高中数学单元测试——第1章数列（适中版02）

**基本信息** 高中数学数列单元复习卷（适中版02），覆盖等差等比数列、求和及创新应用，梯度合理，融合数学抽象、推理与应用意识，适配单元巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|数列定义、等差等比计算、充要条件|五边形数文化情境，基础巩固| |多选题|3/18|数列概念、等差数列前n项和性质|新定义“平衡数列”，辨析能力| |填空题|3/15|等比数列性质、递推关系|核心公式应用，简洁直观| |解答题|5/77|等差等比综合、新定义“积扩充”|分层设问，综合应用与创新探究|

高中数学单元测试 —— 第1章 数列（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知数列满足，，则（    ） A．2028 B．2029 C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式可得答案. 【详解】因为，所以数列是等差数列，且公差为， 所以. 故选：C 2．（本题5分）若数列为等比数列，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由题意，根据等比中项的应用，结合充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意知，数列为等比数列， 当时，得，故充分性成立； 当时，，解得，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件, 故选：A 3．（本题5分）某数列前12项依次是，则数列中的值应为（   ） A．56 B．60 C．62 D．64 【答案】B 【分析】观察数列，找到规律，即可求解. 【详解】观察数列，易知奇数项和偶数项规律不同. 奇数项为 则，，，，易知， 所以. 故选：B. 4．（本题5分）在等差数列中，已知，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】由等差数列的性质即可求解. 【详解】在等差数列中，已知，，则， 所以. 故选：D. 5．（本题5分）已知数列为等比数列，首项，公比，前n项和，则n=（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等比数列求和公式直接计算即可. 【详解】因为数列为等比数列，首项，公比，前n项和， 所以，整理得，∴. 故选：C. 6．（本题5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，5，12，22称为五边形数，则五边形数所构成的数列的第5项是（ ） A．32 B．35 C．51 D．70 【答案】B 【分析】根据题图确定五边形中小石子增量关系，法1：根据规律写出第5项，法2：总结归纳得到第个五边形数为，即可得. 【详解】观察规律：第1项1，第2项5，第3项12，第4项22， 所以增量依次为，构成公差为3的等差数列， 法1：依上知，第5项为， 法2：总结归纳知，第个五边形数为， 当时，. 故选：B 7．（本题5分）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用递推公式，可得是等比数列，求出通项，分奇偶讨论可得答案. 【详解】由，得，得， 则是首项为，公比为的等比数列， 所以，即． 当为奇数时，为递增数列， 所以，即． 当为偶数时，为递减数列， 所以，所以． 又，所以，所以. 故选：C 8．（本题5分）已知数列满足，，，为数列的前项和，则（   ） A． B． C．的最大值为20 D． 【答案】D 【分析】首先计算数列的奇数项和偶数项，可得出选项A，分别计算奇数项的和，偶数项的和，相加得，可得出选项B，分别计算前n项和的最大值，可得出选项C，代入的公式可得出选项D. 【详解】奇数项 ，构成首项为8、公差为 的等差数列. 通项； 偶数项： ，构成周期为2的周期数列；， 通项：， 选项A，，对应， ，选项A 错误. 选项B，为偶数， 奇数项和：， 偶数项和：， ， 为奇数， 偶数项和：， ， 选项B 错误. 选项C，由 为偶数，， 为奇数，， 开口向下的二次函数，对称轴都为， 所以， ，C错误. D. ， ，即 ， ， ， ， ，选项D 正确. 故选：D 二、多选题 9．（本题6分）下面四个结论正确的是（    ） A．数列的项数是无限的 B．数列的图像是一系列孤立的点 C．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 D．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数 【答案】BD 【分析】由数列概念判断各选项正误即可得答案. 【详解】A选项，有限数列的项数是有限的，故A错误； B选项，因数列的项数均为正整数，则若将项数作为横坐标，项作为纵坐标画在平面直角坐标系中，则相应图象为一系列孤立的点，故B正确. C选项，相同数列是指，两个数列，相同的项数对应相同的项，则数列1，2，3，4和数列1，3，4，2不是相同的数列，故C错误； D选项，因数列的项数均为正整数，项数与项一一对应，且分为有限数列与无限数列，则数列可看作定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数，故D正确. 故选：BD 10．（本题6分）已知是等差数列的前项和，，且，则（    ） A．公差 B． C． D．时，最大 【答案】BC 【分析】根据已知条件列方程，根据等差数列的性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设等差数列的公差为， 由得， 由于，所以，，， 所以A，D选项错误，B选项正确. 因为，故C选项正确. 故选：BC. 11．（本题6分）若数列中存在使得，则称为平衡数列，记满足条件的最小的为，称为的“平衡数”，则（    ） A．若，则是“平衡数”为5的平衡数列 B．若，，则不是平衡数列 C．若，则是平衡数列 D．若，且，则是“平衡数”为3的平衡数列 【答案】ABD 【分析】由数列新定义，结合各选项数列递推公式逐个判断即可. 【详解】因为，令，得，， 所以是“平衡数”为5的平衡数列，故A正确； 的前6项依次为2，，，2，，，故是周期为3的周期数列，可验证不是平衡数列，故B正确； 若，则，故C错误； 对于D，由，得，因为，所以， 由，得， 当时，， 所以是“平衡数”为3的平衡数列，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）在等比数列中，若，则_________. 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式直接求解. 【详解】设等比数列的公比为，由题得，， 所以，解得. 所以. 故答案为：. 13．（本题5分）数列是正项数列，若，且，，则_______． 【答案】3 【分析】首先求得，，结合得即可求解. 【详解】因为，，所以，， 即，， 又因为，所以，， 因为，，所以， 所以， 所以. 故答案为：3. 14．（本题5分）已知数列满足，，且.等比数列的通项公式为.若数列满足，则数列的前项和为__________. 【答案】 【分析】由变形可得，利用等差数列的定义求得通项，再由裂项求和，分组求和求得答案. 【详解】依题意，，故，得， 所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列； 故，故， 令， 故数列的前项和为， 而数列的前项和为， 由分组求和法可知，数列的前项和为. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据给定条件，列出关于公差、公比的方程组，求解即可得通项公式. （2）利用分组求和法，结合等差、等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列的公比为q， 由，得，而，解得，， 所以， （2）由（1）得，，设数列的前n项和为， 则 16．（本题15分）已知数列中，，为数列的前n项和，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列总满足，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用,求得; (2)利用裂项相消法，求得. 【详解】（1）当时，， 所以， 当时，， 由，当时，，符合 综上所述，； （2）， 则； 故. 17．（本题15分）已知数列的前项和为，且 (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式及前项和． 【答案】(1) 数列中，，则， 则，又， 所以数列是首项为公比为的等比数列，. (2)，. 【分析】（1）数列中，，变形为，利用等比数列的定义即可证明． （2）由（1）可得：，即可得出数列的通项，利用错位相减法求数列的前项和． 【详解】（1）略 （2）由（1）可得：，因此， 数列前项和为， 可得， 两式相减可得， 所以. 18．（本题17分）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间的个数，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系得到，即可求解； （2）根据（1）可得，从而有时，，再对讨论，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 两式相减得，得到，又，则， 又当时，，所以，得到，满足， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知， 所以当时，， 所以，当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 所以. 19．（本题17分）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为． (1)求和； (2)求和． (3)求数列的前项积． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据“积扩充”的概念直接求解即可； （2）由题意，变形为，然后利用等比数列的定义及通项公式求得；设，则，即，然后利用等比数列的定义及通项公式求得，进而得； （3）对两边取对数得，结合等比数列求和公式利用并项求和法求得，即可得解. 【详解】（1）由题意，，，. （2），所以， 又因为，所以，所以， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即； 设，则，即， 又因为，所以，所以， 所以数列是以6为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 所以. （3）要求， 只需求， 又， 所以 ， 所以，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第1章 数列（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知数列满足，，则（    ） A．2028 B．2029 C． D． 2．（本题5分）若数列为等比数列，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（本题5分）某数列前12项依次是，则数列中的值应为（   ） A．56 B．60 C．62 D．64 4．（本题5分）在等差数列中，已知，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 5．（本题5分）已知数列为等比数列，首项，公比，前n项和，则n=（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（本题5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，5，12，22称为五边形数，则五边形数所构成的数列的第5项是（ ） A．32 B．35 C．51 D．70 7．（本题5分）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知数列满足，，，为数列的前项和，则（   ） A． B． C．的最大值为20 D． 二、多选题 9．（本题6分）下面四个结论正确的是（    ） A．数列的项数是无限的 B．数列的图像是一系列孤立的点 C．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 D．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数 10．（本题6分）已知是等差数列的前项和，，且，则（    ） A．公差 B． C． D．时，最大 11．（本题6分）若数列中存在使得，则称为平衡数列，记满足条件的最小的为，称为的“平衡数”，则（    ） A．若，则是“平衡数”为5的平衡数列 B．若，，则不是平衡数列 C．若，则是平衡数列 D．若，且，则是“平衡数”为3的平衡数列 三、填空题 12．（本题5分）在等比数列中，若，则_________. 13．（本题5分）数列是正项数列，若，且，，则_______． 14．（本题5分）已知数列满足，，且.等比数列的通项公式为.若数列满足，则数列的前项和为__________. 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 16．（本题15分）已知数列中，，为数列的前n项和，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列总满足，求数列的前n项和． 17．（本题15分）已知数列的前项和为，且 (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式及前项和． 18．（本题17分）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间的个数，求数列的前项和. 19．（本题17分）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为． (1)求和； (2)求和． (3)求数列的前项积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $