高中数学单元测试——第2章平面解析几何初步（较难版01）

**基本信息** 高中数学第2章平面解析几何初步较难版单元卷，覆盖直线与圆核心知识，通过“将军饮马”文化情境与轮船触礁实际问题，梯度设计基础巩固到创新应用，适配单元复习提升数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|倾斜角、圆的方程等|基础概念辨析，如倾斜角计算| |多选题|3/18|直线与圆位置关系|结合图像分析，考查推理能力| |填空题|3/15|平行线距离、切线方程|融入“将军饮马”文化传承| |解答题|5/77|直线与圆方程、实际应用|分层设计，从方程求解到轮船触礁建模，综合考查运算与模型意识|

高中数学单元测试 —— 第2章 平面解析几何初步（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知直线过，两点，则直线的倾斜角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断直线的斜率，得到直线方程，再得出倾斜角. 【详解】由直线过，两点，可得不存在， 所以直线方程为，倾斜角为. 故选：C. 2．（本题5分）圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得答案. 【详解】圆的标准方程为，故该圆的圆心为，半径为. 故选：C. 3．（本题5分）已知直线，直线，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】C 【分析】由两直线平行可得出关于实数的等式，进而计算即可求解. 【详解】若，则，解得. 故选：C 4．（本题5分）坐标原点O到直线的距离为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由点到直线的距离公式可得. 故选:C. 5．（本题5分）设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】先求出两条直线的定点，再根据两点之间的距离公式求解即可. 【详解】直线过定点， 直线过定点， 则 故选：A 6．（本题5分）若直线与圆相交于两点，则（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】根据圆的弦长的求法求得正确答案. 【详解】由，得， 则圆的圆心到直线的距离为， 则． 故选：A 7．（本题5分）已知两直线与的交点在圆的内部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由两条直线求交点，再由交点在圆的内部可得. 【详解】联立，解得，即交点为. 再由交点在圆的内部，所以，解得. 故选：C. 8．（本题5分）过直线上一动点作圆的切线，切点为，则线段的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据题意可知圆心和半径，利用勾股定理结合圆的性质分析求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 可知直线与圆相离， 由题意可知：， 当且仅当与直线垂直时，等号成立， 所以线段的最小值为5. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）直线的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】将两直线的方程均化为斜截式，先固定，判断另外一条是否与之相符. 【详解】对于A，由可知，，此时与图象不符，故A错误； 对于B，由可知，，此时图象可能，故B正确； 对于C，由可知，，此时图象可能，故C正确； 对于D，由可知，，此时与图象不符，故D错误. 故选：BC. 10．（本题6分）已知直线，圆，则下列说法正确的有（    ） A．若，则l与圆C相切 B．若l与圆C相交，则 C．圆C可能关于l对称 D．若，则l被圆C截得的弦长为4 【答案】AD 【分析】利用点到直线距离公式计算判断直线与圆的位置关系判断A，B，结合圆心能否在直线上判断C，应用几何法求弦长判断D选项． 【详解】直线l过定点，圆C：，所以圆心为，半径为 对于A，若，则圆心到直线的距离，所以l与圆C相切，故A正确； 对于B，依题意，由圆心到直线的距离，解得或，故B错误； 对于C，将到代入l的方程，得不成立，故l不能经过圆心C，则圆C不可能关于l对称，故C 错误； 对于D，若，圆心到直线的距离为，则弦长为，故D正确． 故选：AD. 11．（本题6分）过点的直线l与圆交于A，B两点，O为坐标原点，M是线段的中点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据直线和圆的位置关系可知，当直线过圆心时弦长最大为直径，当直线l与直线垂直时弦长最小，即可知A正确，B错误，求出点的轨迹方程，利用定点到圆上点距离的最值问题即可得出CD正确. 【详解】对于A，当直线l经过圆心时，取得最大值，最大值为直径4，故A正确； 对于B，易知点在圆内，当直线l与直线垂直时，取得最小值， 此时，故B错误； 对于C，D，因为M是线段的中点，所以， 所以点M在以为直径的圆上，所以点M的轨迹方程为， 所以的最大值为， 的最小值为，故C，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（本题5分）已知直线与直线平行，则直线与间的距离为______． 【答案】 【分析】根据平移直线间的距离公式直接计算即可． 【详解】根据平移直线间的距离公式为． 故答案为：． 13．（本题5分）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为_____. 【答案】 【分析】将点坐标代入圆方程，验证点在圆上，由切线垂直于圆心和切点直线，求出直线斜率后写出直线方程. 【详解】，即，， ∵，即点在圆上， 设切线为，则，， ∴， ∴切线，即. 故答案为：. 14．（本题5分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【答案】 【分析】作出图示，先求得点关于直线的对称点为的坐标，在直线上取点，由对称性可得，则，根据两点间距离公式，即可得答案. 【详解】如图，设点关于直线的对称点为，与直线的交点为， 所以直线的斜率，则直线的方程为， 联立，解得，即， 所以点的坐标为， 在直线上取点，由对称性可得， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知直线过点且与直线：垂直． (1)求直线的方程； (2)若直线l经过，且过直线与的交点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知设出的方程为，代入点的坐标，求出的值，即可得出答案； （2）联立直线与的方程，求解方程组得出交点坐标，然后即可根据两点式方程，求出答案. 【详解】（1）由已知可设直线的方程为. 又直线过点，所以有，解得， 所以，直线的方程为. （2）联立直线与的方程， 可得， 所以，直线与的交点. 又直线l经过， 代入直线的两点式方程可得，， 整理可得. 16．（本题15分）写出下列圆的标准方程： (1)已知圆经过两点，圆心在轴上； (2)经过点，圆心为点． (3)经过三点的圆的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由斜率关系和中点坐标求出弦的垂直平分线方程，再解出圆心坐标，然后得到圆的标准方程； （2）由两点间距离得到半径，再写出圆的标准方程即可； （3）由圆的一般方程利用待定系数法求解可得. 【详解】（1）由题，所以其垂线斜率，且AB中点为，即， 所以AB的垂直平分线方程为，即， 由圆的垂径定理可知，与轴的交点即为圆心的坐标， 所以圆的半径为 ， 所以圆的标准方程为 （2）圆心为，且经过点， 故圆的半径为， 故圆的标准方程为． （3）设圆的方程为， 则由题意， ∴圆的方程为：，标准方程为. 17．（本题15分）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交， (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程. (3)求公共弦长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据圆的一般方程，求出圆心和半径，根据圆心距离和半径的关系，说明圆相交即可. （2）由（1）知两圆相交，则根据一般方程作差得公共弦方程，求出结果即可； （3）根据弦长公式，利用半径和弦心距，求出弦长即可. 【详解】（1）圆的标准方程为，所以圆心，半径； 圆的标准方程为，所以圆心，半径； 两圆圆心距，，； 所以圆与圆相交. （2）由（1）知，圆与圆相交， 所以将圆与圆的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程， 得，化简得. （3）圆心到的距离为，圆的半径， 此时弦长为，即公共弦长为. 18．（本题17分）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 【答案】(1) (2)不会有触礁危险，理由如下： 以小岛中心为原点，东西方向为轴，建立上图所示的直角坐标系， 为了运算的简便，取10千米为单位长度，则港口所在位置的坐标为， 轮船所在位置坐标为， 则受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为， 轮船航线所在直线的方程为即， 由，得， 由，可知方程组无解． 所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险. 【分析】（1）根据方位角的概念直接在图中标出即可. （2）建立平面直角坐标系，求出航线的直线方程及圆的方程，利用判别式法判断直线与圆的位置关系，即可判断. 【详解】（1） （2）略 19．（本题17分）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程； (3)已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)或. (3) 当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意， 所以斜率存在，设直线的斜率为，则，且 联立方程组， 整理得， 令，解得， 且，所以， 又由，解得，所以， 因为均在直线上，且 所以. 【分析】（1）设，根据，列出方程，即可求解； （2）设圆心到的距离，利用圆的弦长公式，求得，分析斜率不存在和斜率存在，两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，即可求解； （3）设直线的斜率为，则，联立方程组，结合和韦达定理，求得和，结合均在直线上，利用，即可求解. 【详解】（1）解：设，因为点且， 所以，即， 所以的轨迹方程为. （2）解：由（1）知，圆心为，半径为， 因为，设圆心到的距离，可得，解得， 当斜率不存在时，方程：，此时，满足题意； 当斜率存在时，设方程：，即， 则，解得，此时. 综上可得，直线的方程为或. （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第2章 平面解析几何初步（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知直线过，两点，则直线的倾斜角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（本题5分）已知直线，直线，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．8 4．（本题5分）坐标原点O到直线的距离为（   ） A． B． C． D．2 5．（本题5分）设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A． B．2 C．2 D．4 6．（本题5分）若直线与圆相交于两点，则（   ） A． B．4 C． D．2 7．（本题5分）已知两直线与的交点在圆的内部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）过直线上一动点作圆的切线，切点为，则线段的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 二、多选题 9．（本题6分）直线的图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知直线，圆，则下列说法正确的有（    ） A．若，则l与圆C相切 B．若l与圆C相交，则 C．圆C可能关于l对称 D．若，则l被圆C截得的弦长为4 11．（本题6分）过点的直线l与圆交于A，B两点，O为坐标原点，M是线段的中点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 12．（本题5分）已知直线与直线平行，则直线与间的距离为______． 13．（本题5分）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为_____. 14．（本题5分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 四、解答题 15．（本题13分）已知直线过点且与直线：垂直． (1)求直线的方程； (2)若直线l经过，且过直线与的交点，求直线l的方程． 16．（本题15分）写出下列圆的标准方程： (1)已知圆经过两点，圆心在轴上； (2)经过点，圆心为点． (3)经过三点的圆的方程． 17．（本题15分）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交， (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程. (3)求公共弦长. 18．（本题17分）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 19．（本题17分）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程； (3)已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $