高中数学单元测试——第1章数列（较难版01）

**基本信息** 高中数学数列单元较难版测试卷，涵盖单选、多选、填空、解答题，注重基础巩固与能力提升，通过数学文化、新定义问题考查数学抽象、逻辑推理与创新意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等差数列基本量、等比数列性质、数列项数判断|题6结合毕达哥拉斯学派图形数，体现文化传承| |多选题|3/18|数列概念、等差数列前n项和、新定义“等积数列”|题11以“等积数列”考查推理能力，培养数学思维| |填空题|3/15|等比数列单调性、数列递推与求和|题14综合递推公式与等比数列，提升应用能力| |解答题|5/77|等差等比综合、新定义“Ⅱ(k)数列”|题19通过新定义考查逻辑推理，契合高考创新趋势|

高中数学单元测试 —— 第1章 数列（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在等差数列中，已知公差，则（    ） A．16 B．14 C． D． 【答案】A 【分析】借助等差数列性质计算即可得. 【详解】，解得. 故选：A. 2．（本题5分）三个数成等比数列，的值为（   ） A．2 B．8 C．16 D． 【答案】C 【分析】利用等比中项求解即可. 【详解】因为三个数成等比数列， 所以，解得， 故选：C 3．（本题5分）是数列的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【答案】A 【分析】利用观察法分析数列的规律即可. 【详解】观察条件式可知原数列为：，而，即为第6项， 故选：A 4．（本题5分）等差数列中，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质求解. 【详解】由等差数列的性质可得， 所以. 故选：C. 5．（本题5分）已知为正项等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C．15 D．63 【答案】D 【分析】由等比数列前项和公式结合条件即可求得公比，进而求得的值. 【详解】因为，且， 所以有，即， 则有，所以公比， 所以， 故选：D． 6．（本题5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为正方形数，第三行的，，，称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第项分别为（   ）      A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】设正方形数构成的数列为，五边形数构成的数列为，根据这两个数列前四项的值，可归纳得出、的值. 【详解】设正方形数构成的数列为，五边形数构成的数列为， 则，，，，由此得出， ，，，， 由此得出. 故选：B. 7．（本题5分）已知数列的前项和为，，若恒成立，则整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据与的关系及等差数列的定义可得，是以为首项，2为公差的等差数列，然后利用等差数列求和公式求得，然后分离参数得，根据恒成立求解即可. 【详解】由①，得②， ①-②得， 整理得，所以是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以，整理可得， 又因为，所以，即整数的最大值是5. 故选：B. 8．（本题5分）定义在上的奇函数单调递减，数列满足，若，则（   ） A．0 B．39 C．3 D．12 【答案】D 【分析】根据奇函数和单调性得到，进而求解. 【详解】因为， 所以， 又是奇函数，所以， 又因为在上单调递减，所以， 即，又， 所以. 二、多选题 9．（本题6分）(多选题)下列说法中正确的是（     ） A．数列a，a，a，…是无穷数列 B．数列就是定义在正整数集或它的有限子集上的函数值 C．数列不一定是递减数列 D．已知是数列，则也是一个数列 【答案】ACD 【分析】由数列的概念以及相关性质即可逐一判断每个选项求解. 【详解】数列a，a，a，…是无数个排列而成，所以它是无穷数列，故A正确； 若是数列，即可排列成， 则将后项减前项依次排列得，所以也是一个数列，故D正确； 因为数列是定义在正整数集上或它的有限子集上的函数，当自变量从小到大取值时，对应的是一列函数值，故B错误； 对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列． 故选：ACD. 10．（本题6分）已知等差数列的前n项和为，满足，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．记，的前n项和为，则 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的性质可得，从而判断A；求出等差数列的，，即可得通项公式和前项和，判断BC；根据并项法求，判断D. 【详解】根据题意，根据等差数列的性质可得．所以．故A正确； 因为．所以，可得，即， 结合，计算可得，， 所以，故B错误； ，故C正确； 因为，所以， 所以 ，故D正确. 故选：ACD． 11．（本题6分）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据等积数列的定义求得通项公式，即可判断可选项. 【详解】对于A，由题可知，对任意的，， 则对任意的，，所以，，故，A对； 对于B，，所以，由A可知，，所以，B对； 对于C，，C错； 对于D，因为，所以，D对. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）等比数列为递减数列，若，，则_______ 【答案】 【分析】根据等比数列基本量的计算求出，结合等比数列的通项公式计算即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，解得或， 又，所以， 又因为该等比数列为递减数列，所以， 所以. 故答案为： 13．（本题5分）已知数列满足，记数列的前n项和为，则_______. 【答案】15 【分析】分别令计算即可. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 所以. 故答案为：15 14．（本题5分）已知数列满足，，且.等比数列的通项公式为.若数列满足，则数列的前项和为__________. 【答案】 【分析】由变形可得，利用等差数列的定义求得通项，再由裂项求和，分组求和求得答案. 【详解】依题意，，故，得， 所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列； 故，故， 令， 故数列的前项和为， 而数列的前项和为， 由分组求和法可知，数列的前项和为. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据给定条件，列出关于公差、公比的方程组，求解即可得通项公式. （2）利用分组求和法，结合等差、等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列的公比为q， 由，得，而，解得，， 所以， （2）由（1）得，，设数列的前n项和为， 则 16．（本题15分）已知数列中，，为数列的前n项和，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列总满足，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用,求得; (2)利用裂项相消法，求得. 【详解】（1）当时，， 所以， 当时，， 由，当时，，符合 综上所述，； （2）， 则； 故. 17．（本题15分）若数列的首项且满足． (1)求证：为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列，求数列的前n项和． 【答案】(1) 因为，所以． 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列． (2) (3) 【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可; （2）由（1）的通项公式求出的通项公式； （3）利用错位相减法求出数列的前n项和. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得，故． （3）由（2）可知． 从而 ． 令，① 则，② 由①－②得， 所以，而， 故． 18．（本题17分）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3) 因为，所以， 又当时，，即，所以， 所以， 所以 ，得证. 【分析】（1）根据与的关系求解； （2）利用错位相减法求解； （3）利用放缩求和证明. 【详解】（1）当时，； 当时，； 又， 所以 （2）因为，，所以. 所以. 所以①， 所以②， 所以①②得 ， 所以 （3）略 19．（本题17分）设数列的前n项和为，若，且对任意的，均有（k是常数且）成立，则称为“Ⅱ（k）数列”． (1)设为“Ⅱ（1）数列”． ①求的通项公式； ②若，数列的前n项和为，求． (2)是否存在既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ数列”？若存在，求出符合条件的的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在，的通项公式为，且k为奇数 【分析】（1）①应用求出通项公式；②应用分组求和法求出即可； （2）应用为“Ⅱ（k）数列”且为“Ⅱ数列”的定义计算求解得出及为奇数. 【详解】（1）①解：因为为“Ⅱ（1）数列”，所以． 因为，所以． 当时，，得． 当时，，则，即， 经检验，当时，满足， 所以对任意的恒成立，是首项为2，公比为的等比数列， 所以． ②解：．     （2）（2）假设存在这样的数列， 由是“Ⅱ（k）数列”可得． 由是“Ⅱ数列”可得， 所以，， 即，所以． 由，令，得，令，得． 因为，所以，解得， 所以为2，，2，，2，，…， 的通项公式为． 当n为偶数时，，解得，k为奇数． 当n为奇数时，，解得，k为奇数． 综上，存在既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ数列”， 此时的通项公式为，且k为奇数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第1章 数列（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在等差数列中，已知公差，则（    ） A．16 B．14 C． D． 2．（本题5分）三个数成等比数列，的值为（   ） A．2 B．8 C．16 D． 3．（本题5分）是数列的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 4．（本题5分）等差数列中，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（本题5分）已知为正项等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C．15 D．63 6．（本题5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为正方形数，第三行的，，，称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第项分别为（   ）      A．， B．， C．， D．， 7．（本题5分）已知数列的前项和为，，若恒成立，则整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（本题5分）定义在上的奇函数单调递减，数列满足，若，则（   ） A．0 B．39 C．3 D．12 二、多选题 9．（本题6分）(多选题)下列说法中正确的是（     ） A．数列a，a，a，…是无穷数列 B．数列就是定义在正整数集或它的有限子集上的函数值 C．数列不一定是递减数列 D．已知是数列，则也是一个数列 10．（本题6分）已知等差数列的前n项和为，满足，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．记，的前n项和为，则 11．（本题6分）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）等比数列为递减数列，若，，则_______ 13．（本题5分）已知数列满足，记数列的前n项和为，则_______. 14．（本题5分）已知数列满足，，且.等比数列的通项公式为.若数列满足，则数列的前项和为__________. 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 16．（本题15分）已知数列中，，为数列的前n项和，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列总满足，求数列的前n项和． 17．（本题15分）若数列的首项且满足． (1)求证：为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列，求数列的前n项和． 18．（本题17分）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 19．（本题17分）设数列的前n项和为，若，且对任意的，均有（k是常数且）成立，则称为“Ⅱ（k）数列”． (1)设为“Ⅱ（1）数列”． ①求的通项公式； ②若，数列的前n项和为，求． (2)是否存在既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ数列”？若存在，求出符合条件的的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $