第1章 数列 单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

湘教版高中数学选择性必修第一册第一章 《数列》单元测试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，且，则（   ） A．60 B．62 C．64 D．66 3．等差数列的公差为2，且，则（    ） A．17 B．19 C．21 D．23 4．已知正项等差数列的前项和为，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D．8 5．已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 6．等比数列的各项均为正数，且，．设为数列的前项和，则（    ） A．200 B． C． D． 7．记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C．8 D．16 8．已知等比数列为递增数列，，记、分别为数列、的前n项和，若，则（  ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．记为数列的前项和，已知，，则（    ） A． B．是等差数列 C．是等差数列 D． 10．以下命题正确的有（    ） A．若等差数列满足，，则 B．若数列满足，，则 C．已知等差数列的前项和为，若，，则使得取得最大值的正整数的值为8 D．若数列为等比数列，为其前项和，，，则49 11．已知等差数列的公差为，其前项和为，若，下列论断中正确的有（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．当或11时，取得最大值 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．在数列中，，若数列是公差为3的等差数列，则 ． 13．已知等比数列满足，则数列的通项公式 . 14．已知数列的前n项和，则的通项公式为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）在数列中，令为其前项和，若，. (1)证明：数列为等差数列，并求其通项公式； (2)求数列的前项和. 16．（15分）已知为正项等差数列，，为的前项和. (1)求数列的通项公式： (2)求数列的前项和; (3)设数列的前项和为，证明：. 17．（15分）已知等差数列的通项公式，数列满足． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)已知数列求数列的前项和． 18．（17分）在等差数列中，已知，. (1)求通项及前项和； (2)求数列的前n项和. 19．（17分）已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为. （i）求； （ii）若，，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学选择性必修第一册第一章 《数列》单元测试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由求出，再对自小到大依次赋值，直至求得. 【详解】由可得， 又，可得，，， ，，，.故选：A. 2．已知数列满足，且，则（   ） A．60 B．62 C．64 D．66 【答案】A 【分析】根据递推关系得到，再求出，结合等差数列的通项公式求出即可. 【详解】因为，所以， 两式作差得， 故数列中的偶数项构成的新数列是以为首项，为公差的等差数列， 又，，得，故为偶数时.故选：A 3．等差数列的公差为2，且，则（    ） A．17 B．19 C．21 D．23 【答案】C 【分析】应用等差数列的性质及已知求值即可. 【详解】由等差数列知.故选：C 4．已知正项等差数列的前项和为，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用等差数列求和公式及等差数列通项的下标和性质可得，又，进而利用“1”的代换技巧求解最值即可. 【详解】由等差数列前项和公式可得，所以， 所以，又，则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故选：C 5．已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，令，数列是以6为首项，2为公比的等比数列，所以，即可求解． 【详解】根据题意，，设， ∴化简可得对照可得，， 令，，又， ∴数列是以6为首项，2为公比的等比数列，所以， ，令，．故选：D 6．等比数列的各项均为正数，且，．设为数列的前项和，则（    ） A．200 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知可得、，进而写出数列通项公式，则数列是首项、公差为1的等差数列，应用等差数列前n项和求，最后用裂项相消法求. 【详解】设等比数列的公比为，则，则，所以，所以． 因为，所以，所以， 所以，所以，， 即数列是首项、公差均为1的等差数列， 所以，所以， 因此，所以.故选：B 7．记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C．8 D．16 【答案】B 【分析】由化简得到公比，则可求. 【详解】由，则，即，即公比，又，所以.故选：B 8．已知等比数列为递增数列，，记、分别为数列、的前n项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等比数列性质求出，再由求出公比并判断，进而求出前n项和. 【详解】由，得，解得，设等比数列的公比为，则， 由，得，整理得， 解得或，由数列为递增数列，得，所以.故选：D 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．记为数列的前项和，已知，，则（    ） A． B．是等差数列 C．是等差数列 D． 【答案】BCD 【分析】令结合已知求得判断A；对递推式变形利用等差数列定义判断B；由和的关系及等差数列的定义即可判断C；利用裂项相消法求和即可判断D. 【详解】对于A，令，可得，故，故A错误； 对于B，题干中式子两边同时除以，得， 因此是以2为首项，1为公差的等差数列，故B正确； 对于C，易得，故， 当时，， 当时也符合，故，则，为常数，则是等差数列，故C正确； 对于D，易得，则，故D正确.故选：BCD 10．以下命题正确的有（    ） A．若等差数列满足，，则 B．若数列满足，，则 C．已知等差数列的前项和为，若，，则使得取得最大值的正整数的值为8 D．若数列为等比数列，为其前项和，，，则49 【答案】BCD 【分析】选项A，先由等差数列首项与第四项求公差得通项，判断各项正负后计算绝对值的和，进而判断对错；选项B，根据递推公式求出前几项确定数列周期，利用周期计算的值；选项C，利用等差数列前项和公式结合、，判断出、，确定最大时的值；选项D，利用等比数列前项和的性质，列方程求解. 【详解】对于A：因为为等差数列，且，， 所以，，则.则，故A错误； 对于B，因为，，则，，，， 所以数列是周期为的周期数列，即，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以，即， ，即，故， 所以是的最大项，即使得取得最大值的正整数的值为8，故C正确. D选项，成等比数列，所以，解得，D正确；故选：BCD 11．已知等差数列的公差为，其前项和为，若，下列论断中正确的有（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．当或11时，取得最大值 【答案】AC 【分析】根据题意结合等差数列性质可得.对于A：分析可得，即可判断；对于B：分析可知，即可判断；对于C：整理可得，，即可判断；对于D：举反例说明即可. 【详解】因为，则，即. 对于选项A：因为，故A正确；对于选项B：若，可知数列为递增数列，则， 所以，故B错误；对于选项C：因为，， 若，即，则，即，故C正确； 对于选项D：例如，则，因为的图象开口向上，对称轴为， 结合对称性可知当或11时，取得最小值，故D错误；故选：AC. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．在数列中，，若数列是公差为3的等差数列，则 ． 【答案】23 【分析】根据题意结合等差数列定义可得，再结合等差数列通项公式运算求解. 【详解】因为数列是公差为3的等差数列，则，即， 可知，，，是首项为2，公差为3的等差数列，在这个数列中，是第8项，所以． 故答案为：23. 13．已知等比数列满足，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】根据等比数列通项公式即可得到方程组，解出即可. 【详解】由题意得，结合，解得，则.故答案为：. 14．已知数列的前n项和，则的通项公式为 ． 【答案】 【分析】降次作差再验证即可. 【详解】， 当时，，由于也适合此等式，∴． 故答案为：. 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）在数列中，令为其前项和，若，. (1)证明：数列为等差数列，并求其通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据题设，化简得到，，可得数列是以1为首项，为公差的等差数列，进而得到，再根据与的关系求出，再根据等差数列的定义求证即可； （2）利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）由，两边同时除以得，，， 因为，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 则，即， 当时，， 显然满足上式，则，而， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列. （2）由， 则数列的前项和为. 16．（15分）已知为正项等差数列，，为的前项和. (1)求数列的通项公式： (2)求数列的前项和; (3)设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）根据条件求出，得到，所以. （2）先求出，代入得到，利用错位相减法求得； （3）化简得到，利用裂项相消法求出，则 【详解】（1）利用等差数列性质：，结合，所以 是方程 的根， 因为为正项等差数列，所以公差，，所以，由 ，所以。 所以 （2）由（1）知等差数列前n项和： ，所以，利用错位相减法求前项和， ， 两式相减得到，所以 （3）因为，所以 裂项化简通项 所以，因为，所以，得证。 17．（15分）已知等差数列的通项公式，数列满足． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)已知数列求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）结合已知得，，再根据等比数列的定义与通项公式求解即可； （2）由题知，再根据错位相减法求解即可. 【详解】（1）因为数列满足，即 所以，又，，故,， 所以，，所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以，即，所以的通项公式为. （2）因为等差数列的通项公式，，可得， 所以  ①，   ②， 得： ，所以. 18．（17分）在等差数列中，已知，. (1)求通项及前项和； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式列方程求出和，即可得通项和前项和； （2）利用绝对值的性质，分和两类情况求和即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得； ，则， ； （2）数列的前n项和，由（1）知，当时，，所以， 当时， ； 综上， 19．（17分）已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为. （i）求； （ii）若，，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）对左右同除后，结合等差数列定义即可得证，再利用等差数列性质计算即可得的通项公式； （2）（i）借助错位相减法计算即可得；（ii）由题意可得，构造数列，借助作商法可得数列单调性，即可求出数列的最大值，即可得解. 【详解】（1）由，则，即有，又， 故数列为以为首项，为公差的等差数列， 则，故； （2）（i），则， ，则 ，则； （ii），即，整理得，令， 令，解得，又，故， 则数列在时，单调递增，在时，单调递减， 又，，故的最大值为，故. 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学选择性必修第一册第一章 《数列》单元测试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知数列a}满足：4=2，a.=a-0meN,则4=（) 01-1 B.8 9 C. D. 9 10 【答案】A 【分】由风一2，号求出风。，再对以自小到大依次照值，直至求得4 【详解】由a。= 011可得a1-2-1 a2-1 a 42,4-2-1=4 又4=2，可得a=2-1=3 63,4=2-1=5 94 46,4=21-8 a5=2-1=. a=2-1=6 三，=2一一.故先A 2.己知数列{a}满足a=5,且a.+a1=61+5,则ao=() A.60 B.62 C.64 D.66 【答案】A 【分析】根据递推关系得到a+2-a。=6,再求出a,结合等差数列的通项公式求出即可. 【详解】因为an+a1=61+5,所以aH1+a+2=6n+11,两式作差得a+2-an=6, 故数列{a}中的偶数项构成的新数列是以4，为首项，6为公差的等差数列， 又4+a2=11,4=5,得a2=6,故n为偶数时42o=60.故选：A 3.等差数列{a}的公差为2，且4+4+4，=15，则a2+a。+4。=() A.17 B.19 C.21 D.23 【答案】C 【分析】应用等差数列的性质及已知求值即可. 【详解】由等差数列知4+a,+a。=a1+2+a,+2+a,+2=15+6=21.故选：C 14 4.己知正项等差数列{a}的前n项和为Sn,S,=9,则一+一的最小值为() aa 9 9 A.9 B. C. 2 D.8 【答案】c 【分析】利用等差数列求和公式及等差数列通项的下标和性质可得4+4，=2，又4,4，>0，进而利用1”的代换技巧求 解最值即可， 【详解】由等差数列前n项和公式可得S=9(a+a=9,所以4+4，=2， 2 所aaaa又440，时-日+aa)-号+经+后是 .4= as a 2 as a 2 2 当且仅当 么40，即434时等号成立，故。+的最小值为，故选可 4 aa 3 5.已知数列{a}满足ah=2a。+3n(n∈N),且a=0,则a。=() A.2048 B.2069 C.3024 D.3039 【答案】D 【分析】由题意得a1+3(n+1)+3=2(a,+3n+3),令b,=an+3n+3,数列b}是以6为首项，2为公比的等比数列，所 以b,=a.+31+3=6×21=3×2”,即可求解. 【详解】根据题意，：a=2an+3n,设a+1+k(n+1)+b=2(a.+a1+b), 「k=3 ∴.化简可得a1=2an+1+b-k,∴.对照可得 6-k=0→k=36=3,a+3n+1)+3=2a.+3n+3), 令bn=an+3+3, :bu=2,又b=a+3+3=6, b. ∴数列{b}是以6为首项，2为公比的等比数列，所以b,=a+31+3=6×21=3×2”, ∴.a=3.2”-3n-3,令n=10,.4o=3039.故选：D 6.等比数列{a}的各项均为正数，且2a+3a2=1,G=9a2a,.设b.=l0g34+l0g342++l0g3a,Sn为数列 的前n 项和，则S0=（) 200 A.-200 B. D 101 【答案】B 【分析】根据已知可得g=34弓进而写出数列通项公式，则数列18：a}是首项、公差为1的等差数列，应用等 差数列前n项和求bn,最后用裂项相消法求S 【详解1设等比数列a,}的公比为9，则q>0,则G=a,a,=9ga矿=9Gg,所以对=1，所以g=} 为24+3a=3a=1,所以4所以a,=4g=子×3 1 所以1og,a.=1og,3=-n,所以1og,a1-log,a.=-1+)+n=-1,1og:4=-1, 即数列{log34}是首项、公差均为-1的等差数列， 22,2 以6=10g,4+10g:4,++1080=-1-2-3--1=-2，所g6 2 n+1)n'n+1 因此8=-2+22+名2+22，-2=-2m 22+3-n+n+in+1 n+1'所以S= 200故选：B 101 7.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若3S3=S2+2S4,4=2,则a=() 1 A.16 B. 1 C.8 D.16 8 【答案】B 【分析】由38，=5，+2S,化简得到公比g=乞则a=44可求 【详解1由3双-S+28,则28，-28=号-8，即2a=a,即公比g=分又4=2，所以a=49=2分8故选：B 11 8.已知等比数列{a,}为递增数列，b,=”,记S.、T分别为数列{a,}、,}的前n项和，若a,=aa,S,+工，=12，则S.= a () A.4-1-1 B. 1(41- C.4-2 - 【答案】D 【分析】利用等比数列性质求出a2,再由S?+T=12求出公比9并判断，进而求出前项和S. 1 【详解】由42=44，得a2=G,解得凸2=1，设等比数列{a}的公比为q,则4=二，4=9， 由3+7，=12，得(2+1+0+g+2+3=12,整理得2g2-9g+4=0, 解得g号或g=4,由数列红}为递增数列，得g-4a子所以g-4 1故选 1-4 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选 对的得6分，有选错的得0分) 9.记Sn为数列{a}的前n项和，已知nSnH=(n+l)Sn+n(n+1)，S2=6,则() A.a=1 B. 〔三是等差数列 n 1,1 1 是等差数列 D. 十一 十十 n SS S.n+1 【答案】BCD 【分析】令n=1结合已知求得4=2判断A;对递推式变形利用等差数列定义判断B:由Sn和a的关系及等差数列的定 义即可判断C:利用裂项相消法求和即可判断D, 【详解】对于A,令n=1,可得S2=2S+2=6,故4=S=2,故A错误： 对于B,题干中式子两边同时除以(+1)，得一8=1， n+l n 因此 是以2为首项，1为公差的等差数列，故B正确： n 对于C,易得S=2+0m-)×1=n+1,故S=n+1), 当n≥2时，a,=Sn-S-1=n(n+l)-(n-1)n=n2+n-n2+n=2, 当n=1时也符合，故a=2,则=2，为常数，则品是等差数列，故C正确： n 1111 对于D,易得sn+Dnn+1则台3片E月 1-1-n 1n+1n+1,故D正确故选：BCD 10.以下命题正确的有() A.若等差数列{a}满足4=8,44=-1，则4+a2+…+4=32 1 .若数列}满足4=2，a1=1。，则4o C.己知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S,>0,S6<0,则使得Sn取得最大值的正整数n的值为8 D.若数列{a}为等比数列，Sn为其前n项和，S,=7,S4=21,则S21=49 【答案】BCD 【分析】选项A,先由等差数列首项与第四项求公差得通项，判断各项正负后计算绝对值的和，进而判断对错；选项B, 根据递推公式求出前几项确定数列周期，利用周期计算4o2s的值：选项C,利用等差数列前n项和公式结合S,>0、S6<0, 判断出a>0、a,<0,确定Sn最大时的值；选项D,利用等比数列前n项和的性质，列方程求解S2: 【详解】对于A:因为{a}为等差数列，且a=8,a,=-1, 所以3d=-9,d=-3,则a.=8-3(n-1)=-3n+11.则|4+|4++|4|=8+5+2+1+4+7+10+13=50，故A错误： 1 团于B,因为42,0马a则凸a,o60a字 所以数列a}是周期为3的周明数列，即a=&,所以as=马分故B正确： 对于C,因为S>0,S。<0,所以S.=15(a+-15a>0,即4>0， 2 =16a+a）_16a+a）0,即4+a,<0,故4<0， 2 所以S是Sn的最大项，即使得Sn取得最大值的正整数的值为8，故C正确. D选项，S,S4-S,S-S4成等比数列，所以14=7(S21-21),解得S21=49,D正确：故选：BCD 11.已知等差数列{a}的公差为d,其前n项和为Sn,若S,=S4,下列论断中正确的有() A.S21=0 B.若d>0,则a。+41>0 C.若d<0,则a。>4 D.当n=10或11时，S.取得最大值 【答案】AC 【分析】根据题意结合等差数列性质可得41=0.对于A:分析可得S21=21a1,即可判断：对于B:分析可知a。<4,=0, 即可判断；对于C:整理可得a=5d,4=2d,即可判断：对于D:举反例说明即可. 【详解】因为S,=S4,则a+a4,+…+44=7a1=0,即4，=0 对于选项A:因为S21=21a1=0,故A正确；对于选项B:若d>0,可知数列{a}为递增数列，则4。<4，=0， 所以a+41=a<0,故B错误：对于选项C:因为a=l4,-5d=5d,4=4+2d=2d, 若d<0,即ld>0,则5d>2d,即la,>4,故C正确： 对于选项D:例如4.=21-22，则S=n2-2n,因为y=x2-21x的图象开口向上，对称轴为x=10.5, 结合对称性可知当n=10或11时，Sn取得最小值，故D错误：故选：AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.在数列{a}中，4=2，若数列{a.+a1}是公差为3的等差数列，则4= 【答案】23 【分析】根据题意结合等差数列定义可得a+2-a。=3，再结合等差数列通项公式运算求解. 【详解】因为数列{a+a+1}是公差为3的等差数列，则(a+2+a+1)-(a+1+a)=3,即a+2-a.=3, 可知a,43,4,是首项为2，公差为3的等差数列，在这个数列中，45是第8项，所以4=2+7×3=23. 故答案为：23 13.己知等比数列{a}满足42+4=20,44，=64，q>1,则数列{a}的通项公式an=」 【答案】4" 【分析】根据等比数列通项公式即可得到方程组，解出即可。 【详解】由题意得 G订-61，结合g>1,解得日则a1x4-4放容案为：4 a9+a9=20 4=1 14.已知数列{a}的前n项和S=2m-3,则{a}的通项公式为 【答案】a.=4n-5 【分析】降次作差再验证4=-1即可. 【详解】4=S=2-3=-1, 当n≥2时，a,=S,-S1=(2n2-3n)-2(-1-3(n-1)=4n-5,由于a也适合此等式，∴.a,=4n-5. 故答案为：an=4n-5. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分)在数列{an}中，令Sn为其前n项和，若a=1,(n-1)Sn-Sn1= 3n-D(0m≥2). 2 (1)证明：数列{a}为等差数列，并求其通项公式： (2)求数列 1_的前n项和 a,a2) 6n+5 【答案】（①）证明见解析，a.=3n-2 (2)2463n+13n+4) 【分折10)根据设，化简得到号-兰弓2，可狗数列 是以1为首项， n 为公差的等差数列，进而得到 S=3心，”，再根据3，与a,的关系求出a,=3-2,再根据等差数列的定义求证即可； 2 (2)利用裂项相消法求解即可。 详解】D由S,=心3-，两边同时除以m0-)得，号号=多≥2 2 因为各-马-1所以装列丹是以1为京现含为公发的等数， n 则号-1-9，即s” 2 当n≥2时，a=3-81=3-n3m-1少-m-10.-2, 2 2 显然a=1满足上式，则a=3n-2,而a+1-an=3(n+1)-2-(3n-2)=3, 所以数列{a}是以1为首项，3为公差的等差数列. 1 1 1 (2)由 1(11 .a+2(3n-2[3(n+2)-2](3n-2)(3n+4)63-23n+4 的m项为-6片品女：4，a 62+5 则数列 6 16.(15分)己知{an}为正项等差数列，4+a=30,44=29,Sn为{a}的前n项和. (1)求数列{a}的通项公式： (2)求数列 3"S 的前n项和T.; 4m(+1) 的前n项和为M,证明：M,<n+2 1 (3)设数列 S.Sa 【答案】(1)4n-3 (2)(n-1)31+3 (3)证明见解析. 【分析】(1)根据条件求出a4=1,4=29,得到d=4,所以a,=4n-3 (2)先求出S=n(2m-1),代入得到3S=(2-1)-3°，利用错位相减法求得工，=(0-)3+3： 1 11 (3)化简得 4r+D-1+2 1 S.Sma 2n-12+1 利用裂项相消法求出M,=n+2221+,则M,<n+2 【详解】(1)利用等差数列性质：4+4，=4+4=30，结合44=29，所以4,4是方程x2-30x+29=0的根， 因为{a}为正项等差数列，所以公差d>0,4>4,所以4=1,4=29，由4=4+7d=29,所以d=4。 所以an=1+4(n-1)=4n-3 (2)由1)知等差数列前项和：S.-n1+h-3》=n(21-),所以3S=(21-1少3，利用错位相减法求前n项和工， 2 I.=13+3.32+5.3+.+2n-1）3",3T=132+33+…+(2n-3)·3+2n-)·31 -2Tn=3+2(32+33+.…+3"2n-1)34 两式相减得到=3+2 91-3）r134 1-3 ,所以Tn=(n-1)3”+1+3 =3+3+1-9-(2-1）3H =(2-2n）3+1-6 （3》因为S,=(2m-1),所以4+).。4m0m+D 4n2 SSa+1n(21-1)01+1)(21+1)42-1 通”品+】 这m0封G动+a时0副 1, 所以=n+1-,1】 1 22n+1 ，因为2(2n+) 0，所以M<n+分得证。 1 1 =n+22(2n+1) 17.（15分)己知等差数列{am}的通项公式4.=2n-1,数列b}满足b=4,bH=3b.-a.· (1)证明：数列色。-n}是等比数列，并求{b}的通项公式： (2)已知数列{Cn},Cn=a.(b-n)求数列{cn}的前n项和Sn. 【答案】(1)证明见解析；b,=3”+n (2)Sn=(-1)×3"+3 【分析】(1)结合已知得b1-(n+1)=3(b.-n),b-1=3,再根据等比数列的定义与通项公式求解即可： (2)由题知Cm=(21-1)×3”,再根据错位相减法求解即可. 【详解】(1)因为数列b}满足b=4,bH=3b.-a.,即bn+1=3b。-21+1 所以b1-(n+1)=3b,-2n+1-(n+1)=3b.-3n=3(b.-n),又b=4,b-1=3≠0，故b,-n≠0，neN, 所以+=3，mN,所以数列径-m是等比数列，首项为6-1=3，公比为q=3, b-n 所以b.-n=3”，即b.=3”+n,所以b}的通项公式为b.=3”+n. (2)因为等差数列{a}的通项公式a.=21-1,b,=3”+n,可得cn=a(b,-n)=(2n-1)×3”, 所以Sn=1×3+3×32+5x33++(2n-1)×3”①， 3Sn=1x32+3×33++(2n-3)×3”+(21-1)×31②， ①-②得：-2S,=3+2×(32+3++3）(21-1)×31-3+2×2 2x3(g--（2n-0x3n=3+(6-y-(2m-0x3 3-1 =-6+(2-2n)×31,所以S=(n-1)×30+3 15 10 18.(17分)在等差数列{a}中，已知4=7，a。=-7 (I)求通项{a}及前n项和Sn: (2)求数列{}a}的前n项和T. 15 【路案1a-0+9成-是 5 75 m2+ n,n≤8 14 14 (2)Tn= 75 n+40,n≥9 14 14 【分析】(1)利用等差数列的通项公式列方程求出a和d,即可得通项和前n项和Sa: (2)利用绝对值的性质，分n≤8和n≥9两类情况求和即得. 【详解】(1)设等差数列{a,}的公差为d,则a。-a=5d=- 5,解得d= .4=a-4d=15 4× 引5，则a=5-(》+9 7 n5- 5,40 n+ n(a+a) 7 5 ..S= 1 5 h+ 2 1414 5 75 (2)数列，}的前n项和买，=a+h++,由1)知，当n≤8时，a≥0，所以，T,=4+ 当n≥9时，Tn=(a+a2++4)-(a+4o++a)=S-(Sn-S8) 5t+ 75 141 ,n≤8 综上，T= 14 5- 5 n+40,n≥9 14 14 19.(17分)己知数列{a}满足a=6,41=2a+2+2(n∈N). 证明：数列会为等若数列，并求数列a的通项公式： (2)设b.= (n+1)a. ,记数列{b}的前n项和为S 2+1 (i)求Sn; (ii)若∀neN； (上动小以子”<0.求m的以值范国 【答案】(1)证明见解析，a.=(2n+1)2”:(2)(i)Sn=n:2:(i)m> 40 81 【分析】(1)对a+1=2a,+2+2左右同除21后，结合等差数列定义即可得证，再利用等差数列性质计算即可得{a}的通 项公式： (2)(i)借助错位相减法计算即可得；()由题意可得> 1) 2刊 ”-)号，构造数列c,=（ ,借助作商法可 得数列{Cn}单调性，即可求出数列{c}的最大值，即可得解 详解少由Q2a士2”，则+22，即有船2，号9净 为以3为首项，2为公差的等差数列， 故数列2) 则经=3+20u-)=2m1,放a=(m+)-2； (2)(i)b.= +1a_+12+1)2+1)2,则S=22+32+4-2++m+1)2, 2n+1 2n+1 2Sn=222+3.2+4.24++(n+12mH,则Sn-2Sn=-Sn=4+(22+2++2）-(n+1)2 4(1-2-） =4+ 1-2 (0H1}2+1=4+201-4-041)21=-n21，则S。=n-21: (i) n+1x2 23 4n+24,解得n≤ 6k3 又mEN,故ms2. - 2 则数列{Cn}在n≤2时，单调递增，在n≥3时，单调递减， 又得)子务专c(-9故女的量大值为6恕故m心贺湘教版高中数学选择性必修第一册第一章 《数列》单元测试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知数列扣}满足：4=2，a=a-meN,则a,=（) a-1 A. B.8 C.1 0 9 9 2.已知数列{an}满足a=5,且a.+4+1=6n+5,则a2o=() A.60 B.62 C.64 D.66 3.等差数列{a}的公差为2，且4+a4+4,=15,则42+a6+4o=() A.17 B.19 C.21 D.23 1 4 4.己知正项等差数列{a}的前n项和为Sn,S,=9,则一+一的最小值为() aa A.9 9 B.4 c.2 D.8 5.已知数列{a}满足a1=2a+3nn∈N),且4=0，则4。=() A.2048 B.2069 C.3024 D.3039 6.等比数列{a}的各项均为正数，且2a+3a2=1,aG=9a,4,设bn=log341+l0g4++log3a,Sn为数列 1 的前n b 项和，则0=() A.-200 B.、200 101 D.101 7.记Sn为等比数列{a}的前n项和，若3S3=S2+2S4,4=2,则a=() A.16 B. C.8 D.16 8.已知等比数列a为递增数列，b,二，记S、7分别为数列Q、也的前n项和，若a=a4,S,+T=12,则S,=) A.4--1 B.4 C.4-2 D.4-) 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选 对的得6分，有选错的得0分) 9.记Sn为数列{a}的前n项和，己知Sn1=(n+l)Sn+n(n+1),S2=6,则() A.41=1 ∫S是等差数列 B. C. a是等差数列 +++-” D.S.+SS.n+1 10.以下命题正确的有() A.若等差数列{a}满足a=8,a=-1,则a+a++a=32 B.若数列a}满足a=2.a12,则a-片 1 C.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若Ss>0,S。<0,则使得Sn取得最大值的正整数n的值为8 D.若数列{a}为等比数列，Sn为其前n项和，S,=7,S4=21,则S21=49 11.己知等差数列{a}的公差为d,其前n项和为Sn,若S,=S4,下列论断中正确的有（) A.S21=0 B.若d>0,则4+41>0 c.若d<0,则a。>l4 D.当=10或11时，Sn取得最大值 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.在数列{a}中，4=2，若数列{a.+aH}是公差为3的等差数列，则4s=一 13.已知等比数列{an}满足42+4=20,444=64，q>1,则数列{a}的通项公式a.= 14.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,则{a}的通项公式为 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.13分)在数列a}中，令5为其前n项和，若a=1,0m-S,-心1-3-少≥2》. 2 (1)证明：数列{4}为等差数列，并求其通项公式： ②求数列】的前n项和 aa2 16.（15分)己知{an}为正项等差数列，4+a,=30,44=29,Sn为{an}的前n项和. (1)求数列{a}的通项公式： 3”S (2)求数列 的前n项和T; 4m(n+1) (3)设数列 S.S 的前n项和为M,证明：M,<n+与 17.（15分)已知等差数列{a}的通项公式4.=2n-1,数列{b}满足b=4,bH=3b.-a.· (1)证明：数列和-n}是等比数列，并求{b}的通项公式： (2)已知数列{Cn},Cw=a(b.-n)求数列{cn}的前n项和Sn· 15. 10 18.(17分)在等差数列{a,}中，已知4=7，a。=-7 (1)求通项{a}及前n项和Sn: (2)求数列a}的前n项和T. 19.(17分)己知数列{a}满足4=6，a1=2a,+2+2(n∈N). (1)证明：数列 为等差数列，并求数列{a,}的通项公式： 2 (2)设b.= (n+1)a 记数列bn}的前n项和为Sn, 2n+1 (i)求Sa: (i)若meN,1-s-u3<0,求m的取值范围 2n