高中数学单元测试——第2章平面解析几何初步（较难版02）

**基本信息** 本卷为高中数学平面解析几何初步单元较难版测试，覆盖直线与圆的核心知识，通过基础题、综合题及创新应用题梯度设计，适配单元复习，强化几何直观、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|倾斜角、圆的方程、直线平行|基础概念辨析，突出空间观念| |多选题|3/18|直线定点、圆与直线位置关系|多选项设计，考查推理能力| |填空题|3/15|平行线距离、切线方程|强调运算准确性，渗透转化思想| |解答题|5/77|三角形直线方程、圆的方程、轮船触礁问题、阿波罗尼斯圆|综合应用，如触礁问题体现模型意识，阿波罗尼斯圆呼应高考创新趋势|

高中数学单元测试 —— 第2章 平面解析几何初步（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知点和点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（本题5分）若直线与直线互相平行，则（   ） A． B．3 C．或3 D．1或 4．（本题5分）坐标原点O到直线的距离为（   ） A． B． C． D．2 5．（本题5分）无论取任何实数，直线必经过一个定点，则定点的坐标是 （    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）直线被圆所截得的弦长为（   ） A． B． C．2 D． 7．（本题5分）已知两直线与的交点在圆的内部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、多选题 9．（本题6分）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 10．（本题6分）已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（   ） A．点在圆C外 B．直线l与圆C相离 C．点P为圆C上的动点，点Q为直线l上的动点，则的取值范围是 D．将直线l下移4个单位后得到直线l＇，则圆C上有且仅有3个点到直线l＇的距离为 11．（本题6分）已知，，动点P满足．设点P的轨迹为曲线C，直线l：与曲线C交于D，E两点，则下列结论正确的是（    ） A．曲线C的方程为 B．的取值范围为 C．当最小时， D．当最大时， 三、填空题 12．（本题5分）直线与直线之间的距离是______． 13．（本题5分）过原点且与圆相切的直线的方程为_____. 14．（本题5分）已知直线和两点，若上存在点使得最小，则点坐标为______． 四、解答题 15．（本题13分）已知三角形的三个顶点，，． (1)求AC边所在直线的一般方程； (2)求AC边上的高所在直线方程． 16．（本题15分）（1）求过三点的圆的一般方程； （2）求过两点和，且圆心在x轴上的圆的标准方程． 17．（本题15分）已知圆，圆． (1)若圆与圆恰有条公切线，求实数的取值范围； (2)当时，圆与圆相交于两点，求四边形的面积． 18．（本题17分）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 19．（本题17分）古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点、动点满足，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过的直线与曲线交于P，Q两点，若为线段NQ的中点，求直线的方程； (3)过点作曲线的两条切线，切点分别为M，N，线段MN长度的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第2章 平面解析几何初步（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知点和点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点的斜率公式以及倾斜角与斜率的关系即可求得结果. 【详解】因为，且，所以的倾斜角 故选：B 2．（本题5分）圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得答案. 【详解】圆的标准方程为，故该圆的圆心为，半径为. 故选：C. 3．（本题5分）若直线与直线互相平行，则（   ） A． B．3 C．或3 D．1或 【答案】A 【分析】根据两直线平行的条件求，代入排除直线重合即可求解. 【详解】由题意知,即,解得或. 当时，两直线方程都是，两直线重合，不合题意； 当时，直线即与直线平行，符合题意. 故选：A. 4．（本题5分）坐标原点O到直线的距离为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由点到直线的距离公式可得. 故选:C. 5．（本题5分）无论取任何实数，直线必经过一个定点，则定点的坐标是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数，直线方程即，由求定点的坐标． 【详解】化简得，即， 由，所以直线过定点. 故选：B 6．（本题5分）直线被圆所截得的弦长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦，弦心距和半径的关系可求得结果. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 故直线被圆所截弦长为. 故选：D. 7．（本题5分）已知两直线与的交点在圆的内部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由两条直线求交点，再由交点在圆的内部可得. 【详解】联立，解得，即交点为. 再由交点在圆的内部，所以，解得. 故选：C. 8．（本题5分）已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】过圆心作，由已知求得，再求出圆心到直线的距离，求得的最小值，再由求解. 【详解】由圆，圆心，半径为2， 如图，过圆心作，垂足为，连接，由， 可得， 由，当共线时取等号， 又是的中点，所以此时， 所以， 则此时，即的最小值为2. 故选：C.    二、多选题 9．（本题6分）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 【答案】BC 【分析】利用直线方程的斜截式、点斜式，以及直线过定点问题进行逐个选项判断即可. 【详解】因为直线经过第一､二､四象限， 所以直线的斜率，截距. 故点在第二象限，所以A中说法错误. 由整理得. 所以无论取何值，都满足方程.所以B中说法正确. 由点斜式方程可知， 过点且斜率为的直线的方程为. 所以C中说法正确. 由斜截式方程可知， 斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为. 所以D中说法错误. 故选：BC 10．（本题6分）已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（   ） A．点在圆C外 B．直线l与圆C相离 C．点P为圆C上的动点，点Q为直线l上的动点，则的取值范围是 D．将直线l下移4个单位后得到直线l＇，则圆C上有且仅有3个点到直线l＇的距离为 【答案】BCD 【分析】通过计算圆心到点的距离、圆心到直线的距离等，数形结合，即可判断. 【详解】因为圆C：，所以圆心，半径 对于A：点A与圆心的距离为，所以点在圆C内，故A错； 对于B：圆心到直线l的距离为，所以直线l与圆C相离，故B对； 对于C：有B选项知，圆心到直线l的距离为，则的最小值是，无最大值，则的取值范围是，故C对； 对于D：直线圆心到直线的距离为是半径的一半， 如图所示 则圆C有且仅有3个点到直线的距离为，故D对； 故选：BCD. 11．（本题6分）已知，，动点P满足．设点P的轨迹为曲线C，直线l：与曲线C交于D，E两点，则下列结论正确的是（    ） A．曲线C的方程为 B．的取值范围为 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，求出曲线C的方程判断A；再利用曲线C的性质计算判断B，C，D作答. 【详解】设点，则，由得： ，整理得：，即， 所以曲线C的方程为，A正确； 显然曲线C是以点为圆心，4为半径的圆，，点A在圆C外， ，所以的取值范围为，B正确； 直线l：恒过定点，显然点在圆C内，线段是经过点的圆的弦， 直线的斜率，由圆的性质知，当最小时，，则有，解得，C错误； 当最大时，线段是经过点的圆的直径，则，解得，D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．（本题5分）直线与直线之间的距离是______． 【答案】/ 【分析】根据平行线间距离公式求解. 【详解】直线与直线之间的距离为. 故答案为：. 13．（本题5分）过原点且与圆相切的直线的方程为_____. 【答案】 【分析】由圆的方程确定圆心和半径，设切线为，应用点线距离公式列方程求参数值，即可得. 【详解】由圆的圆心，半径为， 若过原点且斜率不存在，则，此时圆心到其距离为，显然不满足， 所以切线斜率存在，令过原点的切线为，则， 所以，整理得， 所以，即. 故答案为： 14．（本题5分）已知直线和两点，若上存在点使得最小，则点坐标为______． 【答案】 【分析】求点关于直线的对称点，则当三点共线时最小，将直线与直线的方程联立即可. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，，得，即， 则， 将代入中得，，则. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知三角形的三个顶点，，． (1)求AC边所在直线的一般方程； (2)求AC边上的高所在直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线的两点式方程，求出直线AC的方程即可； （2）求出直线AC的斜率，得到AC边上高线的斜率，点斜式求AC边上的高所在直线方程. 【详解】（1）三角形的三个顶点，，． 则直线AC的方程为， 化为一般方程是； （2）AC边所在直线的斜率为， 则有AC边上的高所在直线的斜率为， 所以AC边上的高所在直线的方程为， 即． 16．（本题15分）（1）求过三点的圆的一般方程； （2）求过两点和，且圆心在x轴上的圆的标准方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设圆的方程，代入三个点坐标，解得圆方程. （2）由圆的性质求出圆心坐标，从而得出圆的半径，写出圆的方程. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 由题将三点代入得： 解得， 所以所求圆的一般方程为； （2）由题，设圆心为， ， ， 即， ， ∴圆的标准方程为 17．（本题15分）已知圆，圆． (1)若圆与圆恰有条公切线，求实数的取值范围； (2)当时，圆与圆相交于两点，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两圆公切线条数判定两圆相交，根据相交的充要条件列出不等式求解. （2）将两圆方程相减得相交弦的方程，再由圆的弦长公式求公共弦长，最后根据面积公式求值即可. 【详解】（1）因为圆与圆恰有条公切线， 所以圆与圆相交， 又圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径 所以， 故，所以， 解得； （2）当时，圆的方程可化成， 所以， 所以， 因为圆与圆相交于两点， 所以所在的直线方程为， 化简得：， 所以到直线的距离为， 所以， 又， 所以四边形的面积为 18．（本题17分）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 【答案】(1) (2)不会有触礁危险，理由如下： 以小岛中心为原点，东西方向为轴，建立上图所示的直角坐标系， 为了运算的简便，取10千米为单位长度，则港口所在位置的坐标为， 轮船所在位置坐标为， 则受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为， 轮船航线所在直线的方程为即， 由，得， 由，可知方程组无解． 所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险. 【分析】（1）根据方位角的概念直接在图中标出即可. （2）建立平面直角坐标系，求出航线的直线方程及圆的方程，利用判别式法判断直线与圆的位置关系，即可判断. 【详解】（1） （2）略 19．（本题17分）古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点、动点满足，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过的直线与曲线交于P，Q两点，若为线段NQ的中点，求直线的方程； (3)过点作曲线的两条切线，切点分别为M，N，线段MN长度的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据列方程，整理即可得到曲线的方程； （2）根据在曲线上得到，，根据为线段的中点得到，然后解方程得到点，最后求直线方程即可； （3）根据的坐标得到点在直线上运动，然后利用等面积的思路得到当长度最小时，线段的长度最小，最后根据几何知识求最小值即可. 【详解】（1）设，则， 整理得，即， 所以曲线的方程为. （2）设，，则①，②， 因为为线段的中点，所以，即， 将代入②中得③， 联立①③得，则， 所以， 直线的方程为. （3） 由题意得点在直线上运动， 设曲线的圆心为，则， 由题意得，， 则， 所以当长度最小时，线段的长度最小， 当垂直直线时，长度最小， 则， 所以. 【点睛】关键点睛：（3）的解题关键在于通过等面积的方法将求的最小值转化为求的最小值，然后根据垂线段最短求最值即可. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $