高中数学单元测试——第3章圆锥曲线与方程（较难版01）

**基本信息** 聚焦圆锥曲线与方程单元，通过卫星接收天线情境、双纽线文化素材及综合探究题，考查数学眼光、思维与语言，适配单元复习提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|抛物线定义、双曲线渐近线、椭圆离心率、新定义“尚美曲线”|以卫星接收天线（题6）考查抛物线实际应用，体现数学眼光| |多选题|3/18|双曲线性质、抛物线焦点弦、双纽线性质|题11结合双纽线定义，考查逻辑推理与数学语言表达| |填空题|3/15|双曲线方程、抛物线距离最值、椭圆与直线综合|题13通过距离最值问题，培养数学思维中的运算能力| |解答题|5/77|曲线方程求解、抛物线焦点弦、双曲线中点弦、椭圆探究、切线与定点定直线关系|题19设计切线与定点定直线互证，提升创新意识与数学建模能力|

高中数学单元测试 —— 第3章 圆锥曲线与方程（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合抛物线的定义分析求解. 【详解】因为抛物线的准线为， 由题意可得：，解得. 故选：A. 2．（本题5分）已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化方程为标准方程，利用渐近线求法直接计算即可. 【详解】由得，所以，所以； 所以该双曲线的渐近线方程为； 故选：A 3．（本题5分）以椭圆的左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出的关系，进而求出离心率. 【详解】令椭圆半焦距为，由左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，得， 则，所以所求离心率. 故选：A 4．（本题5分）定义：既是中心对称，也是轴对称的曲线称为“尚美曲线”，下是方程所表示的曲线中不是“尚美曲线”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆、椭圆、双曲线、抛物线的性质，根据条件，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】选项A，表示圆心在原点，半径为2的圆，由圆的性质知，的对称中心为，对称轴为轴，轴，即既是中心对称，也是轴对称，所以选项A错误； 选项B，由椭圆的性质知，的对称中心为，对称轴为轴，轴，即既是中心对称，也是轴对称，所以选项B错误； 选项C，由双曲线的性质知，的对称中心为，对称轴为轴，轴，即既是中心对称，也是轴对称，所以选项C错误； 选项D，由，得到，由抛物线性质知，关于轴对称，无对称中心，所以选项D正确. 故选：D. 5．（本题5分）过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用焦点相同这个条件得到相同，结合椭圆经过定点条件，构造方程组求解即可. 【详解】由题意得椭圆的焦点坐标为，， 设所求椭圆的标准方程为， 由于椭圆经过过点，则可将点代入方程得到，． 所求椭圆与椭圆有相同的焦点，所求椭圆的半焦距，， 联立解得，，所求椭圆的标准方程为. 故选：B. 6．（本题5分）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设抛物线方程为且，结合点在抛物线上求参数，即可得焦点坐标. 【详解】由题意，设抛物线方程为且，显然点在抛物线上， 所以，则，故焦点的坐标为. 故选：B 7．（本题5分）双曲线，过点作的两条渐近线的平行线，分别与渐近线相交于A，B两点，则平行四边形OAPB的面积是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】先由双曲线的渐近线方程和点斜式得到方程，再联立渐近线解出点坐标，然后由两点间距离公式求出，最后计算面积即可. 【详解】渐近线方程为， 方程为，与渐近线联立， 得，； 点到的距离 所以平行四边形OAPB的面积. 故选：A. 8．（本题5分）已知椭圆，P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直线和平行的直线，分别交，交于M，N两点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意可得四边形为平行四边形，设，，，根据与的中点相同得，再由两点间的距离公式，结合椭圆的性质即可求解. 【详解】设过点P分别与直线平行的直线为，如图： 设，，，则，， 显然四边形为平行四边形，故与的中点重合， 则，即， 又因P为椭圆上任意一点，所以，即， 即， 而，即，所以当时，. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题结合两点间的距离公式考查椭圆的几何性质的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，解题的关键是利用平行四边形的性质找到点的坐标之间的关系. 二、多选题 9．（本题6分）已知双曲线，下列结论正确的是（   ） A．离心率为 B．渐近线方程为 C．右焦点坐标为 D．焦点到渐近线距离为 【答案】ABCD 【分析】由双曲线方程确定参数值，进而依次求出离心率、渐近线、焦点判断各项的正误. 【详解】由知，，则离心率为，渐近线为，右焦点坐标为， 所以焦点到渐近线的距离. 故选：ABCD 10．（本题6分）已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（   ） A． B．面积的最小值为2. C． D．可能为直角. 【答案】BC 【分析】对于A，根据抛物线的焦半径公式即可判断；对于B，设直线方程与抛物线联立，求得弦长，表示出三角形面积，利用二次函数的性质计算即可判断；对于C，利用抛物线焦半径公式代入计算易得；对于D，通过计算即可判断. 【详解】    对于A，由题意，，所以无最小值，故A错误； 对于B，因直线的斜率不可能为0，故可设， 与联立消元得：， 显然，设，则， 则， 点到直线的距离为， 则的面积为， 则当时，即时，取得最小值2，故B正确； 对于C，设直线的倾斜角为，则， 则，故C正确； 对于D，由B选项可得， 则， 故与所夹的角为钝角，故D错误. 故选：BC. 11．（本题6分）如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 【答案】ACD 【分析】由“双纽线”定义判断A；由“双纽线”定义得到，再计算判断B；由“双纽线”定义和椭圆定义判断C；设，由勾股定理得到，再解方程判断D. 【详解】对于A，，由定义知，A正确； 对于B，由点在上，得， 化简得，解得，，B错误； 对于C，椭圆的焦点坐标恰好为与， 则，由，得， 则，，C正确； 对于D，设，则，而，则， 又， 则，化简得，解得，， 因此1，，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（本题5分）方程表示双曲线，写出一个可以满足题意的值为__________. 【答案】1（答案不唯一）. 【分析】利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可. 【详解】因为方程表示双曲线，所以，即， 所以m的取值范围是. 故答案为：1（答案不唯一）. 13．（本题5分）已知抛物线的焦点为，若点是抛物线上到点距离最近的点，则__________. 【答案】3 【分析】根据两点间距离公式，结合二次函数的性质即可求解, 由抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】由题知，设，其中，则 由于点是抛物线上到点距离最近的点，， 故答案为：3. 14．（本题5分）已知为坐标原点，椭圆的方程为，其离心率为，设，分别是两条直线和（且）上的动点，且线段的长度为，若上存在点，使得四边形是平行四边形，则_____． 【答案】或2 【分析】首先利用坐标表示，再坐标表示平行四边形的向量关系，利用点在椭圆上，结合离心率，即可求解. 【详解】设，， 因为，所以，设， 因为，所以所以，即， 因为，且，所以， 当，即时，表示焦点在轴上的椭圆， 此时，，，，此时由得或（舍去）； 当，即时，表示焦点在轴上的椭圆， 此时，，，，此时由得或（舍去）． 综上所述，或． 故答案为：或2 四、解答题 15．（本题13分）根据下列条件，求曲线方程. (1)对称轴是轴，且顶点在原点，经过，求抛物线方程； (2)以椭圆的短轴的两个顶点为焦点，且离心率为2的双曲线方程； 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用待定系数法来求抛物线方程； (2)利用双曲线的来求双曲线方程. 【详解】（1）可设对称轴是轴，且顶点在原点的抛物线方程为：， 由经过点可得，， 所以抛物线方程为； （2）由椭圆的短轴两个顶点为， 可知双曲线的焦点为，即， 由离心率为2，则， 所以， 根据焦点在轴上可得双曲线方程为：. 16．（本题15分）拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点． (1)当时，求； (2)若的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得到焦点坐标，则直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦公式表示出，再代入即可得解； （2）求出点到直线的距离，再由面积公式得到方程，解得即可. 【详解】（1）拋物线的焦点， 则直线的方程为． 设， 由，得， 则，所以， 所以， 当时，． （2）因为， 点到直线的距离， 所以， 化简得，解得，即． 17．（本题15分）经过点作直线交双曲线于两点，且为的中点. (1)求直线的方程； (2)求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点差法，设代入双曲线方程，两式相减化简可求出直线的斜率，从而可求出直线方程， （2）将直线方程代入双曲线方程化简，再利用根与系数的关系，结合弦长公式可求得结果 【详解】（1）设直线斜率为；直线与双曲线交点分别为. 所以，即=2，=8； 将两点代入双曲线方程得，两式相减得， 即，即， 所以，所以直线的方程为，即， 经验证符合题意，所以直线的方程为； （2）联立，消去得， 所以，， 所以. 即线段的长为. 18．（本题17分）已知椭圆的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线与椭圆相交于两点. (1)若直线，求两点坐标； (2)若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)或. (2)是，定值为 【分析】（1）通过联立直线方程与椭圆方程，求解即可； （2）先设直线的方程为，与椭圆的方程联立，根据韦达定理及斜率公式计算即可. 【详解】（1）由题知，， 解得，或， 所以或. （2）设直线的方程为，，， 联立，得， 方程的判别式， 所以， 所以 故直线、的斜率之和是定值，为0. 19．（本题17分）已知曲线上的动点满足，且. (1)求的方程； (2)若直线与交于、两点，过、分别做的切线，两切线交于点.在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立. ①直线经过定点； ②点在定直线上. 【答案】(1)() (2)答案见解析 【分析】（1）由双曲线的定义得出曲线的方程； （2）若选择①证明②成立：利用导数得出过和过的方程，从而得出交点的横坐标，再由证明点在定直线上；若选择②证明①成立：利用导数得出过和过的方程，从而得出，再由直线的方程证明直线经过定点. 【详解】（1）因为， 所以曲线是以、为焦点，以为实轴长的双曲线的右支, 所以，即， 又因为，所以，得， 所以曲线的方程为(). （2）若选择①证明②成立. 依题意，在双曲线右支上，此时直线的斜率必不为， 设直线方程为，，不妨设在第一象限，在第四象限. 因为，所以，且，求导得， 所以过点的直线方程为， 化简为①，同理②， 联立方程①②得,交点的横坐标为， 因为、点在直线上，所以， 所以， 所以的横坐标. 即点在定直线上. 若选择②证明①成立. 不妨设在第一象限，在第四象限.设， 因为，所以，且， 求导得，所以过点的直线方程为， 化简为①，同理② 联立方程①②得交点的横坐标为， 由题意，， 即③. 因为， 所以过直线的方程为， 化简， 整理得 由③式可得, 易知，即直线过定点.    【点睛】关键点睛：在解决第二问时，关键是由导数的几何意义得出过和过的方程，这里涉及到二级结论极点极线的知识，但大题需要证明，这里给出了导数的证明. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第3章 圆锥曲线与方程（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）以椭圆的左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）定义：既是中心对称，也是轴对称的曲线称为“尚美曲线”，下是方程所表示的曲线中不是“尚美曲线”的是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 7．（本题5分）双曲线，过点作的两条渐近线的平行线，分别与渐近线相交于A，B两点，则平行四边形OAPB的面积是（   ） A． B．1 C． D．2 8．（本题5分）已知椭圆，P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直线和平行的直线，分别交，交于M，N两点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（本题6分）已知双曲线，下列结论正确的是（   ） A．离心率为 B．渐近线方程为 C．右焦点坐标为 D．焦点到渐近线距离为 10．（本题6分）已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（   ） A． B．面积的最小值为2. C． D．可能为直角. 11．（本题6分）如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 三、填空题 12．（本题5分）方程表示双曲线，写出一个可以满足题意的值为__________. 13．（本题5分）已知抛物线的焦点为，若点是抛物线上到点距离最近的点，则__________. 14．（本题5分）已知为坐标原点，椭圆的方程为，其离心率为，设，分别是两条直线和（且）上的动点，且线段的长度为，若上存在点，使得四边形是平行四边形，则_____． 四、解答题 15．（本题13分）根据下列条件，求曲线方程. (1)对称轴是轴，且顶点在原点，经过，求抛物线方程； (2)以椭圆的短轴的两个顶点为焦点，且离心率为2的双曲线方程； 16．（本题15分）拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点． (1)当时，求； (2)若的面积为，求的值． 17．（本题15分）经过点作直线交双曲线于两点，且为的中点. (1)求直线的方程； (2)求线段的长. 18．（本题17分）已知椭圆的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线与椭圆相交于两点. (1)若直线，求两点坐标； (2)若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 19．（本题17分）已知曲线上的动点满足，且. (1)求的方程； (2)若直线与交于、两点，过、分别做的切线，两切线交于点.在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立. ①直线经过定点； ②点在定直线上. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $