高中数学单元测试——第3章圆锥曲线与方程（适中版01）

**基本信息** 高中数学第3章圆锥曲线与方程单元卷，覆盖抛物线、双曲线、椭圆核心知识，通过基础题巩固概念，综合题提升逻辑推理与数学应用能力，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|抛物线焦点准线、双曲线渐近线、椭圆离心率|基础概念辨析，如抛物线焦点到准线距离| |多选题|3/18|双曲线性质、抛物线焦点弦、双纽线新定义|多维度考查，如双纽线对称性与交点判断| |填空题|3/15|双曲线方程参数、抛物线最值、椭圆与直线综合|动态问题，如抛物线动点最值| |解答题|5/67|轨迹方程、直线与圆锥曲线位置关系、实际应用|综合应用，如拱桥抛物线模型、双纽线轨迹证明，培养数学建模与逻辑推理|

高中数学单元测试 —— 第3章 圆锥曲线与方程（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（本题5分）若为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）以椭圆的左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 5．（本题5分）若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 6．（本题5分）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知，为双曲线的左，右焦点，过点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，则的面积为（    ） A．2 B． C．4 D． 8．（本题5分）已知椭圆，P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直线和平行的直线，分别交，交于M，N两点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（本题6分）已知双曲线，则（   ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C．顶点坐标为 D．焦点坐标为 10．（本题6分）设O为坐标原点，直线过抛物线C：的焦点，且与抛物线C交于M，N两点，l为抛物线C的准线，则（ ） A． B． C．为等腰三角形 D．以MN为直径的圆与l相切 11．（本题6分）已知，若平面内动点满足，则称点P的轨迹为双纽线，下列结论正确的是（    ） A．双纽线是轴对称图形 B．的面积的最大值为 C． D．直线与双纽线有三个交点 三、填空题 12．（本题5分）方程表示双曲线，写出一个可以满足题意的值为__________. 13．（本题5分）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为__________． 14．（本题5分）已知为坐标原点，椭圆的方程为，其离心率为，设，分别是两条直线和（且）上的动点，且线段的长度为，若上存在点，使得四边形是平行四边形，则_____． 四、解答题 15．（本题13分）根据下列条件，求曲线方程. (1)对称轴是轴，且顶点在原点，经过，求抛物线方程； (2)以椭圆的短轴的两个顶点为焦点，且离心率为2的双曲线方程； 16．（本题15分）设抛物线C：的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点，线段的中点的横坐标为2，且. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线经过焦点，求直线的方程. 17．（本题15分）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是2，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点作直线与曲线相交于两点，点能否是线段的中点？若能，求直线的方程，若不能，请说明理由． 18．（本题17分）已知动点在运动过程中总满足关系式 (1)请说明动点的轨迹是什么曲线，并求出轨迹的标准方程； (2)记点的轨迹为曲线，且曲线与轴交于两个不同的点，当动点与两点均不重合时，证明直线的斜率之积为定值，并求出此定值． 19．（本题17分）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于两点.当点运动时，点的轨迹为. (1)证明：点的轨迹方程是； (2)过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第3章 圆锥曲线与方程（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】由题可知即求p的值. 【详解】解：由题得， 故焦点到准线的距离为2， 故选：A． 2．（本题5分）若为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由及双曲线方程中的参数结合关系求出，得到渐近线方程. 【详解】因为为双曲线的右焦点，所以， 所以， 所以的渐近线方程为， 故选：D. 3．（本题5分）以椭圆的左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出的关系，进而求出离心率. 【详解】令椭圆半焦距为，由左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，得， 则，所以所求离心率. 故选：A 4．（本题5分）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用抛物线与圆的对称性，得出即可求解． 【详解】设，（）， 由，得，所以． 因为在圆上，所以，得， 故选：A． 5．（本题5分）若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】分焦点在轴上或轴上，两种情况，结合椭圆性质讨论求解即可. 【详解】因为焦距为8，所以，即． 若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则， 此时，椭圆不存在，舍去； 若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则， 此时，，所以，椭圆存在， 故椭圆的焦点在轴上，标准方程为． 故选：C 6．（本题5分）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，可得出抛物线的方程，将代入抛物线方程，即可得出结果. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上， 所以，可得，所以抛物线的方程为， 当水面下降后，即当时，，可得， 因此，当水面下降后，桥洞内水面宽为. 故选：D. 7．（本题5分）已知，为双曲线的左，右焦点，过点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，则的面积为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】利用双曲线可得到渐近线方程，然后利用点到直线的距离算出，继而求得，根据三角形面积公式可得结果. 【详解】如图    由题意可得双曲线的一条渐近线方程为， 焦点到渐近线的距离为， 所以，， 所以. 故选:：D. 8．（本题5分）已知椭圆，P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直线和平行的直线，分别交，交于M，N两点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意可得四边形为平行四边形，设，，，根据与的中点相同得，再由两点间的距离公式，结合椭圆的性质即可求解. 【详解】设过点P分别与直线平行的直线为，如图： 设，，，则，， 显然四边形为平行四边形，故与的中点重合， 则，即， 又因P为椭圆上任意一点，所以，即， 即， 而，即，所以当时，. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题结合两点间的距离公式考查椭圆的几何性质的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，解题的关键是利用平行四边形的性质找到点的坐标之间的关系. 二、多选题 9．（本题6分）已知双曲线，则（   ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C．顶点坐标为 D．焦点坐标为 【答案】ACD 【分析】首先根据双曲线的标准方程，判断焦点在轴上，且，，，然后根据渐近线公式，判断选项；根据离心率公式，判断选项；根据顶点坐标公式，判断选项；根据焦点坐标公式，判断选项. 【详解】由题意得：双曲线焦点在轴上，且，，，所以，，； 对于选项：根据渐近线公式，所以渐近线方程为，选项正确； 对于选项：根据离心率公式，所以离心率为：，选项错误； 对于选项：根据顶点坐标公式，所以顶点坐标为，选项正确； 对于选项：根据焦点坐标公式，所以焦点坐标为，选项正确. 故选：. 10．（本题6分）设O为坐标原点，直线过抛物线C：的焦点，且与抛物线C交于M，N两点，l为抛物线C的准线，则（ ） A． B． C．为等腰三角形 D．以MN为直径的圆与l相切 【答案】AD 【分析】由题意作图，根据抛物线焦点的概念，结合直线方程，求得参数；联立方程，求得直线与抛物线交点坐标，从而求得弦长；根据两点距离公式，求得三角形三边；由中点坐标公式，结合圆切线的判定，可得答案. 【详解】由题意，取的中点，作图如下：      由直线，令，则可得，即抛物线的焦点， 所以，解得，故A正确； 联立可得，消去可得，解得或， 当时，由，可得，当时，由，可得， 即，，所以，故B错误； 由，，则C错误； 由图可得，易知点到准线的距离，圆的半径，故D正确. 故选：AD. 11．（本题6分）已知，若平面内动点满足，则称点P的轨迹为双纽线，下列结论正确的是（    ） A．双纽线是轴对称图形 B．的面积的最大值为 C． D．直线与双纽线有三个交点 【答案】AD 【分析】对于A，利用两点的距离公式整理方程，将关于坐标轴对称的点代入，可得答案；对于B，利用一元二次方程根的存在性，求得动点坐标的范围，结合三角形面积公式，可得答案；对于C，根据三角形三边关系，可得答案；对于D，联立方程，因式分解求方程的根，可得答案. 【详解】对于A，由， 则曲线方程为， 由关于轴的对称点为，显然当满足方程时，也满足方程， 则双纽线关于轴对称，故A正确； 对于B，由方程， 整理可得关于的方程， 由，解得， 由，则其最大值为，故B错误； 对于C，当点不在原点，则构成，则，故C错误； 对于D，将代入方程， 整理可得，解得或，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（本题5分）方程表示双曲线，写出一个可以满足题意的值为__________. 【答案】1（答案不唯一）. 【分析】利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可. 【详解】因为方程表示双曲线，所以，即， 所以m的取值范围是. 故答案为：1（答案不唯一）. 13．（本题5分）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为__________． 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义，利用三点共线即可求解. 【详解】设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义可知, 所以,要使最小，只需要最小即可， 由于在抛物线内，故当三点共线时，此时最小，故最小值为， 故答案为：2 14．（本题5分）已知为坐标原点，椭圆的方程为，其离心率为，设，分别是两条直线和（且）上的动点，且线段的长度为，若上存在点，使得四边形是平行四边形，则_____． 【答案】或2 【分析】首先利用坐标表示，再坐标表示平行四边形的向量关系，利用点在椭圆上，结合离心率，即可求解. 【详解】设，， 因为，所以，设， 因为，所以所以，即， 因为，且，所以， 当，即时，表示焦点在轴上的椭圆， 此时，，，，此时由得或（舍去）； 当，即时，表示焦点在轴上的椭圆， 此时，，，，此时由得或（舍去）． 综上所述，或． 故答案为：或2 四、解答题 15．（本题13分）根据下列条件，求曲线方程. (1)对称轴是轴，且顶点在原点，经过，求抛物线方程； (2)以椭圆的短轴的两个顶点为焦点，且离心率为2的双曲线方程； 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用待定系数法来求抛物线方程； (2)利用双曲线的来求双曲线方程. 【详解】（1）可设对称轴是轴，且顶点在原点的抛物线方程为：， 由经过点可得，， 所以抛物线方程为； （2）由椭圆的短轴两个顶点为， 可知双曲线的焦点为，即， 由离心率为2，则， 所以， 根据焦点在轴上可得双曲线方程为：. 16．（本题15分）设抛物线C：的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点，线段的中点的横坐标为2，且. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线经过焦点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线定义以及中点横坐标计算可得，可求出抛物线的标准方程； （2）联立抛物线和直线方程，再由韦达定理求出直线斜率可得直线方程. 【详解】（1）设,， 线段的中点的横坐标为，， 由抛物线定义可得，解得， 抛物线的标准方程为． （2）由（1）可知抛物线的焦点为， 当直线的斜率不存在时，可知，不合题意， 故可设直线的方程为，， 由得, 由可得， 直线的方程为. 17．（本题15分）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是2，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点作直线与曲线相交于两点，点能否是线段的中点？若能，求直线的方程，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）根据列出关于的方程，由此可知结果； （2）先根据点差法求得的斜率，然后可表示出的方程，联立的方程与曲线的方程，根据的结果作出判断. 【详解】（1）设，所以， 所以， 又斜率存在，所以， 所以. （2）假设是线段的中点，设，则， 所以，所以， 所以， 所以，即， 联立，可得， 所以，即与曲线没有两个交点， 所以假设不成立，即点不能是线段的中点. 18．（本题17分）已知动点在运动过程中总满足关系式 (1)请说明动点的轨迹是什么曲线，并求出轨迹的标准方程； (2)记点的轨迹为曲线，且曲线与轴交于两个不同的点，当动点与两点均不重合时，证明直线的斜率之积为定值，并求出此定值． 【答案】(1)动点的轨迹是椭圆，椭圆的标准方程为. (2)直线的斜率之积为定值. 【分析】（1）根据椭圆的定义判断动点的轨迹，并求出椭圆的标准方程；（2）先求出曲线与轴的交点坐标，再根据直线的斜率公式求出直线的斜率，最后计算它们的斜率之积. 【详解】（1）设，，， 则动点到定点，的距离之和为 ， 又，满足， 所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆. 因为焦点在轴上，设的轨迹方程为， ，，，所以， 则椭圆的标准方程为. （2）令，解得， 所以，， 直线的斜率为， 直线的斜率为， . 因为点在椭圆上，满足， 所以， 将代入得：， 所以直线的斜率之积为定值. 19．（本题17分）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于两点.当点运动时，点的轨迹为. (1)证明：点的轨迹方程是； (2)过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）先由直线与双曲线唯一公共点可得及M点坐标，进而可求直线的方程及，从而可得点的轨迹方程； （2）先设直线的方程，再与轨迹的方程联立得根与系数关系，再由对称性可知定点必在x轴上，设定点坐标，根据三点共线可得定点坐标. 【详解】（1）设点的坐标为，联立方程，消去后整理为， 令，可得. 所以，， 得点的坐标为.如图：    直线的方程为，整理为，可得， 有，可得，有， 所以点的轨迹方程为. （2）设点的坐标分别为，有，设直线的方程为.如图：    联立方程，消去后整理为， 有，. 由双曲线及对称性可知若直线过定点，定点必在轴上，设定点. 有，有，有. 有，，得， 可得点的坐标为，故直线过定点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $