第二章 平面几何初步（高效培优单元测试·强化卷）数学湘教版2019选择性必修第一册

高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二章：平面几何初步（高效培优单元测试·强化卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名 班级 考号 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的， 1.已知点P(-2,1)和点Q(3,6),则直线PQ的倾斜角α为() A.60 B.45 C.120° D.135 2.已知直线1经过点(3,1)，且倾斜角为45°，则直线1的方程为() A.x-y-4=0B.X+y-4=0 C.x+y-2=0 D.x-y-2=0 3.直线1：ax+y-1=0,12:(a-2)x-ay+1=0,则"a=3"是1⊥12"的()条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 4.直线1：5x-12y+4=0与直线l2:10x-24y-18=0上各有一动点P、Q,那么PQ最小值为() A.0 B.1 c.} D.得 5."关于x,y的方程：x2+y2+x+4y+8=0表示圆"是"m>4"的(）条件 A.必要不充分 B.充要 C.充分不必要 D,既不充分也不必要 6.己知圆M:(x+2)+y2=2,直线！：x+y-2=0,点P在直线！上运动，直线PAPB分别与圆M相切 于点AB,则四边形PAMB的面积的最小值为() A.25 B.5 C.4 D.2 7.实数x,y满足(x-2)2+(y-1)2=1,则x2+y2的最大值是() A.4+2V3 B.4-2V3 c.6+25 D.6-25 8.已知直线：x+y-1=0截圆2：x2+y2=r2(r>0)所得的弦长为y14,点M,N在圆上，且直线 1:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0过定点P,若PM1PN,则MN的取值范围为() A.[2-V2,2+5] B.[2-V2,2+2] c.[V6-2,6+5] D.[V6-V2,6+2] 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 1/3 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知圆C:x2+y2-2x+2y+入=0，则下列结论正确的是() A.7的取值范围为(-∞，1] B.圆C关于直线x+y=0对称 C.若直线x+y+1=0被圆C截得的弦长为√2，则入=2 D.若7=1，过点A(0,1)作圆C的一条切线，切点为B,则AB|=2 10.已知P(8,y)是曲线y=√-4x-x2上一动点，若满足|x+y-t=2的点P恰有2个，则实数t的取 值可能是() A.2 B.5 c.2W2 D.3 11.已知圆C:x2+y2-6x+8y=0与直线：3x-4y+10=0,点P在圆C上，点Q在直线1上，则() A.直线1与圆C相离 B.过点(1，~1)的直线被圆C截得的弦长的最小值为2W5 C.IPQlmin=2 D.从点Q向圆C引切线，切线长的最小值是2√ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知x,y满足x2+y2-6x+2y+9=0,则g的最小值是 13.唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣 的数学问题一一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营， 怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从点A(2,0)处 出发，河岸线所在直线方程为x+y=3,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马” 的最短总路程为」 14.Vx,yER,函数f(xy)=V(x-1)2+(y-4)2+3x+4y-5引的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知直线1的方程为(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 (1)求证：不论m为何值，直线1必过定点M: (2)过点M的直线l1交坐标轴正半轴于AB两点，当△A0B面积最小时，求△A0B的周长. 16.(15分)已知直线11：x-2y+3=0,l2:2x+3y-8=0. 2/3 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求经过点A(1,4且与直线2垂直的直线方程， (2)求经过直线1与2的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。 17.(15分)已知圆C1:x2+(y4)2=4,圆C2:(x-a)2+(y-2a+2)2=1. (1)若圆C1与圆C2外切，求实数a的值： (2)设a=2时，圆C1与圆C2相交于A、B两点，求AB|. 18.(17分)已知定点A(1,-3),点B为圆(x+1)+(y+1)2=4上的动点，C为AB的中点. (1)求C的轨迹方程； 2)若过定点P(,-1)的直线1与C的轨迹交于M,N两点，且MN=V5,求直线的方程。 19.(17分)已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:x2-23ax+y2-2ay+4a-1=0,a≠0且a≠克 (1)证明：C1与C2相切： (2)若C1与C2内切，求公切线1的方程； 诺a>生，a≠1，周C与C内切于点A停，) 且C3与C2的面积之积为π2，若经过点C2,C3的直线 分别交C2于点S(异于点A),交C3于点T(异于点A),证明：以ST为直径的圆过定点. 3/3 第二章：平面几何初步（高效培优单元测试·强化卷） （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知点和点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】广东省潮州市2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】利用两点的斜率公式以及倾斜角与斜率的关系即可求得结果. 【详解】因为，且，所以的倾斜角 故选：B 2．已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广东省梅州市2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】由题意求出直线的斜率，利用点斜式方程即可求得. 【详解】由题意知，直线的斜率为1，又经过点， 故直线的方程为，即. 故选：D. 3．直线，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【来源】安徽省六安第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】先求出两直线垂直时的值，进而可判断充分必要条件． 【详解】直线， 当时，有，解得或. 所以“”时“”成立，“”时“”不一定成立， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．直线与直线上各有一动点、，那么最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【来源】广东省深圳市新安中学（集团）燕川中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 【分析】根据两直线方程得出两直线的斜率相等，从而得出两直线平行，则的最小值即为两直线间的距离，再利用两平行直线间的距离公式计算求解． 【详解】 直线，， 直线，即，， ，显然两直线不重合， ，即最小值即为两直线间的距离， 由两平行直线间的距离公式可得，即最小值为1． 故选：B． 5．“关于的方程：表示圆”是“”的（       ）条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【来源】浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】先得的表示圆时的的取值范围，从而得到结论. 【详解】由题意有， 所以或， 由于为或的真子集， 故方程表示圆是的必要不充分条件， 故选：A. 6．已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】广东省广州市天河外国语学校2024-2025学年高二上学期期中数学试卷 【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离和半径之间关系，即切线长可知当时，最小，可确定四边形面积的最小值. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， 四边形的面积， 则当最小时，四边形的面积最小， 点到直线的距离， ， 此时. 故选：A 7．实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】广东省肇庆市广东肇庆中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】解法1：令，（为参数），代入利用三角恒等变换即可求解； 解法2：由题意有，利用柯西不等式得，令得，解一元二次不等式即可求解； 解法3：设，则圆心为，半径为，由的圆心为，半径为，设圆心距为，利用两圆的位置关系有，即，进而求解. 【详解】由题意令，（为参数）， 所以 ， 所以的最大值是， 解法2： 由有， 所以， 当且仅当时，等号成立， 令，所以，即， 所以，所以， 所以，即， 所以的最大值是， 解法3： 设，则圆心为，半径为，由的圆心为，半径为， 设圆心距为，则，则有， 即，即， 所以的最大值为， 故选：C. 8．已知直线截圆所得的弦长为，点，在圆上，且直线过定点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广东省阳江市第一中学2024-2025学年高二上学期第12月月考数学试题 【分析】利用弦长可求得圆的半径，利用直线系方程求得定点坐标，设的中点为，求得的轨迹方程，进而求得的范围，从而可求得的取值范围. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 圆心到直线的距离为， 依题意，解得， 因为直线，即， 由，解得，所以定点， 设的中点为，则， 即，化简可得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又到圆心的距离为，所以的取值范围为， 而，所以的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：探索曲线过定点的常见方法有两种： ①可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．圆关于直线对称 C．若直线被圆截得的弦长为，则 D．若，过点作圆的一条切线，切点为，则 【答案】BD 【来源】河南省名校大联考2024-2025学年高二上学期阶段性测试（二）数学试题 【分析】对于A，将圆的方程整理为标准方程，由题意可得的范围，即可判断出A的真假；对于B，可得圆心的坐标，将点的坐标代入直线方程，可得圆关于直线对称，即可判断出B的真假；对于C，求出圆心到直线的距离，由弦长公式可得的值，即可判断C的真假；对于D，当，可得圆心的坐标及半径的大小再求出的值，由勾股定理可得切线长的值，即可判断D的真假. 【详解】圆的方程为，所以，得，故A错误 因为圆的圆心在直线上，所以圆关于直线对称，故B正确 圆心到直线的距离，又弦长为，可得圆的半径为，得，故C错误 当时，可得圆的方程为，则圆心，半径为，， 所以切线长为，故D正确． 故选：BD 10．已知是曲线上一动点，若满足的点恰有2个，则实数的取值可能是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】AB 【来源】广东省阳江市阳东正雅学校等多校2024-2025学年高二下学期3月联考数学试卷 【分析】作出图形，利用代数式的几何意义可求答案. 【详解】由曲线，得，则， 所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（轴及以上部分）. 设直线：，因为，所以， 所以表示点到直线的距离为，即只有2个点到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离，解得. 故选：AB 11．已知圆：与直线：，点在圆上，点在直线上，则（   ） A．直线与圆相离 B．过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】ACD 【来源】山西省名校2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试题 【分析】由圆心到直线的距离可判断A；最短的弦长为垂直与该直径的弦长可判断B；当的值最小时，则，可判断C；当时，切线长最小，可判断D． 【详解】 A：圆，， 圆心，半径，圆心到直线的距离为 ，直线与圆相离，故A正确； B：设过点的直线方程为， 所以该直线被圆截得最短的弦长为垂直与该直径的弦长， 和圆心的距离为， 最短弦长为，故B错误； C：当的值最小时，则， 的最小值是圆心到直线的距离减去半径，即，故C正确； D：从点向圆引切线，当时，切线长最小，最小值是，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，满足，则的最小值是 . 【答案】/ 【来源】广东省梅州市2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】由题意可将已知方程理解为以为圆心，半径为1的圆的轨迹方程，而将理解为原点与圆上的点的直线的斜率，结合图形，求出直线与圆相切时的斜率即可. 【详解】由可得：， 即点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆， 而可理解为原点与圆上的点的直线的斜率，如图. 由图知，当直线与圆相切时，取得最值， 易得此时直线的方程可设为， 由圆心到直线的距离为，解得或， 故的最小值是. 故答案为：. 13．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】 【来源】广东省韶关市曲江区曲江中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，再求出到圆上的点的距离最小值. 【详解】设点关于直线的对称点， 的中点为， 故，解得，即， 依题意即为点到军营最短的距离， 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为： 14．，，函数的最小值为 . 【答案】 【来源】山西大学附属中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】根据两点间的距离及点到直线的距离公式构造点到点，点到直线的距离，由图可得解. 【详解】设点，和直线， ，到的距离分别为，，易知， 如图，    显然. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点的直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】第二章 平面解析几何 【分析】（1）将直线方程整理为关于参数的表达式，利用其对任意恒成立的条件，即可证明直线过定点； （2）通过直线过定点，设点斜式方程来求两坐标轴上的截距，再求面积，利用基本不等式求最小值，然后求出对应三角形的周长即可. 【详解】（1）由可得，， 令所以直线过定点． （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为，直线与轴、轴正半轴的交点分别为， 令，得；令，得． 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小， ，， 的周长为． 所以当面积最小时，的周长为． 16．（15分）已知直线． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【来源】广东省清远市连州中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； （2）利用截距为0和不为0分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. 【详解】（1）由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为，即 综上所述：所求直线方程为或． 17．（15分）已知圆，圆． (1)若圆与圆外切，求实数的值； (2)设时，圆与圆相交于、两点，求． 【答案】(1)或 (2) 【来源】广东省肇庆市广东肇庆中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】（1）由两圆外切得，直接可得实数的值； （2）将两圆方程相减得相交弦AB的方程，再由圆的弦长公式即可求公共弦长. 【详解】（1）因圆，得圆心，半径. 又圆，得圆心，半径. 所以圆心距，， 因圆与圆外切，所以，得，解得或. 故实数的值为或. （2）当时，圆，此时两圆的圆心距，此时两圆相交. 将两圆方程相减得直线AB的方程为. 所以圆心到直线AB的距离，且半径， 由圆的弦长公式得. 故. 18．（17分）已知定点，点为圆上的动点，为的中点． (1)求的轨迹方程； (2)若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【来源】测试一 综合检测卷（期中卷） 【分析】（1）设点的坐标为，表达出点的坐标，将其代入中，整理可得的轨迹方程； （2）考虑直线的斜率不存在和斜率存在两种情况，由点到直线距离和弦长公式进行求解，得到答案. 【详解】（1）设点的坐标为，则点的坐标为， 点为圆上的动点， ，化简得， 故的轨迹方程为． （2）圆的圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 化简得， 因为，所以圆心到直线的距离， 由圆心到直线的距离公式得， 所以，即，平方得， 整理得，解得，故直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 19．（17分）已知圆，圆，且. (1)证明：与相切； (2)若与内切，求公切线的方程； (3)若，且，圆与内切于点，且与的面积之积为，若经过点，的直线分别交于点（异于点），交于点（异于点），证明：以为直径的圆过定点. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【来源】河南省驻马店市2025-2026学年高二上学期开学青桐鸣联考数学试题（北师大版） 【分析】（1）根据题意，求得与的圆心坐标和半径，求得，结合圆与圆的位置关系，即可得证； （2）联立方程组，求得直线的方程，结合直线与圆的位置关系，证得直线与相切，也与相切，即可得到圆与的公切线方程； （3）根据题意，得到过和的直线过点的直线，求得点，得到为直径的圆的方程，将其整理为关于的二次多项式，结合与无关，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）证明：由，可得圆心，半径， 圆，可得， 可得圆心，半径， 则， 当时，可得，，则，两圆相外切； 当时，可得，，则，两圆相内切； 当时，可得，，则，两圆相内切. 综上可得，当时，圆与相切. （2）解：联立方程组，可得， 设直线的方程为， 由点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 所以直线与相切，也与相切，所以为圆与的公切线方程， 即圆与的公切线方程. （3）证明：联立方程组，整理得，解得， 所以与的切点为，且圆与内切于点， 所以直线过点的直线，此时直线方程为， 当且时，可得，且和的面积之积为， 则，可得， 又由直线的倾斜角为，则有，可得， 则以为直径的圆的方程为：， 整理得， 即， 将其整理为关于的二次多项式，可得： ， 所以，即，解得或， 所以以为直径的圆恒过定点，. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $