高中数学单元测试——第3章圆锥曲线与方程（较易版02）

**基本信息** 聚焦圆锥曲线与方程单元核心知识，以基础巩固为主，融入卫星接收天线等科技情境及轨迹探究等综合应用，适配单元复习，助力数学眼光、思维与语言素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|抛物线焦点(1题)、双曲线渐近线(2题)、椭圆离心率(3题)|基础概念直接应用，强化定义理解| |多选题|3题/18分|双曲线性质(9题)、抛物线焦点准线(10题)|多角度辨析，培养批判性思维| |填空题|3题/15分|双曲线焦距(12题)、圆与抛物线距离(13题)|小综合计算，提升空间观念| |解答题|5题/77分|轨迹方程(17题)、直线与圆锥曲线关系(19题)|第17题结合斜率关系探究轨迹，体现推理能力；第6题卫星天线情境，落实应用意识|

高中数学单元测试 —— 第3章 圆锥曲线与方程（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知抛物线的焦点为F，点P为C上一点.若，则点 P的横坐标为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（本题5分）双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）是抛物线上的两点，为坐标原点.若，且的面积为，则（  ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 7．（本题5分）已知，为双曲线的左，右焦点，过点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，则的面积为（    ） A．2 B． C．4 D． 8．（本题5分）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知双曲线，则下列说法正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的实轴长为4 C．的离心率为 D．C的渐近线方程为 10．（本题6分）已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点在抛物线C上，直线分别与l交于A，B，直线与抛物线C交于另一点N，则（    ） A．F的坐标为 B． C． D． 11．（本题6分）到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（    ） A．曲线的方程是 B．曲线关于坐标轴对称 C．曲线与轴没有交点 D．的面积不大于 三、填空题 12．（本题5分）已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为4，则等于________. 13．（本题5分）点在圆上，点在抛物线上，则线段长度的最小值为_____. 14．（本题5分）已知为坐标原点，椭圆的方程为，其离心率为，设，分别是两条直线和（且）上的动点，且线段的长度为，若上存在点，使得四边形是平行四边形，则_____． 四、解答题 15．（本题13分）根据下列条件，求曲线的标准方程： (1)经过两点，的椭圆的标准方程. (2)焦距为26，且经过点的双曲线的标准方程. (3)经过点的抛物线的标准方程. 16．（本题15分）设抛物线C：的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点，线段的中点的横坐标为2，且. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线经过焦点，求直线的方程. 17．（本题15分）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是2，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点作直线与曲线相交于两点，点能否是线段的中点？若能，求直线的方程，若不能，请说明理由． 18．（本题17分）已知椭圆的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线与椭圆相交于两点. (1)若直线，求两点坐标； (2)若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 19．（本题17分）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于两点.当点运动时，点的轨迹为. (1)证明：点的轨迹方程是； (2)过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第3章 圆锥曲线与方程（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知抛物线的焦点为F，点P为C上一点.若，则点 P的横坐标为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程可得，结合抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意知，， 由抛物线的定义知，，得， 即点P的横坐标为7. 故选：C 2．（本题5分）双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的渐近线方程的求法得出答案. 【详解】由题意得，，则其渐近线方程为. 故选：C. 3．（本题5分）已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆方程和短轴的长度，得出、的具体值,进而求出离心率. 【详解】由椭圆方程可知,所以,又短轴长,所以, 所以离心率. 故选:A 4．（本题5分）是抛物线上的两点，为坐标原点.若，且的面积为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可设，，利用的面积算出，再结合图形求出. 【详解】如图，    ∵，知两点关于轴对称， 设， ∴，解得， ∴，∴， ∴，∴. 故选：C 5．（本题5分）已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆上的点结合短轴长度求解参数，得到椭圆方程即可. 【详解】由题意可得，解得，故椭圆的方程为. 故选：B 6．（本题5分）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设抛物线方程为且，结合点在抛物线上求参数，即可得焦点坐标. 【详解】由题意，设抛物线方程为且，显然点在抛物线上， 所以，则，故焦点的坐标为. 故选：B 7．（本题5分）已知，为双曲线的左，右焦点，过点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，则的面积为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】利用双曲线可得到渐近线方程，然后利用点到直线的距离算出，继而求得，根据三角形面积公式可得结果. 【详解】如图    由题意可得双曲线的一条渐近线方程为， 焦点到渐近线的距离为， 所以，， 所以. 故选:：D. 8．（本题5分）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义可得，然后化简，那么要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据两点间距离公式即可得到结果. 【详解】设椭圆的另一个焦点为，圆的圆心为，其半径， 那么，所以. 所以. 所以要求的最大值，即求的最大值. 因为，所以当三点共线时，的最大值为. 而，所以的最大值为. 故选：D. 二、多选题 9．（本题6分）已知双曲线，则下列说法正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的实轴长为4 C．的离心率为 D．C的渐近线方程为 【答案】BC 【分析】根据已知条件求得，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】双曲线的焦点在轴上，且， 所以，则， 所以的焦点坐标为，A错误； 因为，所以的实轴长，B正确； 的离心率为，C正确； 的渐近线方程为，D错误. 故选：BC. 10．（本题6分）已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点在抛物线C上，直线分别与l交于A，B，直线与抛物线C交于另一点N，则（    ） A．F的坐标为 B． C． D． 【答案】BC 【分析】由抛物线的标准方程可判断A，由抛物线的定义可判断B，求出直线的方程并得到坐标可判断C，分别计算和的面积可判断D. 【详解】对于A，由抛物线，可得，所以，且焦点在轴正半轴上，则焦点，所以A错误； 对于B，由抛物线的方程得，由定义可得，所以B正确； 对于C，直线的方程分别为，，分别与联立得，，所以，所以C正确； 对于D，联立，得，解得， 所以，由，所以D错误． 故选：BC. 11．（本题6分）到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（    ） A．曲线的方程是 B．曲线关于坐标轴对称 C．曲线与轴没有交点 D．的面积不大于 【答案】ABD 【分析】由已知，利用两点间距离公式，可得动点的轨迹方程，即可判断A；由对称性代入即可判断B；在的轨迹方程中令，可解出，即可判断C；由三角形的面积公式，即可判断D. 【详解】设，由， 得， 化简得，故A正确； 该方程中把改为或把改为方程均不变，故B正确； 在方程中，令得， 当时，或，当时，，当时，，故C不正确； ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为4，则等于________. 【答案】/ 【分析】根据双曲线焦点在轴上，将双曲线方程转化为标准方程，再根据焦距为4，列式求解即可得到答案. 【详解】因为双曲线焦点在轴上， 将双曲线方程化为标准方程得， 又因为双曲线焦距为4， 则，解得. 故答案为：. 13．（本题5分）点在圆上，点在抛物线上，则线段长度的最小值为_____. 【答案】 【分析】先求出圆心和半径，再由两点间距离公式和配方法求出即可. 【详解】圆的圆心，， 设， 则， 故答案为： 14．（本题5分）已知为坐标原点，椭圆的方程为，其离心率为，设，分别是两条直线和（且）上的动点，且线段的长度为，若上存在点，使得四边形是平行四边形，则_____． 【答案】或2 【分析】首先利用坐标表示，再坐标表示平行四边形的向量关系，利用点在椭圆上，结合离心率，即可求解. 【详解】设，， 因为，所以，设， 因为，所以所以，即， 因为，且，所以， 当，即时，表示焦点在轴上的椭圆， 此时，，，，此时由得或（舍去）； 当，即时，表示焦点在轴上的椭圆， 此时，，，，此时由得或（舍去）． 综上所述，或． 故答案为：或2 四、解答题 15．（本题13分）根据下列条件，求曲线的标准方程： (1)经过两点，的椭圆的标准方程. (2)焦距为26，且经过点的双曲线的标准方程. (3)经过点的抛物线的标准方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解，可设方程为，代入点的坐标可得答案； （2）根据焦距和顶点可得双曲线的方程； （3）设出方程，根据抛物线所过点，求出方程. 【详解】（1）设椭圆的方程为， 因为椭圆经过两点，，所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）因为双曲线的焦距为26，且经过点，所以， 所以，所以双曲线的方程为. （3）由题意设抛物线的方程为或， 因为抛物线过点，所以可得，， 即抛物线的方程为或. 16．（本题15分）设抛物线C：的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点，线段的中点的横坐标为2，且. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线经过焦点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线定义以及中点横坐标计算可得，可求出抛物线的标准方程； （2）联立抛物线和直线方程，再由韦达定理求出直线斜率可得直线方程. 【详解】（1）设,， 线段的中点的横坐标为，， 由抛物线定义可得，解得， 抛物线的标准方程为． （2）由（1）可知抛物线的焦点为， 当直线的斜率不存在时，可知，不合题意， 故可设直线的方程为，， 由得, 由可得， 直线的方程为. 17．（本题15分）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是2，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点作直线与曲线相交于两点，点能否是线段的中点？若能，求直线的方程，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）根据列出关于的方程，由此可知结果； （2）先根据点差法求得的斜率，然后可表示出的方程，联立的方程与曲线的方程，根据的结果作出判断. 【详解】（1）设，所以， 所以， 又斜率存在，所以， 所以. （2）假设是线段的中点，设，则， 所以，所以， 所以， 所以，即， 联立，可得， 所以，即与曲线没有两个交点， 所以假设不成立，即点不能是线段的中点. 18．（本题17分）已知椭圆的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线与椭圆相交于两点. (1)若直线，求两点坐标； (2)若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)或. (2)是，定值为 【分析】（1）通过联立直线方程与椭圆方程，求解即可； （2）先设直线的方程为，与椭圆的方程联立，根据韦达定理及斜率公式计算即可. 【详解】（1）由题知，， 解得，或， 所以或. （2）设直线的方程为，，， 联立，得， 方程的判别式， 所以， 所以 故直线、的斜率之和是定值，为0. 19．（本题17分）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于两点.当点运动时，点的轨迹为. (1)证明：点的轨迹方程是； (2)过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）先由直线与双曲线唯一公共点可得及M点坐标，进而可求直线的方程及，从而可得点的轨迹方程； （2）先设直线的方程，再与轨迹的方程联立得根与系数关系，再由对称性可知定点必在x轴上，设定点坐标，根据三点共线可得定点坐标. 【详解】（1）设点的坐标为，联立方程，消去后整理为， 令，可得. 所以，， 得点的坐标为.如图：    直线的方程为，整理为，可得， 有，可得，有， 所以点的轨迹方程为. （2）设点的坐标分别为，有，设直线的方程为.如图：    联立方程，消去后整理为， 有，. 由双曲线及对称性可知若直线过定点，定点必在轴上，设定点. 有，有，有. 有，，得， 可得点的坐标为，故直线过定点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $