第3章 圆锥曲线与方程 单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

湘教版高中数学选择性必修第一册 第3章：圆锥曲线与方程 单元测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线是双曲线的一条渐近线，则（    ） A．1 B．4 C．16 D．18 2．已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 3．已知是椭圆的下焦点，为上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，则的长轴长为（    ） A． B． C．8 D．4 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左、右焦点分别为是的左支上一点，的平分线上的点满足，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 6．椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点作直线轴交椭圆于点，则（    ） A．2 B． C． D．3 7．在椭圆上有两个动点，，为定点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 8．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上，，，分别是，的中点，且的周长为4，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知椭圆，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（   ） A．存在使得 B．的最小值为 C．，则的面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值 10．已知曲线，则（   ） A．当时，是圆 B．当时，是椭圆且一焦点为 C．当时，是椭圆且焦距为 D．当时，是焦点在轴上的椭圆 11．已知点是抛物线的焦点，，是经过点的弦且，直线的斜率，，两点在轴上方，为坐标原点，则下列结论中正确的是（   ） A． B．四边形面积的最小值为 C． D．若，则直线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则 . 13．过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与交于两点，与的渐近线交于两点，若，则的离心率为 ． 14．已知抛物线的顶点为，焦点为，且经过点，若，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知椭圆，其中离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程． 16．（15分）已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 17．（15分）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线的方程； (2)如图，若过点的直线与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 18．（17分）在平面直角坐标系中，已知圆、圆，若圆与，都外切，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)设点，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 19．（17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，连接BF并延长交椭圆C于点椭圆P． (1)若，，求椭圆C的方程 (2)若直线AB与直线AP的斜率之比是-2，证明：为定值，并求出定值． 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学选择性必修第一册 第3章：圆锥曲线与方程单元测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分。共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.直线2x-y=0是双曲线卫-1的一条渐近线，则m=(） 9 A.1 B.4 C.16 D.18 【答案】D 【分析】根据渐近线的求法可直接求解 【详解】令双曲线方程等号右侧的1变为0，可得双曲线的渐近线方程为)y=±mx 3 又直线V2x-y=0是双曲线的一条渐近线，所以m=V2,解得m=18.故选：D 3 2.已知A(亿，3)，双曲线C:上=1的左焦点为卫，P是双曲线C的右支上的动点，则PA-P的最大值是() 45 A.-1 B.2 C.3 D.1 【答案】D 【分析】由双曲线的定义得PF-PF=4,由三角不等式得出PA-PF=PA-PF-4≤1，即可求解. 【详解】如图，设双曲线的右焦点为F'(3,O),连接PF',AF',则PF-PF=2a=4, 因为AF叫=V(7-3)2+32=5, 而AF1≥PA-PF|,所以PA-PF=PA-PF-4≤AF-4=5-4=1, 当P,F',A三点共线且F'在P,A之间时等号成立，故PA-PF的最大值是1. 故选：D 3.己知F是椭圆c:少+ 95 =1的下焦点，P为C上一点， 则PA+PF的最小值为() 10 A.3 11 13 B. C.4 D 3 【答案】D 【分析】设F'为椭圆C的上焦点，易知点A在椭圆内，利用椭圆定义将PA+PF转化为6-（(PF-PA),当P,A,F 三点共线时，P叫-PA的最大值为4AP,即可得解。 【详解】设r为稀圆C的上焦点，椭圆c号+号=1中a=3,b-5,则c=2. 所以焦点坐标分别为F(0,-2),F'(0,2).连接Pr',由椭圆定义得PF+PF=2a=6 4)2 由于1,3 7,,所以点A在椭圆内. <1 515 如图所示，|PA+PF=PA+2a-PF=6-(PF叫-PA), 将PF代换为2a-PF叫来求PA+PF的最小值，也就是求PF-PA的最大值， 当RAF三点共线时，PFPA的段大值刻：图 33·故选：D 所以P4+P的最小值为6--13 4.己知椭圆c:+y a28 =I(a>0)的左、右焦点分别为耳，F,上顶点为A,若AF⊥AF,则C的长轴长为() A.8√2 B.4V2 C.8 D.4 【答案】c 【分析】利用△AFE为等腰直角三角形求出a=√c,再由a2=b2+c2求出a可得答案. 【详解】由题设知F=2c,A=AF=a,结合A⊥AE, 可知△ARR为等腰直角三角形，所以F到A+A=V匠+d=√2a=2c,故a=Vc, 所以a-+c2-8+号，解得a=4,所以C的长轴长为2a=8. 故选：C. 5.如图，在平面直角坐标系x0中，双曲线B:上- =1的左、右焦点分别为耳，F2,M是 y 912 E的左支上一点，∠FM2的平分线上的点N满足F,NMN=0,则|ON=() A.6 B.4 C.3 D.2 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义及中垂线的性质求解即可。 【详解】双曲线B: =1的实半轴长为a=3.由F,N·MW=0,知MN⊥FN,如图， 912 延长F,W交M的延长线于点H,又因为N是∠FM,的平分线， 所以H=MlH=N引，故N为R的中点，又O是FE的中点， 所以oN=R=M-M=0M-MD=a=3.故选：C. 6.椭圆c:父+y=1的左、右焦点分别为R,R,过右焦点作直线4上x轴交椭圆C于A点，则1=（） A.2 B. C. D.3 【答案】C 【分析】解法1：设A=x,利用椭圆的定义得AE=4-x,结合AE,上x轴，利用勾股定理求解即得；解法2： 利用椭圆的通径公式和椭圆的定义即可求得。 【详解】解法1：由题意知E=2W4-1=2V3,设A=x,则由A+A=4可得AF引=4-x, 在Rt△4B中，A-A=R,即x2-4-)'=12,解得x=7 2 解法2：由题意知椭圆C的长轴长2a=4,短轴长2b=24是椭圆通径长的一半，所以4风-6- a21 测4=2a-M子放选：C 7.在椭圆女+y=1止有两个动点P,Q,B,0)为定点，PL吧，则丽.Q乎的最小值为《） A.3 1 B. 1 C. D.1 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律得E严.OP=EP,设P(x,y),则EP=(c-1,y),然后利用模长的坐标公式列式，结合 椭圆上点的横坐标范围，根据二次函数性质求解最值即可。 【详解】由题意得EP.QP=EP.(EP-O=EP-EP.E0=EP. 设椭圆上一点P(x,y),则EP=(x-1,y), 丽=收y(任少1手引-到+又22，当音时，㎡取利最小号 即丽Q的最小值为？故选：C 3 8,已知.R分别是椭周C等+若-a6>0的法、右货点。点40，点B在箱制C上，丽-28B,D E分别是AF,BE的中点，且△DEF,的周长为4，则椭圆C的方程为() A. B.+32 4+8=1 C.3y2 43 4+4=1 D.3 =1 【答案】B 【分析】由题意，可得A,耳，B三点共线，且A=2FB,根据△DEE的周长为4，结合椭圆的定义求得a, 设B(x。,y。),根据AF=2FB,求得点B坐标，代入椭圆的方程，求得b的值，即可求解 【详解】因为AF=2FB,所以A,耳，B三点共线，且A=2耳B吲. 因为D,E分别为AF和BR的中点，所以4a=AB+AF+BF,=2(（DE+DF+EF)=8,所以a=2. 设B(x,y),(-C,0),A(0,b),由AE=2FB,可得(-C,-b)=2(x+C,), 求得4=音⅓台所（告-号引因为点在搭国c上，所以答1求得-号公-号 3c b 所以椭圆C的方程为+3少=1.故选：B 48 D F2 E B 二、多项选铎题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知椭圆C:二+上=1，R,B分别为它的左右焦点，4，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点， 25+9 下列结论中正确的有() A存在F使得∠R职号 B.cos∠RPR的最小值为25 7 C.PF⊥PE,则△FPE的面积为9 D.直线PA与直线PB斜率乘积为定值 25 【答案】ABC 【分析】设椭圆C短轴顶点为D,E根据DF.DE<0得∠FP耳，的最大角为钝角即可判断A;记IPF=,PE=n, 则m+n=10,结合余弦定理与基本不等式求解判断B:结合题意得1= m+川-(+心】-=18，进而计算面 积判断C;设P(x,y)(x≠±5)，直接求解kAka即可判断D. 详解)解：设椭圆C短抽顶点为D,B,由题知椭圆C:5+。中，a=56=3C三 所以，耳(-4,0)，F2(4,0),A(-5,0),B(5,0),D(0,3),E(0,-3), 对于A选项，由于DE=(-4,-3),DF=(4,-3),DE·DE,=-16+9=-7<0, 所以∠RP吗的最大角为钝角，放存在P使得∠FP明-了，A正确： 对于B选项，记IP耳=，PF=n,则m+n=10, 由余弦定理：c0s∠RPR=m+n-64.m+m-21-6436-2L-181 2nn 2nin 2nin nm 18 7 m+n? -1= 25,当且仅当|PEHPE引时取=”，B正确： 2 对于C选项，由于PF⊥PF,故 分8-ma时ei18. 1 所以8%=2m=9,C正确： 对于D选项。设Px5.4(气50.B50,则若号-1，a5:5 -5,于是 912） kra'kne =y _v2 (25 9,D错误 x+5x-5x2-25x2-25 25 故选：ABC 0 B花 10.已奥线c3希0a>0,则《) A.当1=3时，C是圆 B.当1=2时，C是椭圆且一焦点为(2,0) C.当2=4时，C是椭圆且焦距为2√6 D.当0<1<3时，C是焦点在y轴上的椭圆 【答案】AC 【分析】分别将入值代入方程，化简即可判断A、B、C,举例即可说明D. 【详解】对于A项，当1=3时，曲线C可化为x2+y2=6是圆，A正确： 对于B项，当=2时，曲线C可化为上+x=1是焦点在y轴上的椭圆，B错误； 5 对于C项，当元=4时，曲线c:+兰=1是椭圆，且c=13-7=6,所以26=26，故c正确： 137 手D项，当入1时，血线C-,1,为双曲线，即曲线C不是稀圆，放D错误，故选：A 11.已知点F是抛物线y2=2x(D>0)的焦点，AB,CD是经过点F的弦且AB⊥CD,直线AB的斜率k>0,B, C两点在x轴上方，O为坐标原点，则下列结论中正确的是() A.0C.0D=-2p2 4 B.四边形ACBD面积的最小值为16p2 111 C.BCD2p D.若AFBF=4p2,则直线CD的斜率为-√5 【答案】ACD 【分析】设直线AB的方程为y=kx- 2 ,联立抛物线方程利用韦达定理并计算可判断A正确，求得四边形ACBD 面积的表达式为5-2p仁+并利用基本不等式计算可得最小值为8即，即B错误：根据焦半径公式代入计算可 符C正确，求得AB-!产公+4p解方程计算可得太=5，即D正确 k2 3 【详解】如下图所示： B D 易知严号0，设A5,为8（长，.则直线4的方程为y=-号》，英中=n89e0 y2=2px 联立 y=k x- 卫 整理可得x-pe:+2小+-0，可得5+5-D+2习 4 2 k2 4 对于A:设C,.,小，易直线Cn的部率为名方程为=(-) 时理时得+=n(+小=号 所oco0=x+w是+宗6最-信录++品 P+卫-pP+)?p:3,可知A正确： 4k24 2k24k2-4 对于B,由焦点弦公式计算可得AB=X+x,+p= 0+21p-2p+1. 2 CD=x+x4+p=p(2k2+1)+p=2p(k2+1) 因为AB上cD,可得四边彩CD面为3cDP多小多1 2p++222+2-8p, = 所以四边形ACBD面积的最小值为8p2,即B错误： 1 1 1 1 2 1 对于C,由B可知ABCD2p(k2+1)2pk2+1)2pk2+1)，即C正确： k2 对打D胡时=p.可-号+5号+)片-+号，号-发少p 4=4+2k2 4k2 即可得4，解得一兮即及=5支k=-〔合)：因此直线8的领斜角为30，所以直线cD的领斜角 k2 3 3 为120°，即直线CD的斜率为tam120°=-√5，即D正确.故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知抛物线C:y2=2Px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与C交于A,B两点，若FA=2FB=6,则 卫= 【答案】4 【分析】延长AB与准线相交，利用抛物线的定义以及相似比即可求出. 【详解】如图，设直线AB与准线交于点H,分别过点A,B作准线的垂线，垂足为A,B,且准线 B 与x轴的交点为耳， 则由抛物线的定义可知，H4=A-6,1BB=B=3,则：BH 4B+AB'即后 H 6BH+9 得|BH=9,又 网B+B丽，则g本3：得P=4.故答案为：4 BB BH 39 13.过双曲线B等茶-Ka0D>0的右焦点日垂直于精的直线与2交于4B两点，与万的箭近线交干C,P丙 点，若5AB=3CD,则E的离心率为 【陪案】 【分折门根搭焦点华标可分别米4州-空，Q小：咨。再血流可利是=-a,可求出离心丰 a a 【理钢】影如石我点标为o0.客代入上号后-1，得=±会树 a a 将=e代入渐近线方程y=±2x得y=±c,则CD=c,由于5=3C⑦，故Al-引CD, a n2b32bC,即b=3c，则b三25C=C-a,辩得2-C了 -X- a 5 a 故答案为：4 14.己知抛物线C:y2=2Px(p>0)的顶点为O,焦点为F,且经过点A(x,2),若|AF=3|OF|,则P= 【答案】√2 【分析】结合抛物线的定义与几何性质建立关系，即可求得 【详解】因为点A(x,2)在抛物线C上，|AF=3引OF1, 所以x。+号 =,所以5=p,所以A2,2),所以4=2p,解得p=V2故答案为：万 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 43分)已知随圆C芯+(a>b>,其中离心率为，且过点 2 (1)求椭圆C的标准方程； ②过点02的直线被椭圆C枝得胸弦长为2，米直线/的方程 【答案】①上+产=1 (2)V1413+12W2)x-7y+14=0或1413+12W2)x+7y-14=0 【分析】(1)根据离心率和过点列方程组求解即可： (2)分直线1斜率存在和不存在时讨论，当直线1斜率存在时，设其方程为y=x+2,与椭圆方程联立，利用弦 长公式求出弦长，列方程求解即可. a2=b2+c2 【详解】(1)由题意得-5 a 2 ,解得a=V2,b=1,心椭圆C的标准方程为号+=1， 12 2 a2+b2 (2)分直线1斜率是否存在讨论：当斜率不存在时，直线方程为x=0,此时截得的弦长为2√2，不符合题意： y=x十2， 当斜率存在时，设直线I的方程为y=kx+2,联立 得(k2+2)x2+4kx+2=0, +x2=1, 2 2 股直线L与椭圆C的交点为4cWB(G则A=6k8K+2归改L6>0,+号+文 则AB=V+)(x+x)2-4x5 2221VF-2=3V5,化简得7k-52-68=0, k2+2 2 解得k=43+12万直线1的方程为，：±43+12万 +2 7 7 综上，1413+12W2)x-7y+14=0或1413+12W②x+7y-14=0. 16。（15分)已知双曲线C若若=1a>0b>0的左、右焦点分别为.乃. 若双曲线C与椭圆+y=1有共同的焦点，且双曲线C过点Q2山，求该双曲线的标准方程， ②若b=1,点在双商线右支上，且∠Rg胥求RPR的面积 【答案】0号1 (2)V5, 【分析】(1)求出椭圆的焦点坐标，再利用待定法求出双曲线方程. (2)利用双曲线定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解！ 【详解)(1)椭圆+y=1的焦点为N3,0)和(V3,0), 合方1解阳传 a=2 依题意， a2+b2=3 2二所以双曲线C的标准方程为之一2=1 (2)设|PR=m,1P卡n,则由双曲线的定义得m-n=2a, 在△P耳E2中，4c2=m2+2-2Mcos∠FPE=1m2+2-n=(-m)2+n=4a2+w, 则m=4-4=4=4,所以PR的面积S=msm-x455 32 2 17.(15分)已知抛物线C:少=2mp>0)的焦点与椭圆兰+二-1的右焦点重合. 43 (1)求抛物线C的方程： (2)如图，若过点(4，O)的直线1与抛物线C交于不同的两点A,B,O为坐标原点，证明：OA⊥OB, 【答案】(1)y2=4x (2)证明见解析 【分析】(1)根据椭圆的方程求出右焦点，从而得抛物线的焦点，从而得到抛物线方程： (2)设出直线1的方程，与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求出yy2,再通过 向量垂直的条件OA.OB=0来证明OA⊥OB 【详解】(1)设稀圆子+片-1的长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c, 43 a2=4,b2=3,又a2=b2+c2,c2=1,·该椭圆的右焦点为(1,0)， 又抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为 0 所以=1，解得P=2, 2 故抛物线C的方程为y2=4x。 (2)·直线1过点(4,0)且与抛物线交于不同的两点，故直线1的斜率不为0， ∴.设直线1的方程为x=y+4, 联立 =4K，得y=4(m+4),即产-4-16=0， x=0y+4 方程y2-4y-16=0的判别式△=16m2+64>0, 设4.B(为，则=芹=买 由根与系数的关系得=-16， 因为OA=(,y),OB=(x2y2), 所以a.丽=55+Hg160, 16 16 ∴.OA⊥OB 18.(17分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆⊙R:(x+7+y2=9、圆OE:(x-7+y2=1,若圆M与O?, ⊙F,都外切，点M的轨迹为C. (1)求C的方程： 1 ②设点N2”过N的两条直线分别交C于A、B两点和P,2两点，且4l=W卧O,求直线AB的斜 率与直线PQ的斜率之和. 【管10x后e (2)0 【分析】(1)利用双曲线的定义可知轨迹C是以点耳、E,为左、右焦点双曲线的右支，求出a、b的值，即可得出 轨迹C的方程： (2)出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得 k+k,的值 【详解】(1)圆OR:x+V7)+y2=9的圆心为F(-7,0),半径为3， 圆oE:x-7)+y2=1的圆心为耳(17,0)，半径为1， 由于圆M与O,，OE,都外切，所以M-M,=3-1=2, M-M=2<EF到=2N17, 所以，轨迹C是以点耳、F为左、右焦点的双曲线的右支， 设铣迹C的方程为号若-1(a>Qb>0),侧则2a=2.可得a=1,b7元-4， 所以，轨迹C的方程为x2_ 1616≥1). （2)核思意，哈则，设直线4B的方程为v-n=女(-宁0，以，以湘教版高中数学选择性必修第一册 第3章：圆锥曲线与方程单元测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分。共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的 1.直线2x-y=0是双曲线卫-1的一条渐近线，则m=() 9 IL A.1 B.4 C.16 D.18 2.己知A(门，3)，双曲线C:-”=1的左焦点为F,P是双曲线C的右支上的动点，则P4-P的最大值是() 45 A.-1 B.2 C.3 D.1 3.已知F是椭国C号+苦1的下焦点，P为C上一点，4传利 则PA+PF的最小值为() 10 A.3 8.1 C.4 13 3 D. 4.已知椭圆c:号+上-1a>0的左、右焦点分别为R,R,上顶点为A,若AR1Ag,则C的长轴长为（) a2+8 A.8√2 B.4W2 C.8 D.4 5.如图，在平面直角坐标系O中，双曲线B:亡-二=1的左、右焦点分别为R,R,M是B 912 的左支上一点，∠FM的平分线上的点N满足，N.M=0,则|ON卡() A.6 B.4 C.3 D.2 6.椭圆c: 4+”=1的左、右焦点分别为，R,过右焦点R作直线4迟上x轴交椭圆C于A点，则4=（) A.2 D.3 7,在椭圆+y=1上有两个动点P,Q,E1,0)为定点，EP1E吧，则EPOP的最小值为（) 4 B. c. D.1 已知公，乃，分别是椭圆℃+冷a>b>0)的左、有焦点，点40,0，点8在椭圆C上，A=272, E分别是AF,BF,的中点，且△DEF的周长为4，则椭圆C的方程为() Ax+三1B·+ 481 c.+3y=1 44 D.2+3 21 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知椭圆C:二+二-1，R,乃分别为它的左右焦点，A,9分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点， 259 下列结论中正确的有() A.存在2使得∠RP明=号 7 B.cs∠RPR,的最小值为25 C.PR1PR,则aPR的面积为9D.直线2A与直线a斜率乘积为定值号 10.己知曲线c: 、p2 :-3++3=(a>0,则（） A.当1=3时，C是圆 B.当2=2时，C是椭圆且一焦点为(2,0) C.当1=4时，C是椭圆且焦距为2√6 D.当0<1<3时，C是焦点在y轴上的椭圆 11.已知点F是抛物线y2=2x(D>O)的焦点，AB,CD是经过点F的弦且AB⊥CD,直线AB的斜率k>0,B, C两点在x轴上方，O为坐标原点，则下列结论中正确的是() A.0c.0D=-3p B.四边形ACBD面积的最小值为16p 41 1+1-1 C.ABCD 2p D.若AFBF=4p2,则直线CD的斜率为-√3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,过点F的直线与C交于A,B两点，若4=2F8=6,则P=一 13.过双曲线：，>0b>0的右焦点且垂直于x抽的直线与B交于AB两点，与五的渐近线交于C,D两 点，若5AB=3CD,则E的离心率为· 14.己知抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点为O,焦点为F,且经过点A(x。,2),若|AF=3引OF|,则卫= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说朋、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知椭圆c上+ (1)求椭圆C的标准方程； (2过点(0,2)的直线1被椭圆C截得的弦长为32，求直线1的方程. 2 1615分)已知双曲线C等器-10b>0的去、右焦点分别为5，月. ④)诺双曲线c与椭圆二+y广=1有共同的焦点，且双曲线C过点Q2,),求该双曲线的标准方程： 4 (2诺6=1，点2在双曲线右支上，且∠RPR-胥求sRPg的面积 17.(15分)已知抛物线C:y2=2r(p>0)的焦点与椭圆女+少 =1的右焦点重合. 43 (1)求抛物线C的方程； (2)如图，若过点(4,0)的直线1与抛物线C交于不同的两点A,B,O为坐标原点，证明：OA1OB. 18.(17分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆⊙R:(x+7)+y2=9、圆OE:(k-7+y2=1,若圆M与？， ⊙F,都外切，点M的轨迹为C. (1)求C的方程： 1 (2)设点N三，n,过N的两条直线分别交C于A、B两点和P,Q两点，且NANB=WPN,求直线AB的斜 2 率与直线PQ的斜率之和. 19.（17分)在平面直角坐标系心中，已知畅图C号若-1a>b>0的东顶点为4，上顶点为B,石焦点为R. 连接BF并延长交椭圆C于点椭圆P. (1)若P 833 5 5 ,1BP号求稀C的方秘： (2)若直线AB与直线AP的斜率之比是-2，证明： S0为定值，并求出定值. S.APF 湘教版高中数学选择性必修第一册 第3章：圆锥曲线与方程 单元测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线是双曲线的一条渐近线，则（    ） A．1 B．4 C．16 D．18 【答案】D 【分析】根据渐近线的求法可直接求解. 【详解】令双曲线方程等号右侧的1变为0，可得双曲线的渐近线方程为， 又直线是双曲线的一条渐近线，所以，解得．故选：D. 2．已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 3．已知是椭圆的下焦点，为上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设为椭圆的上焦点，易知点在椭圆内，利用椭圆定义将转化为，当三点共线时，的最大值为，即可得解． 【详解】设为椭圆的上焦点，椭圆中，，则， 所以焦点坐标分别为，．连接，由椭圆定义得． 由于，所以点在椭圆内． 如图所示，， 将代换为来求的最小值，也就是求的最大值， 当三点共线时，的最大值为， 所以的最小值为．故选：D 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，则的长轴长为（    ） A． B． C．8 D．4 【答案】C 【分析】利用为等腰直角三角形求出，再由求出可得答案. 【详解】由题设知，，结合， 可知为等腰直角三角形，所以，故，所以，解得，所以的长轴长为． 故选：C. 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左、右焦点分别为是的左支上一点，的平分线上的点满足，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义及中垂线的性质求解即可. 【详解】双曲线的实半轴长为．由，知，如图， 延长交的延长线于点，又因为是的平分线， 所以，故为的中点，又是的中点， 所以．故选：C. 6．椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点作直线轴交椭圆于点，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】解法1：设，利用椭圆的定义得，结合轴，利用勾股定理求解即得；解法2：利用椭圆的通径公式和椭圆的定义即可求得. 【详解】解法1：由题意知，设，则由可得， 在中，，即，解得． 解法2：由题意知椭圆的长轴长，短轴长是椭圆通径长的一半，所以， 则．故选：C. 7．在椭圆上有两个动点，，为定点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律得，设，则，然后利用模长的坐标公式列式，结合椭圆上点的横坐标范围，根据二次函数性质求解最值即可. 【详解】由题意得. 设椭圆上一点，则， .又，当时，取得最小值. 即的最小值为.故选：C 8．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上，，，分别是，的中点，且的周长为4，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，可得，，三点共线，且，根据的周长为4，结合椭圆的定义求得，设，根据，求得点坐标，代入椭圆的方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为，所以，，三点共线，且. 因为，分别为和的中点，所以，所以. 设，，，由，可得， 求得，，所以.因为点在椭圆上，所以，求得，， 所以椭圆的方程为.故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知椭圆，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（   ） A．存在使得 B．的最小值为 C．，则的面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值 【答案】ABC 【分析】设椭圆短轴顶点为根据得的最大角为钝角即可判断A；记，则，结合余弦定理与基本不等式求解判断B；结合题意得，进而计算面积判断C；设，直接求解即可判断D. 【详解】解：设椭圆短轴顶点为，由题知椭圆：中，， 所以，，，，， 对于A选项，由于，， 所以的最大角为钝角，故存在P使得，A正确； 对于B选项，记，则， 由余弦定理： ，当且仅当时取“=”，B正确； 对于C选项，由于，故 ， 所以，C正确； 对于D选项，设，则，，于是，D错误. 故选：ABC    10．已知曲线，则（   ） A．当时，是圆 B．当时，是椭圆且一焦点为 C．当时，是椭圆且焦距为 D．当时，是焦点在轴上的椭圆 【答案】AC 【分析】分别将值代入方程，化简即可判断A、B、C，举例即可说明D． 【详解】对于A项，当时，曲线可化为是圆，A正确； 对于B项，当时，曲线可化为是焦点在轴上的椭圆，B错误； 对于C项，当时，曲线是椭圆，且，所以，故C正确； 对于D项，当时，曲线，为双曲线，即曲线不是椭圆，故D错误．故选：AC． 11．已知点是抛物线的焦点，，是经过点的弦且，直线的斜率，，两点在轴上方，为坐标原点，则下列结论中正确的是（   ） A． B．四边形面积的最小值为 C． D．若，则直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程利用韦达定理并计算可判断A正确，求得四边形面积的表达式为并利用基本不等式计算可得最小值为，即B错误；根据焦半径公式代入计算可得C正确，求得解方程计算可得，即D正确. 【详解】如下图所示： 易知，设，则直线的方程为，其中， 联立，整理可得，可得， 对于A，设，易知直线的斜率为，方程为； 同理可得 所以 ，可知A正确； 对于B，由焦点弦公式计算可得， 因为，可得四边形面积为 ， 所以四边形面积的最小值为，即B错误； 对于C，由B可知，即C正确； 对于D，若，可得， 即可得，解得，即或（舍）；因此直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，即直线的斜率为，即D正确.故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则 . 【答案】 【分析】延长与准线相交，利用抛物线的定义以及相似比即可求出. 【详解】如图，设直线与准线交于点，分别过点作准线的垂线，垂足为，且准线与轴的交点为， 则由抛物线的定义可知，，，则，即，得，又，则，得.故答案为： 13．过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与交于两点，与的渐近线交于两点，若，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据焦点坐标可分别求得，，再由可得，可求出离心率. 【详解】易知右焦点坐标为，将代入，得，则， 将代入渐近线方程得，则，由于，故， 即，即，则，解得．故答案为： 14．已知抛物线的顶点为，焦点为，且经过点，若，则 . 【答案】 【分析】结合抛物线的定义与几何性质建立关系，即可求得. 【详解】因为点在抛物线上，， 所以，所以，所以，所以，解得.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知椭圆，其中离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据离心率和过点列方程组求解即可； （2）分直线l斜率存在和不存在时讨论，当直线l斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出弦长，列方程求解即可． 【详解】（1）由题意得，解得，，∴椭圆的标准方程为． （2）分直线斜率是否存在讨论：当斜率不存在时，直线方程为，此时截得的弦长为，不符合题意； 当斜率存在时，设直线的方程为，联立得， 设直线与椭圆的交点为，，则，，， 则，化简得, 解得,∴直线的方程为． 综上，或. 16．（15分）已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出椭圆的焦点坐标，再利用待定法求出双曲线方程. （2）利用双曲线定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解. 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）设，，则由双曲线的定义得， 在中，， 则，所以的面积. 17．（15分）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线的方程； (2)如图，若过点的直线与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的方程求出右焦点，从而得抛物线的焦点，从而得到抛物线方程； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求出，再通过向量垂直的条件来证明． 【详解】（1）设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， ，又，，该椭圆的右焦点为， 又抛物线的焦点为，所以，解得， 故抛物线的方程为． （2）直线过点且与抛物线交于不同的两点，故直线的 斜率不为， 设直线的方程为， 联立，得，即， 方程的判别式， 设，，则，， 由根与系数的关系得， 因为，， 所以， . 18．（17分）在平面直角坐标系中，已知圆、圆，若圆与，都外切，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)设点，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程； （2）出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得的值. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 由于圆与，都外切，所以， ， 所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支， 设轨迹的方程为，则，可得，， 所以，轨迹的方程为. （2）依题意，，设直线的方程为． 联立,化简得，， 则． 故．则． 设的方程为，同理． 因为，所以，化简得， 所以，即．因为，所以． 19．（17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，连接BF并延长交椭圆C于点椭圆P． (1)若，，求椭圆C的方程 (2)若直线AB与直线AP的斜率之比是-2，证明：为定值，并求出定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，. 【分析】（1）由和在椭圆上求出，即可. （2）求出直线BF的方程，并与椭圆方程联立求得点坐标，再由给定条件结合面积公式求解即可． 【详解】（1）由，，得：，解得， 又点在椭圆上，则，解得，所以椭圆的方程为． （2） 证明:依题意，令，直线，由，得， 直线AB的斜率，直线AP的斜率， 则，即，有，得，， 于是得点，，， 所以为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $