高中数学单元测试——第1章数列（适中版01）

**基本信息** 本卷为高中数学数列单元复习卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，覆盖等差等比数列、递推关系等核心知识，通过毕达哥拉斯五边形数、“积扩充”等情境渗透数学眼光与思维，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等差数列第n项、等比数列性质、五边形数递推|第6题结合古希腊数学文化，体现数学眼光| |多选题|3/18|数列概念、等差数列前n项和、有界性新定义|第11题以新定义考查逻辑推理，落实数学思维| |填空题|3/15|等比数列公比、递推数列、等差数列和最值|第14题综合等差数列性质与函数思想| |解答题|5/77|等差等比综合、错位相减、“积扩充”新情境|第19题设计“积扩充”操作，考查创新应用，契合真题新情境命题趋势|

高中数学单元测试 —— 第1章 数列（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）等差数列的第7项为（    ） A．23 B．25 C．27 D．29 【答案】D 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差，再利用通项公式求出第7项的值. 【详解】根据等差数列的定义可得：首项，公差， 所以通项公式为：， 当时，. 故选：D. 2．（本题5分）三个数成等比数列，的值为（   ） A．2 B．8 C．16 D． 【答案】C 【分析】利用等比中项求解即可. 【详解】因为三个数成等比数列， 所以，解得， 故选：C 3．（本题5分）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给数列，写出数列的一个通项公式，再求解第8项. 【详解】记数列为，通过观察分子分母的特征，可得数列的一个通项公式为，. 故选：B 4．（本题5分）在等差数列中，已知，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】由等差数列的性质即可求解. 【详解】在等差数列中，已知，，则， 所以. 故选：D. 5．（本题5分）已知数列为等比数列，首项，公比，前n项和，则n=（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等比数列求和公式直接计算即可. 【详解】因为数列为等比数列，首项，公比，前n项和， 所以，整理得，∴. 故选：C. 6．（本题5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，5，12，22称为五边形数，则五边形数所构成的数列的第5项是（ ） A．32 B．35 C．51 D．70 【答案】B 【分析】根据题图确定五边形中小石子增量关系，法1：根据规律写出第5项，法2：总结归纳得到第个五边形数为，即可得. 【详解】观察规律：第1项1，第2项5，第3项12，第4项22， 所以增量依次为，构成公差为3的等差数列， 法1：依上知，第5项为， 法2：总结归纳知，第个五边形数为， 当时，. 故选：B 7．（本题5分）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用递推公式，可得是等比数列，求出通项，分奇偶讨论可得答案. 【详解】由，得，得， 则是首项为，公比为的等比数列， 所以，即． 当为奇数时，为递增数列， 所以，即． 当为偶数时，为递减数列， 所以，所以． 又，所以，所以. 故选：C 8．（本题5分）已知数列满足，，其中等于的个位数，则（    ） A．20342 B．20346 C．20358 D．20374 【答案】B 【分析】根据题意分析可知数列的一个周期为4的周期数列，且，利用累加法结合周期数列性质运算求解. 【详解】因为，即，且，， 当时，则，； 当时，则，； 当时，则，； 当时，则，； 可知数列的一个周期为4的周期数列，且， 又因为，，，， 累加可得， 所以. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）下列有关数列的说法正确的是（   ） A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 【答案】BC 【分析】A选项，根据数列的定义作出判断；B选项，，B正确；C选项，观察得到第8个数是；D选项，，故D错误. 【详解】A选项，数列，0，4中，， 数列4，0，中，，不是同一个数列，A错误； B选项，，则110是该数列的第11项，B正确； C选项，在数列，，，，，....，第8个数是，C正确； D选项，，故通项公式不为，D错误. 故选：BC 10．（本题6分）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（   ） A．数列是递增数列 B． C． D．当取得最大值时， 【答案】BC 【分析】设等差数列的公差为，由条件不等式，利用等差数列求和公式推出，，即可对选项逐一判断. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意可得：， ， 即，，且，即B、C正确； 因，故数列是递减数列，故A错误； 因，，即当取得最大值时，，故D错误. 故选：BC. 11．（本题6分）对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的.若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，下列结论错误的是（   ） A．若，则数列是无界的 B．若，则数列是有界的 C．若，则数列是有界的 D．若，则数列是有界的 【答案】ABD 【分析】根据数列有界和无界的定义，分别对各选项中的数列进行分析判断. 【详解】对于A选项，已知，对于任意正整数，都有，取，满足对一切正整数，都有，所以数列是有界的，A选项错误. 对于B选项，已知，当足够大时，的值会随着的增大而无限增大，不存在正数，使得对一切正整数，都有，所以数列是无界的，B选项错误. 对于C选项，已知，当时，. 当时，. 当时，上式也成立，所以. 则，因为，所以，取，满足对一切正整数，都有，所以数列是有界的，C选项正确. 对于D选项，已知，则. 当无限增大时，2n也无限增大，不存在正数，使得对一切正整数，都有，所以数列是无界的，D选项错误. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）已知各项都不为的等比数列满足，则其公比________. 【答案】/ 【分析】根据等比数列的基本量计算解方程即得公比的值. 【详解】由，得，因，则得,解得 故答案为：. 13．（本题5分）已知数列，满足，，则______. 【答案】 【分析】根据条件可得，然后求和即可. 【详解】由，，可得， . 故答案为： 14．（本题5分）等差数列的前项和为，已知，且，则取最大值时的值为__________. 【答案】6 【分析】设等差数列的公差为，先证明数列是等差数列，由推出数列及单调递减，即，借助的解析式及单调性推出即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， 所以等差数列的前项和为， 则， ，， 所以数列是等差数列，公差为. 因为，所以数列单调递减， 所以，即，所以等差数列单调递减. 因为数列单调递减，所以， 因为， ，所以. 因为等差数列单调递减，且，所以， 所以当时，取最大值. 故答案为：6 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据给定条件，列出关于公差、公比的方程组，求解即可得通项公式. （2）利用分组求和法，结合等差、等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列的公比为q， 由，得，而，解得，， 所以， （2）由（1）得，，设数列的前n项和为， 则 16．（本题15分）设等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法可求得. 【详解】（1）当时，， 当时，， 也满足，故对任意的，， 则，即是等差数列，合乎题意， 故对任意的，. （2）， 17．（本题15分）记数列的前项和为，已知. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) 由题意得：当时，， 当时，由有：， 所以，即，所以， 所以， 所以数列是以为公比，首项为的等比数列； (2) 【分析】（1）由，结合等比数列的定义即可得证； （2）利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）有， 所以， 所以①， ②， 由①②有： ， 所以. 18．（本题17分）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间的个数，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系得到，即可求解； （2）根据（1）可得，从而有时，，再对讨论，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 两式相减得，得到，又，则， 又当时，，所以，得到，满足， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知， 所以当时，， 所以，当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 所以. 19．（本题17分）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为． (1)求和； (2)求和． (3)求数列的前项积． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据“积扩充”的概念直接求解即可； （2）由题意，变形为，然后利用等比数列的定义及通项公式求得；设，则，即，然后利用等比数列的定义及通项公式求得，进而得； （3）对两边取对数得，结合等比数列求和公式利用并项求和法求得，即可得解. 【详解】（1）由题意，，，. （2），所以， 又因为，所以，所以， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即； 设，则，即， 又因为，所以，所以， 所以数列是以6为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 所以. （3）要求， 只需求， 又， 所以 ， 所以，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第1章 数列（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）等差数列的第7项为（    ） A．23 B．25 C．27 D．29 2．（本题5分）三个数成等比数列，的值为（   ） A．2 B．8 C．16 D． 3．（本题5分）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）在等差数列中，已知，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 5．（本题5分）已知数列为等比数列，首项，公比，前n项和，则n=（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（本题5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，5，12，22称为五边形数，则五边形数所构成的数列的第5项是（ ） A．32 B．35 C．51 D．70 7．（本题5分）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知数列满足，，其中等于的个位数，则（    ） A．20342 B．20346 C．20358 D．20374 二、多选题 9．（本题6分）下列有关数列的说法正确的是（   ） A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 10．（本题6分）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（   ） A．数列是递增数列 B． C． D．当取得最大值时， 11．（本题6分）对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的.若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，下列结论错误的是（   ） A．若，则数列是无界的 B．若，则数列是有界的 C．若，则数列是有界的 D．若，则数列是有界的 三、填空题 12．（本题5分）已知各项都不为的等比数列满足，则其公比________. 13．（本题5分）已知数列，满足，，则______. 14．（本题5分）等差数列的前项和为，已知，且，则取最大值时的值为__________. 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 16．（本题15分）设等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 17．（本题15分）记数列的前项和为，已知. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 18．（本题17分）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间的个数，求数列的前项和. 19．（本题17分）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为． (1)求和； (2)求和． (3)求数列的前项积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $