高中数学单元测试——第二章平面解析几何（较易版02）

**基本信息** 平面解析几何单元复习卷，以基础巩固为主，融入科技情境（如抛物线型太阳灶），覆盖直线、圆、圆锥曲线核心知识，适配单元知识检测与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直线倾斜角、双曲线渐近线、圆的方程|基础概念辨析，如第5题恒过定点问题考查数学思维的推理能力| |多选题|2/12|圆锥曲线定义、直线与圆位置关系|概念辨析，如第9题辨析抛物线、椭圆定义，培养数学眼光的抽象能力| |填空题|3/15|直线距离、圆与抛物线最值|空间形式转化，第13题圆与抛物线距离最小值体现数学语言的模型意识| |解答题|5/63|直线方程、抛物线焦点弦、圆的位置关系|综合应用，第16题抛物线面积计算融合运算能力与数学思维的逻辑推理|

高中数学单元测试 —— 第二章 平面解析几何（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）经过点作直线，若直线与连接的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A．或 B． C． D．或 2．（本题5分）若为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）设圆的圆心为M，半径为r，则（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题5分）已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）直线（是任意实数）恒过定点（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）若点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列说法中不正确的是（   ） A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线 B．平面内与两个定点和的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆 C．平面内与两个定点和的距离之差等于的点的轨迹是双曲线 D．平面内与两个定点和的距离之比等于2的点的轨迹是圆 10．（本题6分）已知直线l：，圆C：，点，则（    ） A．若M在圆上，直线l与圆C相切 B．若M在圆内，直线l与圆C相离 C．若M在圆外，直线l与圆C相离 D．若M在直线l上，直线l与圆C相切 11．（本题6分）如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 三、填空题 12．（本题5分）已知直线与直线间的距离为，则_____ 13．（本题5分）点在圆上，点在抛物线上，则线段长度的最小值为_____. 14．（本题5分）已知直线和两点，若上存在点使得最小，则点坐标为______． 四、解答题 15．（本题13分）已知直线过点且与直线：垂直． (1)求直线的方程； (2)若直线l经过，且过直线与的交点，求直线l的方程． 16．（本题15分）拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点． (1)当时，求； (2)若的面积为，求的值． 17．（本题15分）已知圆，圆． (1)若圆与圆恰有条公切线，求实数的取值范围； (2)当时，圆与圆相交于两点，求四边形的面积． 18．（本题17分）已知动点在运动过程中总满足关系式 (1)请说明动点的轨迹是什么曲线，并求出轨迹的标准方程； (2)记点的轨迹为曲线，且曲线与轴交于两个不同的点，当动点与两点均不重合时，证明直线的斜率之积为定值，并求出此定值． 19．（本题17分）已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内切，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧． ①求直线斜率的取值范围； ②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点，并求出该定点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章 平面解析几何（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）经过点作直线，若直线与连接的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】由图可知，经过点作直线，当直线过点时斜率最小，过点时斜率最大，然后利用斜率与倾斜角的关系可得答案 【详解】解： 由图可知，经过点作直线，当直线过点时斜率最小，过点时斜率最大， 因为，， 所以， 所以， 因为，所以或， 故选：D 2．（本题5分）若为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由及双曲线方程中的参数结合关系求出，得到渐近线方程. 【详解】因为为双曲线的右焦点，所以， 所以， 所以的渐近线方程为， 故选：D. 3．（本题5分）设圆的圆心为M，半径为r，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将圆的方程转化为标准方程，得出圆心和半径. 【详解】将转化为， 可得圆心，半径， 故选：. 4．（本题5分）已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆方程和短轴的长度，得出、的具体值,进而求出离心率. 【详解】由椭圆方程可知,所以,又短轴长,所以, 所以离心率. 故选:A 5．（本题5分）直线（是任意实数）恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线系过定点求解. 【详解】当时，， 所以直线（是任意实数）恒过定点， 故选：B 6．（本题5分）如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在可得，即可求解. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为， 由题意可知在抛物线上，故， 因此焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为， 故选：D. 7．（本题5分）若点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合点与圆的位置关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径， 若点在圆外，则， 解得或，所以实数的取值范围是. 故选：C. 8．（本题5分）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义可得，然后化简，那么要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据两点间距离公式即可得到结果. 【详解】设椭圆的另一个焦点为，圆的圆心为，其半径， 那么，所以. 所以. 所以要求的最大值，即求的最大值. 因为，所以当三点共线时，的最大值为. 而，所以的最大值为. 故选：D. 二、多选题 9．（本题6分）下列说法中不正确的是（   ） A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线 B．平面内与两个定点和的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆 C．平面内与两个定点和的距离之差等于的点的轨迹是双曲线 D．平面内与两个定点和的距离之比等于2的点的轨迹是圆 【答案】ABC 【分析】对于A,举反例，定点在直线上判断即可；对于B，根据判断即可；对于C，根据双曲线的定义判断即可；对于D，设所求点为，再根据条件化简判断即可. 【详解】对于A，当定点在直线上时，轨迹为过且与垂直的直线，故A错误； 对于B，平面内与两个定点和的距离之和等于2的点的轨迹是线段，故B错误； 对于C，平面内与两个定点和的距离之差等于的点的轨迹是双曲线的一支，不是双曲线，故C错误； 对于D，设所求点为，则，即， 则，化简可得，轨迹是圆，故D正确. 故选：ABC 10．（本题6分）已知直线l：，圆C：，点，则（    ） A．若M在圆上，直线l与圆C相切 B．若M在圆内，直线l与圆C相离 C．若M在圆外，直线l与圆C相离 D．若M在直线l上，直线l与圆C相切 【答案】ABD 【分析】根据点与圆的位置关系，得的关系，即可确定直线与圆的关系来判断A，B，C选项；根据点与直线的位置关系，得的关系，即可确定直线与圆的关系来判断D选项. 【详解】圆，圆心，半径. 对于A，若在圆上，则，圆心到直线的距离为：，则直线与圆相切，故A正确； 对于B，若在圆内，则，圆心到直线的距离为： ，则直线与圆相离，故B正确； 对于C，若在圆外，则，圆心到直线的距离为：，直线与圆相交，故C错误； 对于D，若在直线上，则，圆心到直线的距离为：，则直线与圆相切，故D正确. 故选：ABD. 11．（本题6分）如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 【答案】ACD 【分析】由“双纽线”定义判断A；由“双纽线”定义得到，再计算判断B；由“双纽线”定义和椭圆定义判断C；设，由勾股定理得到，再解方程判断D. 【详解】对于A，，由定义知，A正确； 对于B，由点在上，得， 化简得，解得，，B错误； 对于C，椭圆的焦点坐标恰好为与， 则，由，得， 则，，C正确； 对于D，设，则，而，则， 又， 则，化简得，解得，， 因此1，，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（本题5分）已知直线与直线间的距离为，则_____ 【答案】或 【分析】根据平行线间距离公式可得方程，解方程即可. 【详解】直线与直线之间的距离， 解得或， 故答案为：或. 13．（本题5分）点在圆上，点在抛物线上，则线段长度的最小值为_____. 【答案】 【分析】先求出圆心和半径，再由两点间距离公式和配方法求出即可. 【详解】圆的圆心，， 设， 则， 故答案为： 14．（本题5分）已知直线和两点，若上存在点使得最小，则点坐标为______． 【答案】 【分析】求点关于直线的对称点，则当三点共线时最小，将直线与直线的方程联立即可. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，，得，即， 则， 将代入中得，，则. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知直线过点且与直线：垂直． (1)求直线的方程； (2)若直线l经过，且过直线与的交点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知设出的方程为，代入点的坐标，求出的值，即可得出答案； （2）联立直线与的方程，求解方程组得出交点坐标，然后即可根据两点式方程，求出答案. 【详解】（1）由已知可设直线的方程为. 又直线过点，所以有，解得， 所以，直线的方程为. （2）联立直线与的方程， 可得， 所以，直线与的交点. 又直线l经过， 代入直线的两点式方程可得，， 整理可得. 16．（本题15分）拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点． (1)当时，求； (2)若的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得到焦点坐标，则直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦公式表示出，再代入即可得解； （2）求出点到直线的距离，再由面积公式得到方程，解得即可. 【详解】（1）拋物线的焦点， 则直线的方程为． 设， 由，得， 则，所以， 所以， 当时，． （2）因为， 点到直线的距离， 所以， 化简得，解得，即． 17．（本题15分）已知圆，圆． (1)若圆与圆恰有条公切线，求实数的取值范围； (2)当时，圆与圆相交于两点，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两圆公切线条数判定两圆相交，根据相交的充要条件列出不等式求解. （2）将两圆方程相减得相交弦的方程，再由圆的弦长公式求公共弦长，最后根据面积公式求值即可. 【详解】（1）因为圆与圆恰有条公切线， 所以圆与圆相交， 又圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径 所以， 故，所以， 解得； （2）当时，圆的方程可化成， 所以， 所以， 因为圆与圆相交于两点， 所以所在的直线方程为， 化简得：， 所以到直线的距离为， 所以， 又， 所以四边形的面积为 18．（本题17分）已知动点在运动过程中总满足关系式 (1)请说明动点的轨迹是什么曲线，并求出轨迹的标准方程； (2)记点的轨迹为曲线，且曲线与轴交于两个不同的点，当动点与两点均不重合时，证明直线的斜率之积为定值，并求出此定值． 【答案】(1)动点的轨迹是椭圆，椭圆的标准方程为. (2)直线的斜率之积为定值. 【分析】（1）根据椭圆的定义判断动点的轨迹，并求出椭圆的标准方程；（2）先求出曲线与轴的交点坐标，再根据直线的斜率公式求出直线的斜率，最后计算它们的斜率之积. 【详解】（1）设，，， 则动点到定点，的距离之和为 ， 又，满足， 所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆. 因为焦点在轴上，设的轨迹方程为， ，，，所以， 则椭圆的标准方程为. （2）令，解得， 所以，， 直线的斜率为， 直线的斜率为， . 因为点在椭圆上，满足， 所以， 将代入得：， 所以直线的斜率之积为定值. 19．（本题17分）已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内切，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧． ①求直线斜率的取值范围； ②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点，并求出该定点． 【答案】(1) (2)①； ②由题意，则，所以直线方程为， 即，因为 ， 因为， 所以， 所以直线方程为，恒过点. 【分析】（1）由题意可得，由双曲线的定义可知动点的轨迹是双曲线，由双曲线的得到轨迹方程； （2）①设出直线方程，联立方程组并消元得到一元二次方程，由直线与曲线存在两个交点得到一元二次方程二次项系数不为0，判别式大于0，两根之积为负数建立不等式组，解出斜率的取值范围；②表示出直线方程，利用①的韦达定理化简方程求得直线恒过定点. 【详解】（1）设动圆的半径为，当动圆与圆、圆都外切时，， 所以. 当动圆与圆、圆都内切时，， 所以，所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，，所以， 所以曲线的方程为. （2）①由题意直线斜率存在，设为， 设点，， 由消去得，， 则， 则由题意，解得， 所以直线斜率的取值范围为. ②略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $