和优级产品，为比较两台机床生产的产品质量是否与机床有关，分别用两台机床各自生产了300件产品，产品的质量统计如下表： 特优级品 优级品 合计 一号机床 225 75 300 二号机床 180 120 300 合计 405 195 600 (1)能否有的把握认为两台机床的产品质量有差异？ (2)现考虑让一号机床生产4件产品，若用上述样本中的频率作为概率进行估计，用表示这4件产品中的特优级品数量，求的期望与方差． 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16．某芯片研究团队为制定下一年的研发投入计划，需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，该团队建立了两个模型：①；②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到右侧散点图，如图.令，，计算得如下数据： 20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500 (1)设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，旋转一个拟合程度更好的模型： (2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额y需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?（结果精确到0.01） 附：对于一组数据，样本相关系数 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. 17．某个学习小组有6名同学，其中男生4人，女生2人，现从中选出3人参加一项活动，记男生的人数为． (1)求的分布列和数学期望； (2)现从该小组6名同学中重新选取3人参加另一项活动． ①求两次活动中恰好有一人都参加的概率； ②已知第一次活动有两名男生参加，求第二次活动这两名男生也参加的概率． 18．人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. (1)求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； (2)若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； (3)经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 19．“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动． (1)若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自中学，从这7名中学生中选取3名中学生，求选取的中学生中来自中学的人数的分布列和数学期望； (2)在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率； （ii）当时，求的最大值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $