高中数学单元测试——第1章数列（较易版02）

**基本信息** 高中数学数列单元复习卷，覆盖等差等比数列、递推关系等核心知识，通过基础巩固与创新情境题（如图形排列、“积扩充”），培养数学抽象、推理及应用意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|数列项数、等差等比中项|基础概念辨析，如第3题判断数列项数| |多选题|3/18|数列定义、等差数列求和|概念辨析与性质应用，如第9题数列定义判断| |填空题|3/15|等比数列公比、递推求项|运算能力考查，如第12题求公比| |解答题|5/77|等差等比综合、创新情境|分层设计，第19题“积扩充”情境培养数学应用与创新意识|

高中数学单元测试 —— 第1章 数列（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知数列满足，，则（    ） A．2028 B．2029 C． D． 2．（本题5分）若是与4的等比中项，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 3．（本题5分）是数列的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 4．（本题5分）已知等差数列中， ，则（   ） A．9 B．6 C．3 D．15 5．（本题5分）已知数列为等比数列，首项，公比，前n项和，则n=（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（本题5分）将正整数如图排列，第行有个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为，再从开始从右往下碰到5，记为，接着从开始，从左往下碰到8，记为.依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为，构成数列.则（   ）    A．59 B．60 C．61 D．62 7．（本题5分）在正项等比数列中，，，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知数列的前项和为，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下面四个结论正确的是（    ） A．数列的项数是无限的 B．数列的图像是一系列孤立的点 C．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 D．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数 10．（本题6分）已知等差数列的前n项和为，满足，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．记，的前n项和为，则 11．（本题6分）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）在正项等比数列中，，，则公比________． 13．（本题5分）数列是正项数列，若，且，，则_______． 14．（本题5分）已知正项数列满足，且，若存在，使得，则__________. 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 16．（本题15分）已知数列的前项的和为，数列是公差为1的等差数列． (1)证明：数列是公差为2的等差数列； (2)设数列的前项的和为，若，证明． 17．（本题15分）已知数列满足，且，数列满足． (1)求证：为等比数列； (2)求数列的前项和. 18．（本题17分）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间的个数，求数列的前项和. 19．（本题17分）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为． (1)求和； (2)求和． (3)求数列的前项积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第1章 数列（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知数列满足，，则（    ） A．2028 B．2029 C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式可得答案. 【详解】因为，所以数列是等差数列，且公差为， 所以. 故选：C 2．（本题5分）若是与4的等比中项，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据等比中项的性质即可列方程求解. 【详解】由于是与4的等比中项，故，解得， 故选：D 3．（本题5分）是数列的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【答案】A 【分析】利用观察法分析数列的规律即可. 【详解】观察条件式可知原数列为：，而，即为第6项， 故选：A 4．（本题5分）已知等差数列中， ，则（   ） A．9 B．6 C．3 D．15 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】因为数列是等差数列， 所以，即，解得. 所以， 故选：A. 5．（本题5分）已知数列为等比数列，首项，公比，前n项和，则n=（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等比数列求和公式直接计算即可. 【详解】因为数列为等比数列，首项，公比，前n项和， 所以，整理得，∴. 故选：C. 6．（本题5分）将正整数如图排列，第行有个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为，再从开始从右往下碰到5，记为，接着从开始，从左往下碰到8，记为.依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为，构成数列.则（   ）    A．59 B．60 C．61 D．62 【答案】C 【分析】根据已知对数列用后项减前项，归纳出性质：，，然后由计算可得． 【详解】由题意得，，，…，所以，． 因此． 故选：C． 7．（本题5分）在正项等比数列中，，，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列基本量的计算可得通项，进而将问题转化为，构造，利用作差法确定单调性，即可求解最值得解. 【详解】设等比数列公比为，，. ，，解得，， 由得，即. 记，则， 当时，，时，， 因此 故时，取到得最小值是－16.，即实数的取值范围为， 故选:B. 8．（本题5分）已知数列的前项和为，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可得，检验可知数列是以6为周期的周期数列，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为，，，即， 可得，，， ，，， 可知数列是以6为周期的周期数列，且， 所以该数列一个周期的和为0. 因为， 所以. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）下面四个结论正确的是（    ） A．数列的项数是无限的 B．数列的图像是一系列孤立的点 C．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 D．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数 【答案】BD 【分析】由数列概念判断各选项正误即可得答案. 【详解】A选项，有限数列的项数是有限的，故A错误； B选项，因数列的项数均为正整数，则若将项数作为横坐标，项作为纵坐标画在平面直角坐标系中，则相应图象为一系列孤立的点，故B正确. C选项，相同数列是指，两个数列，相同的项数对应相同的项，则数列1，2，3，4和数列1，3，4，2不是相同的数列，故C错误； D选项，因数列的项数均为正整数，项数与项一一对应，且分为有限数列与无限数列，则数列可看作定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数，故D正确. 故选：BD 10．（本题6分）已知等差数列的前n项和为，满足，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．记，的前n项和为，则 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的性质可得，从而判断A；求出等差数列的，，即可得通项公式和前项和，判断BC；根据并项法求，判断D. 【详解】根据题意，根据等差数列的性质可得．所以．故A正确； 因为．所以，可得，即， 结合，计算可得，， 所以，故B错误； ，故C正确； 因为，所以， 所以 ，故D正确. 故选：ACD． 11．（本题6分）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据等积数列的定义求得通项公式，即可判断可选项. 【详解】对于A，由题可知，对任意的，， 则对任意的，，所以，，故，A对； 对于B，，所以，由A可知，，所以，B对； 对于C，，C错； 对于D，因为，所以，D对. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）在正项等比数列中，，，则公比________． 【答案】 【分析】根据等比数列的等比中项性质，和等比数列的概念，求出公比. 【详解】由等比中项定义可知，可得，因为数列为正项数列，所以，则. 故答案为：. 13．（本题5分）数列是正项数列，若，且，，则_______． 【答案】3 【分析】首先求得，，结合得即可求解. 【详解】因为，，所以，， 即，， 又因为，所以，， 因为，，所以， 所以， 所以. 故答案为：3. 14．（本题5分）已知正项数列满足，且，若存在，使得，则__________. 【答案】30 【分析】根据题意可得为等差数列，从而得到，利用裂项相消求出即可求解. 【详解】，则， 两边同除以得：，即， 为等差数列，设数列的公差为， 又， 则， ， 即，解得， ， ， . ∴解得. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据给定条件，列出关于公差、公比的方程组，求解即可得通项公式. （2）利用分组求和法，结合等差、等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列的公比为q， 由，得，而，解得，， 所以， （2）由（1）得，，设数列的前n项和为， 则 16．（本题15分）已知数列的前项的和为，数列是公差为1的等差数列． (1)证明：数列是公差为2的等差数列； (2)设数列的前项的和为，若，证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合与之间的关系进行求解证明即可； （2）根据（1）的结论，结合裂项相消法进行求解证明即可. 【详解】（1）因为数列是公差为1的等差数列，所以． 从而可得． 当时，． 即可得，所以数列是公差为2的等差数列； （2）根据第（1）问数列是公差为2的等差数列可得， 从而可得． 所以数列的通项公式． 所以． 从而可得． 所以成立． 17．（本题15分）已知数列满足，且，数列满足． (1)求证：为等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) 因为，所以， 即，而， 所以数列为首项为，公比为的等比数列； (2) 【分析】（1）要证为等比数列，可根据等比数列的定义，通过计算的值是否为常数来判断； （2）根据（1）的结论求出的通项公式，进而得到的通项公式，再根据的通项公式的特点选择裂项相消法求其前项和. 【详解】（1）略 （2）因为，所以， 所以， 又，所以， 所以数列的通项公式为. ， ， 两式作差得 ， 所以. 18．（本题17分）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间的个数，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系得到，即可求解； （2）根据（1）可得，从而有时，，再对讨论，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 两式相减得，得到，又，则， 又当时，，所以，得到，满足， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知， 所以当时，， 所以，当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 所以. 19．（本题17分）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为． (1)求和； (2)求和． (3)求数列的前项积． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据“积扩充”的概念直接求解即可； （2）由题意，变形为，然后利用等比数列的定义及通项公式求得；设，则，即，然后利用等比数列的定义及通项公式求得，进而得； （3）对两边取对数得，结合等比数列求和公式利用并项求和法求得，即可得解. 【详解】（1）由题意，，，. （2），所以， 又因为，所以，所以， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即； 设，则，即， 又因为，所以，所以， 所以数列是以6为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 所以. （3）要求， 只需求， 又， 所以 ， 所以，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $