高中数学单元测试——第3章圆锥曲线与方程（较易版01）

**基本信息** 本卷为高中数学圆锥曲线与方程单元复习较易版，聚焦抛物线、双曲线、椭圆核心知识，通过基础巩固题与现实情境题（如拱桥问题）结合，适配单元知识查漏与数学眼光、思维、语言素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|抛物线焦点准线、双曲线渐近线、椭圆离心率|基础概念直接考查，如第1题抛物线距离| |多选题|3/18|双曲线性质、抛物线综合、双纽线新定义|多选项辨析，融入新定义（双纽线），培养推理意识| |填空题|3/15|双曲线方程参数、圆与抛物线距离最值|开放题（第12题）与最值问题结合，考查空间观念| |解答题|5/77|曲线方程求解、直线与圆锥曲线综合|分层设问，如18题椭圆定点探究、19题轨迹证明，体现数学思维与模型意识|

高中数学单元测试 —— 第3章 圆锥曲线与方程（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】由题可知即求p的值. 【详解】解：由题得， 故焦点到准线的距离为2， 故选：A． 2．（本题5分）已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】先判断双曲线的焦点在轴上，再由其渐近线方程列出关于的方程求解即得. 【详解】因为方程表示双曲线，所以， 又双曲线的焦点在轴上，所以其渐近线方程为， 由解得. 故选：A 3．（本题5分）以椭圆的左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出的关系，进而求出离心率. 【详解】令椭圆半焦距为，由左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，得， 则，所以所求离心率. 故选：A 4．（本题5分）已知抛物线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】先联立抛物线与圆求出A，B横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解. 【详解】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立得，解得， 则，将代入可得，则. 故选：C. 5．（本题5分）过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用焦点相同这个条件得到相同，结合椭圆经过定点条件，构造方程组求解即可. 【详解】由题意得椭圆的焦点坐标为，， 设所求椭圆的标准方程为， 由于椭圆经过过点，则可将点代入方程得到，． 所求椭圆与椭圆有相同的焦点，所求椭圆的半焦距，， 联立解得，，所求椭圆的标准方程为. 故选：B. 6．（本题5分）如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（　　） A．6 B．8 C．4 D．4 【答案】B 【分析】以拱顶为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，根据条件求出抛物线方程， 再求出水面下降后，水面的宽度. 【详解】以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为， 依题意可知抛物线过点，所以，解得， 所以抛物线方程为， 所以当时，， 解得， 所以当水面下降后，水面的宽度为． 故选：B． 7．（本题5分）已知，为双曲线的左，右焦点，过点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，则的面积为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】利用双曲线可得到渐近线方程，然后利用点到直线的距离算出，继而求得，根据三角形面积公式可得结果. 【详解】如图    由题意可得双曲线的一条渐近线方程为， 焦点到渐近线的距离为， 所以，， 所以. 故选:：D. 8．（本题5分）已知椭圆C：的右焦点为F，点，P为椭圆C上的一动点，则的最大值为（    ） A．10 B．13 C．19 D．21 【答案】C 【分析】根据题目条件利用椭圆的定义转化，结合三角形性质即可求出的最大值. 【详解】已知椭圆方程：， 故：，， 焦距：， 焦点为：， 已知，在椭圆上，求： 由椭圆的定义：，可得， 代入目标：， 问题转化为求：， 对于任意点，由三角形性质可得（三点共线时取等）：， 因此：，又， ， ，. 故选：C 二、多选题 9．（本题6分）关于双曲线的以下论述中，正确的是（   ） A．焦点在y轴上 B．虚轴长为16 C．渐近线方程为 D．离心率为 【答案】ACD 【分析】由有，逐项验证即可求解. 【详解】由有，所以双曲线的焦点在轴上，故A正确； 由，所以虚轴长为，故B错误； 由得，故C正确；由，所以，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10．（本题6分）已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点在抛物线C上，直线分别与l交于A，B，直线与抛物线C交于另一点N，则（    ） A．F的坐标为 B． C． D． 【答案】BC 【分析】由抛物线的标准方程可判断A，由抛物线的定义可判断B，求出直线的方程并得到坐标可判断C，分别计算和的面积可判断D. 【详解】对于A，由抛物线，可得，所以，且焦点在轴正半轴上，则焦点，所以A错误； 对于B，由抛物线的方程得，由定义可得，所以B正确； 对于C，直线的方程分别为，，分别与联立得，，所以，所以C正确； 对于D，联立，得，解得， 所以，由，所以D错误． 故选：BC. 11．（本题6分）已知，若平面内动点满足，则称点P的轨迹为双纽线，下列结论正确的是（    ） A．双纽线是轴对称图形 B．的面积的最大值为 C． D．直线与双纽线有三个交点 【答案】AD 【分析】对于A，利用两点的距离公式整理方程，将关于坐标轴对称的点代入，可得答案；对于B，利用一元二次方程根的存在性，求得动点坐标的范围，结合三角形面积公式，可得答案；对于C，根据三角形三边关系，可得答案；对于D，联立方程，因式分解求方程的根，可得答案. 【详解】对于A，由， 则曲线方程为， 由关于轴的对称点为，显然当满足方程时，也满足方程， 则双纽线关于轴对称，故A正确； 对于B，由方程， 整理可得关于的方程， 由，解得， 由，则其最大值为，故B错误； 对于C，当点不在原点，则构成，则，故C错误； 对于D，将代入方程， 整理可得，解得或，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（本题5分）方程表示双曲线，写出一个可以满足题意的值为__________. 【答案】1（答案不唯一）. 【分析】利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可. 【详解】因为方程表示双曲线，所以，即， 所以m的取值范围是. 故答案为：1（答案不唯一）. 13．（本题5分）点在圆上，点在抛物线上，则线段长度的最小值为_____. 【答案】 【分析】先求出圆心和半径，再由两点间距离公式和配方法求出即可. 【详解】圆的圆心，， 设， 则， 故答案为： 14．（本题5分）已知点是椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一个动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】设，计算，结合二次函数性质和题意即可分析求解. 【详解】由题可知，设，则， 所以， 因为函数的图象对称轴为，图象开口向上， 又由题意知当即时有，且， 所以，即，故满足题意的实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）根据下列条件，求曲线方程. (1)对称轴是轴，且顶点在原点，经过，求抛物线方程； (2)以椭圆的短轴的两个顶点为焦点，且离心率为2的双曲线方程； 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用待定系数法来求抛物线方程； (2)利用双曲线的来求双曲线方程. 【详解】（1）可设对称轴是轴，且顶点在原点的抛物线方程为：， 由经过点可得，， 所以抛物线方程为； （2）由椭圆的短轴两个顶点为， 可知双曲线的焦点为，即， 由离心率为2，则， 所以， 根据焦点在轴上可得双曲线方程为：. 16．（本题15分）拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点． (1)当时，求； (2)若的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得到焦点坐标，则直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦公式表示出，再代入即可得解； （2）求出点到直线的距离，再由面积公式得到方程，解得即可. 【详解】（1）拋物线的焦点， 则直线的方程为． 设， 由，得， 则，所以， 所以， 当时，． （2）因为， 点到直线的距离， 所以， 化简得，解得，即． 17．（本题15分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程得到，然后根据经过的点坐标求出的值，进而求得双曲线的方程. （2）设，将其代入双曲线方程中进行化简即可求得直线的斜率，进而得到直线的方程. 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为， 即，又双曲线的渐近线方程为，所以，即. 而双曲线经过点，所以有，解得. 所以双曲线的方程为. （2）设，将其代入双曲线方程中得 ，两式相减得 因为线段的中点坐标为，所以. 所以，设直线的斜率为，则. 所以直线的方程为，即. 18．（本题17分）已知椭圆，设分别为椭圆的左、右焦点． (1)点在椭圆上，若，求的面积； (2)过点的直线（斜率不为0）交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在轴上存在定点，使得为定值． 【分析】（1）由椭圆定义、勾股定理、直角三角形面积公式求解即可； （2）设直线与椭圆联立，设定点，由韦达定理化简数量积，让含m的项系数为 0，即可求出定点的坐标. 【详解】（1）设，又，则， 由得，∴解得， 故． （2）由（1）知，左焦点． 因为直线斜率不为0，可设直线的方程为， 联立直线的方程与椭圆方程，得． 设，则， ． 设定点，则， 代入得：， 令此式与无关，则，则， 此时， 因此，在轴上存在定点，使得为定值． 19．（本题17分）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于两点.当点运动时，点的轨迹为. (1)证明：点的轨迹方程是； (2)过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）先由直线与双曲线唯一公共点可得及M点坐标，进而可求直线的方程及，从而可得点的轨迹方程； （2）先设直线的方程，再与轨迹的方程联立得根与系数关系，再由对称性可知定点必在x轴上，设定点坐标，根据三点共线可得定点坐标. 【详解】（1）设点的坐标为，联立方程，消去后整理为， 令，可得. 所以，， 得点的坐标为.如图：    直线的方程为，整理为，可得， 有，可得，有， 所以点的轨迹方程为. （2）设点的坐标分别为，有，设直线的方程为.如图：    联立方程，消去后整理为， 有，. 由双曲线及对称性可知若直线过定点，定点必在轴上，设定点. 有，有，有. 有，，得， 可得点的坐标为，故直线过定点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第3章 圆锥曲线与方程（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（本题5分）已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．（本题5分）以椭圆的左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知抛物线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 5．（本题5分）过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（　　） A．6 B．8 C．4 D．4 7．（本题5分）已知，为双曲线的左，右焦点，过点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，则的面积为（    ） A．2 B． C．4 D． 8．（本题5分）已知椭圆C：的右焦点为F，点，P为椭圆C上的一动点，则的最大值为（    ） A．10 B．13 C．19 D．21 二、多选题 9．（本题6分）关于双曲线的以下论述中，正确的是（   ） A．焦点在y轴上 B．虚轴长为16 C．渐近线方程为 D．离心率为 10．（本题6分）已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点在抛物线C上，直线分别与l交于A，B，直线与抛物线C交于另一点N，则（    ） A．F的坐标为 B． C． D． 11．（本题6分）已知，若平面内动点满足，则称点P的轨迹为双纽线，下列结论正确的是（    ） A．双纽线是轴对称图形 B．的面积的最大值为 C． D．直线与双纽线有三个交点 三、填空题 12．（本题5分）方程表示双曲线，写出一个可以满足题意的值为__________. 13．（本题5分）点在圆上，点在抛物线上，则线段长度的最小值为_____. 14．（本题5分）已知点是椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一个动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为___________． 四、解答题 15．（本题13分）根据下列条件，求曲线方程. (1)对称轴是轴，且顶点在原点，经过，求抛物线方程； (2)以椭圆的短轴的两个顶点为焦点，且离心率为2的双曲线方程； 16．（本题15分）拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点． (1)当时，求； (2)若的面积为，求的值． 17．（本题15分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 18．（本题17分）已知椭圆，设分别为椭圆的左、右焦点． (1)点在椭圆上，若，求的面积； (2)过点的直线（斜率不为0）交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 19．（本题17分）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于两点.当点运动时，点的轨迹为. (1)证明：点的轨迹方程是； (2)过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $