高中数学单元测试——第1章数列（较难版02）

**基本信息** 高中数学数列单元较难版测试卷，覆盖等差等比数列、递推关系、新定义问题等核心知识，通过基础计算、性质应用及创新探究题，适配单元复习巩固与高阶思维训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等差等比基本量计算、数列项判断|第6题结合五边形数文化情境，考查归纳推理| |多选题|3/18|数列概念、等差数列性质、类等积数列|第11题引入新定义，培养数学抽象与逻辑推理| |填空题|3/15|递推数列、数列与函数综合|第14题融合等差等比数列，训练数学建模| |解答题|5/77|等差等比综合应用、错位相减求和、归一数证明|第19题新定义探究，提升创新意识与论证能力|

高中数学单元测试 —— 第1章 数列（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在等差数列中，已知公差，则（    ） A．16 B．14 C． D． 2．（本题5分）若是与4的等比中项，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 3．（本题5分）是数列的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 4．（本题5分）已知数列是等差数列，，则（   ） A．12 B．15 C．18 D．21 5．（本题5分）已知数列为等比数列，首项，公比，前n项和，则n=（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（本题5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，5，12，22称为五边形数，则五边形数所构成的数列的第5项是（ ） A．32 B．35 C．51 D．70 7．（本题5分）在数列中，，，若不等式 对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知数列满足，，其中等于的个位数，则（    ） A．20342 B．20346 C．20358 D．20374 二、多选题 9．（本题6分）(多选题)下列说法中正确的是（     ） A．数列a，a，a，…是无穷数列 B．数列就是定义在正整数集或它的有限子集上的函数值 C．数列不一定是递减数列 D．已知是数列，则也是一个数列 10．（本题6分）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（   ） A．数列是递增数列 B． C． D．当取得最大值时， 11．（本题6分）定义：在一个任何一项都不为0的数列中，从第一项开始，连续三项的积都为同一个常数，称这个数列为类等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知类等积数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．公积为3 D． 三、填空题 12．（本题5分）数列是正项数列，若，且，，则_______． 13．（本题5分）已知数列，满足，，则______. 14．（本题5分）已知数列满足，，且.等比数列的通项公式为.若数列满足，则数列的前项和为__________. 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 16．（本题15分）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和 17．（本题15分）记数列的前项和为，已知. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 18．（本题17分）已知数列的前项和为，其中，；数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； 19．（本题17分）对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为．若，则称正整数n为“归一数”． (1)求10以内的“归一数”； (2)已知，求m的值； (3)将所有“归一数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第1章 数列（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在等差数列中，已知公差，则（    ） A．16 B．14 C． D． 【答案】A 【分析】借助等差数列性质计算即可得. 【详解】，解得. 故选：A. 2．（本题5分）若是与4的等比中项，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据等比中项的性质即可列方程求解. 【详解】由于是与4的等比中项，故，解得， 故选：D 3．（本题5分）是数列的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【答案】A 【分析】利用观察法分析数列的规律即可. 【详解】观察条件式可知原数列为：，而，即为第6项， 故选：A 4．（本题5分）已知数列是等差数列，，则（   ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质，若，则求解. 【详解】因为数列为等差数列，且，所以， 即，所以. 故选：B 5．（本题5分）已知数列为等比数列，首项，公比，前n项和，则n=（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等比数列求和公式直接计算即可. 【详解】因为数列为等比数列，首项，公比，前n项和， 所以，整理得，∴. 故选：C. 6．（本题5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，5，12，22称为五边形数，则五边形数所构成的数列的第5项是（ ） A．32 B．35 C．51 D．70 【答案】B 【分析】根据题图确定五边形中小石子增量关系，法1：根据规律写出第5项，法2：总结归纳得到第个五边形数为，即可得. 【详解】观察规律：第1项1，第2项5，第3项12，第4项22， 所以增量依次为，构成公差为3的等差数列， 法1：依上知，第5项为， 法2：总结归纳知，第个五边形数为， 当时，. 故选：B 7．（本题5分）在数列中，，，若不等式 对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列的前n项和与通项之间的关系推出，结合题意可得，设，结合数列单调性可得的最大值，即可得结果. 【详解】因为，， 当时，则， 两式相减可得：，即， 且，即，可知数列是各项均为的常数列， 所以，即. 因为，即，可得， 设，则， 令，解得， 当时，数列递增；当时，；当时，数列递减， 所以的最大值为. 因为对恒成立， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：C. 8．（本题5分）已知数列满足，，其中等于的个位数，则（    ） A．20342 B．20346 C．20358 D．20374 【答案】B 【分析】根据题意分析可知数列的一个周期为4的周期数列，且，利用累加法结合周期数列性质运算求解. 【详解】因为，即，且，， 当时，则，； 当时，则，； 当时，则，； 当时，则，； 可知数列的一个周期为4的周期数列，且， 又因为，，，， 累加可得， 所以. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）(多选题)下列说法中正确的是（     ） A．数列a，a，a，…是无穷数列 B．数列就是定义在正整数集或它的有限子集上的函数值 C．数列不一定是递减数列 D．已知是数列，则也是一个数列 【答案】ACD 【分析】由数列的概念以及相关性质即可逐一判断每个选项求解. 【详解】数列a，a，a，…是无数个排列而成，所以它是无穷数列，故A正确； 若是数列，即可排列成， 则将后项减前项依次排列得，所以也是一个数列，故D正确； 因为数列是定义在正整数集上或它的有限子集上的函数，当自变量从小到大取值时，对应的是一列函数值，故B错误； 对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列． 故选：ACD. 10．（本题6分）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（   ） A．数列是递增数列 B． C． D．当取得最大值时， 【答案】BC 【分析】设等差数列的公差为，由条件不等式，利用等差数列求和公式推出，，即可对选项逐一判断. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意可得：， ， 即，，且，即B、C正确； 因，故数列是递减数列，故A错误； 因，，即当取得最大值时，，故D错误. 故选：BC. 11．（本题6分）定义：在一个任何一项都不为0的数列中，从第一项开始，连续三项的积都为同一个常数，称这个数列为类等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知类等积数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．公积为3 D． 【答案】AC 【分析】根据已知新定义计算判断A，C，应用周期性计算求和判断B，分类计算判断D. 【详解】对于A，由，得正确； 对于B，由A知，该数列的周期为3，由，得，解得错误； 对于C，由B知，正确； 对于D，当时，，当时，，当时，错误； 故选：AC. 三、填空题 12．（本题5分）数列是正项数列，若，且，，则_______． 【答案】3 【分析】首先求得，，结合得即可求解. 【详解】因为，，所以，， 即，， 又因为，所以，， 因为，，所以， 所以， 所以. 故答案为：3. 13．（本题5分）已知数列，满足，，则______. 【答案】 【分析】根据条件可得，然后求和即可. 【详解】由，，可得， . 故答案为： 14．（本题5分）已知数列满足，，且.等比数列的通项公式为.若数列满足，则数列的前项和为__________. 【答案】 【分析】由变形可得，利用等差数列的定义求得通项，再由裂项求和，分组求和求得答案. 【详解】依题意，，故，得， 所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列； 故，故， 令， 故数列的前项和为， 而数列的前项和为， 由分组求和法可知，数列的前项和为. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据给定条件，列出关于公差、公比的方程组，求解即可得通项公式. （2）利用分组求和法，结合等差、等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列的公比为q， 由，得，而，解得，， 所以， （2）由（1）得，，设数列的前n项和为， 则 16．（本题15分）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合和与项的递推关系进行转化即可求解； （2）利用裂项求和即可求解． 【详解】（1）因为数列的前n项和为，且， 当时，， 当时，，适合上式， 故. （2）， 17．（本题15分）记数列的前项和为，已知. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) 由题意得：当时，， 当时，由有：， 所以，即，所以， 所以， 所以数列是以为公比，首项为的等比数列； (2) 【分析】（1）由，结合等比数列的定义即可得证； （2）利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）有， 所以， 所以①， ②， 由①②有： ， 所以. 18．（本题17分）已知数列的前项和为，其中，；数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据，求出的通项公式，根据通项公式研究数列各项正负情况，进而得到的前项和. 【详解】（1）， 时，有， 时有， ， ， 又，也符合上式， 故数列是首项为1，公比为2的等比数列， . （2）， 时，， 时有， ，又，也符合上式， 所以， 当时，当时， 当时，， 当时，. 故. 19．（本题17分）对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为．若，则称正整数n为“归一数”． (1)求10以内的“归一数”； (2)已知，求m的值； (3)将所有“归一数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)或 (3)显然偶数“归一数”必为形如的整数， 下面探究奇数“归一数”，不妨设置如下区间： ， 若奇数，不妨设， 若为“归一数”，则且， 即且，当且时， ，当时， ，所以且， 又因为，即， 易知为上述不等式的唯一整数解，区间存在唯一的奇数“归一数”， 所以且，显然为奇数“归一数”，所有的奇数“归一数” 为，所以所有的奇数“归一数”的倒数为， 因为，所以， ， 即 【分析】（1）根据“归一数”概念，结合列举法求解. （2）分析题意可知必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解. （3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）根据定义逐个计算的： （奇）：，得是归一数； （偶）：，得，是归一数； （奇）：，得，不是； （偶）：，得，是归一数； （奇）：，得，是归一数； （偶）：，得，不是； （奇）：，得，不是； （偶）：，得，是归一数； （奇）：，得，不是； （偶）：，得，不是. （2）由题意可知为奇数，所以为偶数， 所以存在正整数，使得，即， 因为，且，所以， 或，或，解得或， 所以，或， 所以的值为或. （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $