高中数学单元测试——第3章圆锥曲线与方程（适中版02）

**基本信息** 高中数学第3章圆锥曲线与方程单元复习卷，覆盖抛物线、双曲线、椭圆核心知识，结合太阳灶应用、双纽线等创新情境，适配单元基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|抛物线定义、双曲线渐近线、椭圆离心率|基础概念辨析，如第6题太阳灶抛物线模型应用| |多选题|3/18|双曲线性质、抛物线焦点弦|综合判断，如第11题双纽线新定义探究| |填空题|3/15|双曲线方程参数、抛物线距离范围|动态问题，如第13题抛物线点到定点距离范围| |解答题|5/77|曲线方程求解、直线与圆锥曲线综合|分层设计，如第19题轨迹方程与定点证明，培养逻辑推理与数学建模|

高中数学单元测试 —— 第3章 圆锥曲线与方程（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合抛物线的定义分析求解. 【详解】因为抛物线的准线为， 由题意可得：，解得. 故选：A. 2．（本题5分）双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的渐近线方程的求法得出答案. 【详解】由题意得，，则其渐近线方程为. 故选：C. 3．（本题5分）已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆方程和短轴的长度，得出、的具体值,进而求出离心率. 【详解】由椭圆方程可知,所以,又短轴长,所以, 所以离心率. 故选:A 4．（本题5分）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用抛物线与圆的对称性，得出即可求解． 【详解】设，（）， 由，得，所以． 因为在圆上，所以，得， 故选：A． 5．（本题5分）过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用焦点相同这个条件得到相同，结合椭圆经过定点条件，构造方程组求解即可. 【详解】由题意得椭圆的焦点坐标为，， 设所求椭圆的标准方程为， 由于椭圆经过过点，则可将点代入方程得到，． 所求椭圆与椭圆有相同的焦点，所求椭圆的半焦距，， 联立解得，，所求椭圆的标准方程为. 故选：B. 6．（本题5分）如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在可得，即可求解. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为， 由题意可知在抛物线上，故， 因此焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为， 故选：D. 7．（本题5分）点为等轴双曲线的焦点，过作轴的垂线与的两渐近线分别交于两点，则的面积为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】先求出双曲线的方程，进而求出双曲线的渐近线方程，即可求出两点的坐标，即可求出的面积. 【详解】设双曲线为：， 因为，解得：， 所以双曲线为：，则双曲线的渐近线为：， 所以，解得：，则， 所以为等腰直角三角形， 所以的面积为. 故选：B. 8．（本题5分）将焦点在坐标轴上的椭圆绕其中心旋转一定的角度就会得到斜椭圆，已知曲线的形状是如图所示的斜椭圆，为斜椭圆上任意一点，，则的最大值为（    ）    A．15 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】先验证曲线关于对称且在斜椭圆上，求出直线与椭圆的交点，化简得到 ，当位于点时，最大为. 【详解】因为关于直线的对称点分别为， 易知点都在曲线上， 所以曲线关于对称， 因为满足曲线方程，所以在斜椭圆上， 设的中点为，则，    联立，得或，所以， ， 当位于点时，最大，此时. 故选：B 二、多选题 9．（本题6分）关于双曲线的以下论述中，正确的是（   ） A．焦点在y轴上 B．虚轴长为16 C．渐近线方程为 D．离心率为 【答案】ACD 【分析】由有，逐项验证即可求解. 【详解】由有，所以双曲线的焦点在轴上，故A正确； 由，所以虚轴长为，故B错误； 由得，故C正确；由，所以，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10．（本题6分）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D． 【答案】CD 【分析】求出抛物线方程，利用抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系计算弦长和三角形面积判断选项的正误即可 【详解】直线过抛物线的焦点， 可得，则，所以A选项错误； 抛物线方程为，准线的方程为， 直线与抛物线交于两点，设， 直线方程代入抛物线方程消去可得， 则，得，所以B选项错误； 的中点的横坐标，中点到抛物线的准线的距离为， 则以为直径的圆与相切，所以C选项正确； 点到直线的距离，，所以D选项正确． 故选：CD． 11．（本题6分）已知，若平面内动点满足，则称点P的轨迹为双纽线，下列结论正确的是（    ） A．双纽线是轴对称图形 B．的面积的最大值为 C． D．直线与双纽线有三个交点 【答案】AD 【分析】对于A，利用两点的距离公式整理方程，将关于坐标轴对称的点代入，可得答案；对于B，利用一元二次方程根的存在性，求得动点坐标的范围，结合三角形面积公式，可得答案；对于C，根据三角形三边关系，可得答案；对于D，联立方程，因式分解求方程的根，可得答案. 【详解】对于A，由， 则曲线方程为， 由关于轴的对称点为，显然当满足方程时，也满足方程， 则双纽线关于轴对称，故A正确； 对于B，由方程， 整理可得关于的方程， 由，解得， 由，则其最大值为，故B错误； 对于C，当点不在原点，则构成，则，故C错误； 对于D，将代入方程， 整理可得，解得或，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（本题5分）方程表示双曲线，写出一个可以满足题意的值为__________. 【答案】1（答案不唯一）. 【分析】利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可. 【详解】因为方程表示双曲线，所以，即， 所以m的取值范围是. 故答案为：1（答案不唯一）. 13．（本题5分）点在抛物线上，点到点的距离的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】设点，得到以点到点的距离为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设点的坐标为，其中，则， 所以点到点的距离为， 当时，取得最小值，最小值为，所以点到点距离的取值范围是. 故答案为：. 14．（本题5分）已知为坐标原点，椭圆的方程为，其离心率为，设，分别是两条直线和（且）上的动点，且线段的长度为，若上存在点，使得四边形是平行四边形，则_____． 【答案】或2 【分析】首先利用坐标表示，再坐标表示平行四边形的向量关系，利用点在椭圆上，结合离心率，即可求解. 【详解】设，， 因为，所以，设， 因为，所以所以，即， 因为，且，所以， 当，即时，表示焦点在轴上的椭圆， 此时，，，，此时由得或（舍去）； 当，即时，表示焦点在轴上的椭圆， 此时，，，，此时由得或（舍去）． 综上所述，或． 故答案为：或2 四、解答题 15．（本题13分）根据下列条件，求曲线的标准方程： (1)经过两点，的椭圆的标准方程. (2)焦距为26，且经过点的双曲线的标准方程. (3)经过点的抛物线的标准方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解，可设方程为，代入点的坐标可得答案； （2）根据焦距和顶点可得双曲线的方程； （3）设出方程，根据抛物线所过点，求出方程. 【详解】（1）设椭圆的方程为， 因为椭圆经过两点，，所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）因为双曲线的焦距为26，且经过点，所以， 所以，所以双曲线的方程为. （3）由题意设抛物线的方程为或， 因为抛物线过点，所以可得，， 即抛物线的方程为或. 16．（本题15分）设抛物线C：的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点，线段的中点的横坐标为2，且. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线经过焦点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线定义以及中点横坐标计算可得，可求出抛物线的标准方程； （2）联立抛物线和直线方程，再由韦达定理求出直线斜率可得直线方程. 【详解】（1）设,， 线段的中点的横坐标为，， 由抛物线定义可得，解得， 抛物线的标准方程为． （2）由（1）可知抛物线的焦点为， 当直线的斜率不存在时，可知，不合题意， 故可设直线的方程为，， 由得, 由可得， 直线的方程为. 17．（本题15分）经过点作直线交双曲线于两点，且为的中点. (1)求直线的方程； (2)求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点差法，设代入双曲线方程，两式相减化简可求出直线的斜率，从而可求出直线方程， （2）将直线方程代入双曲线方程化简，再利用根与系数的关系，结合弦长公式可求得结果 【详解】（1）设直线斜率为；直线与双曲线交点分别为. 所以，即=2，=8； 将两点代入双曲线方程得，两式相减得， 即，即， 所以，所以直线的方程为，即， 经验证符合题意，所以直线的方程为； （2）联立，消去得， 所以，， 所以. 即线段的长为. 18．（本题17分）已知是椭圆的左焦点，，分别是椭圆的左、右顶点，. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点（异于，），记直线，的斜率分别为，.证明：. 【答案】(1) (2) 法一：显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，， 由消去得， ，，， 而，则 ， 所以. 法二：直线的斜率不为0，设直线的方程为，， 由消去得，， ，，， 而，则， ，所以 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，法一：借助作差法推理得证；法二：借助作商法计算推理得证. 【详解】（1）依题意，椭圆的半焦距，由，得， 解得，，所以椭圆的方程为. （2）略 19．（本题17分）在平面直角坐标系中，动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)设过点且互相垂直的两条直线分别与曲线E交于点M，N（异于点A），求证：直线MN过定点． 【答案】(1)； (2)解法一：设， 当直线MN斜率不存在，直线AM，AN分别为， 分别联立，有，可得或（点横坐标，舍），则， 此时直线MN的方程为，过点； 当直线MN斜率存在时，设其方程为， 由，消去y得， 所以， 由根与系数的关系得， 因为，所以，即， 即， 即， 将，代入化简得， 所以或， 当时，直线MN方程为（不合题意，舍）， 当时，直线MN方程为，MN恒过定点， 综上所述，直线MN过定点．    解法二：（齐次化）设不过点A的直线MN的方程为， 将双曲线E的方程变形为：，即， 将直线MN的方程代入得，， 整理得，， 变形得． 由题意，直线AM、AN的斜率存在，且， 设， 则是方程的两个根， 所以，解得， 则直线MN的方程为，整理得， 令，得，所以直线MN恒过定点． 【分析】（1）根据两点距离、点线距离求曲线E的方程； （2）法一：讨论直线MN斜率存在性，设直线方程并联立双曲线方程，利用韦达定理及求出相关参数，得到直线方程，进而确定直线是否过定点；法二：将视作对称中心，齐次化处理相关方程、设直线方程，联立方程并结合求方程中所含的参数值，进而确定直线是否过定点； 【详解】（1）设，因为P与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数， 所以，化简得，曲线E的方程为． （2）略 【点睛】关键点点睛：第二问，设直线方程，联立双曲线方程并应用韦达定理及求出直线方程中的相关参数为关键. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第3章 圆锥曲线与方程（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 5．（本题5分）过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）点为等轴双曲线的焦点，过作轴的垂线与的两渐近线分别交于两点，则的面积为（    ） A． B．4 C． D．8 8．（本题5分）将焦点在坐标轴上的椭圆绕其中心旋转一定的角度就会得到斜椭圆，已知曲线的形状是如图所示的斜椭圆，为斜椭圆上任意一点，，则的最大值为（    ）    A．15 B．16 C． D． 二、多选题 9．（本题6分）关于双曲线的以下论述中，正确的是（   ） A．焦点在y轴上 B．虚轴长为16 C．渐近线方程为 D．离心率为 10．（本题6分）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D． 11．（本题6分）已知，若平面内动点满足，则称点P的轨迹为双纽线，下列结论正确的是（    ） A．双纽线是轴对称图形 B．的面积的最大值为 C． D．直线与双纽线有三个交点 三、填空题 12．（本题5分）方程表示双曲线，写出一个可以满足题意的值为__________. 13．（本题5分）点在抛物线上，点到点的距离的取值范围是_____________． 14．（本题5分）已知为坐标原点，椭圆的方程为，其离心率为，设，分别是两条直线和（且）上的动点，且线段的长度为，若上存在点，使得四边形是平行四边形，则_____． 四、解答题 15．（本题13分）根据下列条件，求曲线的标准方程： (1)经过两点，的椭圆的标准方程. (2)焦距为26，且经过点的双曲线的标准方程. (3)经过点的抛物线的标准方程. 16．（本题15分）设抛物线C：的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点，线段的中点的横坐标为2，且. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线经过焦点，求直线的方程. 17．（本题15分）经过点作直线交双曲线于两点，且为的中点. (1)求直线的方程； (2)求线段的长. 18．（本题17分）已知是椭圆的左焦点，，分别是椭圆的左、右顶点，. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点（异于，），记直线，的斜率分别为，.证明：. 19．（本题17分）在平面直角坐标系中，动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)设过点且互相垂直的两条直线分别与曲线E交于点M，N（异于点A），求证：直线MN过定点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $