第1章 数列 单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

湘教版高中数学选择性必修第一册第1章《数列》单元测试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D．2 2．已知数列是等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的首项，公差，在的每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，当时，（    ） A．4042 B．4050 C．4056 D．4058 4．已知等差数列的前项和为，若，则的值为（    ） A．40 B．50 C．60 D．100 5．已知数列的通项公式为为其前项积，则的最小值为（    ） A．－2 B． C． D． 6．已知数列满足，且，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 7．等比数列的各项均为正数，且，．设为数列的前项和，则（    ） A．200 B． C． D． 8．已知在数列中，，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．数列是递减数列 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．中的最小项为 10．记数列的前项和为，且，则（    ） A．数列是等差数列 B． C．数列是公差为1的等差数列 D．数列的前项和为 11．设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有（   ） A．时，取最大值 B． C．若， D．若时， 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知数列满足，，则 ． 13．在数列中，，，，，为的前n项和，则 ． 14．已知正项数列满足，且，则的值是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 16．（15分）设等差数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求. 17．（15分）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)令，数列的前n项和为，设，记为在区间中的项的个数，求数列的前50项和． 18．（17分）已知数列满足．记（）． (1)计算，并证明数列为等比数列； (2)设，且数列的前项和为，求证：． 19．（17分）数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学选择性必修第一册第1章《数列》单元测试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.已知数列a}满足a=2a1=1-1 ，则a=() A.-1 1 1 B. C.- D.2 2 【答案】B 【分析】根据题目所给条件，分析数列{a}的周期性，通过周期性得到答案. 【详解】由题知4=1-1=1 g2,4-1-1 -1,a-1-2=2,4=1-1=} 1 a, 1 所以3是数列{a,}的一个周期，所以a=4:=凸=方故选：B. 2.已知数列{a}是等差数列， S3-1 3,则 6=() A. B. C. D. 10 8 9 【答案】A 【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可. 【详解)由。=，得S。=3S,设S,=m,m为非零实数，则。=3， 因为数列{an}是等差数列，所以S,S。-S,S。-S。,S2-S,,.,是以m为首项，m为公差的等差数列， 所以8-8。-8=.解得86：10，所以景-品检适：小 3.已知等差数列{a}的首项4=2，公差d=8,在{a}的每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的 数一起构成一个新的等差数列{b},当k=3时，b225=() A.4042 B.4050 C.4056 D.4058 【答案】B 【分析】得到42的值，由{a}的每相邻两项之间都插入3个数后构成新的等差数列b}得到b}的首项和公 差，由此得到{b}的通项公式，进而得到b25。 【详解】a,=2,d=8,所以42=10. 当k=3时，4=2.6=4=10，所以等差数列}的公差为5-4=102-2， 5-14 故b.=2+201-1)=21,则b,2s=2×2025=4050.故选：B. 4.己知等差数列{a}的前n项和为Sn,若Ss-So=10,则Ss的值为（) A.40 B.50 C.60 D.100 【答案】B 【分析】只需根据已知求得4，=2，再结合等差数列性质以及求和公式即可求解. 【详解】等差数列{a}中，由Ss-S。=10,得10=41+42+4，+44+4s=5a,解得43=2， 所以S-25(a+a-254,-50.故选：B 2 5.已知数列的道项公式为a=(小加EN)江为英前0项秋，则的旅小值为《） 7 455 A.-2 D. 8 256 【答案】B 【分析1先利用作商法可得<小，进面求出4=一24=子4=一子4-总4 753=一二，可得n≥4时， a≤4<1，进而分析求解即可. 3+1 【详解)当n为奇数时，a,=-2一，当n为偶数时，gs 2h, 3(n+1)+1 要求T的最小值，只需要考虑出现奇数个奇数项时即可，又 2+1 a. 3n+1 3n+41-→ala 2(3+1) 2 而4=-24=7 4=38=13 2,因此n24时，a,≤a<1,当n=1时，T=4=-2. 当n=2时，T=a4,=-2× 7 综上，T的最小值为2故选：B 6.己知数列{a}满足4+1=(-1)4+1，且a2=1,则a,=() A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】B 【分析】根据递推关系，分别令n=2,n=3,n=4,求得答案 【详解】4+1=（-1)”a,+1,令n=2,可得4=42+1=2： 令n=3,可得a4=-4+1=-1;令n=4,可得a=a4+1=0.故选：B. 7.等比数列{a}的各项均为正数，且2a+3a2=1,G=9a24。·设bn=l0ga+log3a2++l0g3a,Sn为数列 1 b 的前n项和，则So=() 200 A.-200 B. 101 d. D 【答案】B 1 【分析】根据已知可得934进而写出数列通项公式，则数列g,么是首项、公差为-1的等差数 列，应用等差数列前1项和求b,,最后用裂项相消法求So 【详解】设等比数列{a,}的公比为9，则q>0,则G=9a,4,=9..a,g=9dg,所以9g=1,所以g= 3 11 -1 因为24+3a=3a=l,所以4=分所以a=ag- 1 33 3 1 所以1og,a.=log,3=-,所以1bg,a1-log,a.=-0+0+n=-1，log,4=-1 即数列{log3a}是首项、公差均为-1的等差数列， -2-22 1 所以b=g,4+gat++09:a=12-3n=-0”+D，所以20+Dnn+ 2 因此5=-2+名2+2-2+2=2-2=-2 n+1,所以S- 200 223nn+1n+1 101 故选：B 已知在数列a中，420三22b=(八Qn+aa数列他，的前n项和为S,则Sw=( 800 800 808 808 A. B. C. D.- 201 201 201 201 【答案】A 【分析】根据取倒数法可得。 a之，由等差数列的定义和通项公式可得a,=2,a 11-1 2 ,a+1= n+1,进而 b.=4(-1) 1 结合裂项相消法求和即可. n'n+1 【详解】由a+1= 1=2+a-1+1, 1-1=1 2+a a12aa+2即 ，得 1a2,又4=2， 11 111 92,则 所以= 2 a. 是以号为首项，分为公差的等差数列，则。十1-)=号，故口= 22 二，得aaH= n+1 所以b,=(-2n+a,a=(-)°(2n+)4=4-1yrtL nn+1) nn+1 所以S20=b+b2+…+b2o=4 201 故选：A 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，有选错的得0分) 9.己知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S6<S4<S2s,则() A.数列{a}是递减数列 B.当n=25时，Sn最大 C.使得Sn<0成立的最小自然数n=52 D a 中的最小项为S整 【答案】AB 【分析】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质，结合已知条件S。<S4<Ss,分析数列的单调性、 前n项和的最值、S,n<O时n的最小值以及 S. 的最小项即可 a 【详解】对于AB:因为S6<S4,所以S6-S24=45+46<0, 因为S24<S25,所以S25-S24=a25>0,所以a26<0,且d=a6-a25<0,所以数列{a}是递减的等差数列， 且4>马>…>4s>0>46>.…>4,则当n=25时，Sn最大，故AB正确； 对于C:由上述分析可知，当n≥25时，S.递减， 且5-49aaw）-49x24-49a,>0,350450a,+< 2 2 2 2 所以使得Sn<0成立的最小自然数n=50,故C错误： 对于D:因为当n≤25时，4，>0，S>0,所以三>0： 当n≥50时，a,<0,S。<0,所以8>0； an 当26≤n549时，a,<0,3>0,所以g<0;且0>46>4，>>4，S6>S,>>S>C S9∠0， 426427 a49 所以,中的最小项为三，故D错误故选：AB a (a 10. 记数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n(neN),则() A.数列{a}是等差数列 B.a =2n C.数列 是公差为1的等差数列 D.数列 的前项和为” +1 【答案】ABD 【分析】对于AB,根据S,a的关系求出a,表达式，根据表达式判断即可；对于C,根据表达式中n的系数 即可判断公差；对于D,由裂项相消法即可验算 【详解】对于AB,数列{an}的前n项和S。=n2+n, 当n22时，a.=Sn-Sn-1=n+n-「(0n-1)2+(n-1)]=2n, 而4=S=2满足上式，因此an=2n,所以数列{a}是等差数列，故AB正确： 对于C, 三=n+n=n+1 ,则数列 S 2 是公差为；的等差数列，故C错误： 1111 对于D, Snn+1）nn+1 1 数列 的碳利行1号片女行，行故D顺：AD 11. 设d,Sn分别为等差数列{a}的公差与前项和，若S。=So,则下列论断中正确的有() A.n=15时，Sn取最大值 B.S3o=0 C.若d>0,4。+42>0 D.若d<0时，ao>a2 【答案】BC 【分析1首先根据3。=S得到a=-9d,再依次判断选项即可得到答案 2 【详解】等差数列{a}中， 10× 29 .S0=S20,.10a+ 2d=20a+4 2 +0g12d,解得4三、3 2 d, 对选项A,因为Sn=4+ nx(n-1d=2 2 ”gd所以8-r-15咖=d0a-15旷2空a, 2 du 因为无法确定d的正负性，所以无法确定S是否有最大值，故A错误， 对选项B.,=0g+029a-30x(空d+15x291=0,赦B正确， 2 对选项C,因为d>0,所以4。+a:=2a6=24+15d0=2(2d+150=d>0,故C正确， 2 对选项D.4,=a+929+14=-,4-4+2H=2+号1， 2 2 2 2 21 d<0,=-号d、a=-号，h.小<a故D错误，放选：BC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 1 12. 己知数列{a}满足4=2,41=1- ，则42024= a. 【答案1号 【分析】根据数列的递推公式，确定数列的前几项，由此确定数列的周期，再求a24· 【详解】4=2,4-12,4=1号分4=1-2-1,81-(=2。 11 数列a}是以3为周期的周期数列，所以a=4=a片故答案为：行 13.在数列{a}中，a1=1,a2=3,n∈N4,a+2=a4H-a,Sn为{a}的前n项和，则So26= 【答案】5 【分析】由递推式可得{a}是以6为周期的数列，然后利用周期性求和即可. 【详解】：4=1,42=3，an+2=01-a,.43=42-4=2,4,=43-4=-1,4=a4-43=-3,46=45-a4=-2, a=46-a=1,4=4-4。=3,, ∴.{a}为以6为周期的数列，且S。=1+3+2-1-3-2=0, 而2026=337×6+4，S4=1+3+2-1=5,故S026=S4=5.故答案为：5. 14.己知正项数列{a}满足log3a1-loga.=1(n∈N),且a,+a,+a=9,则log(a,+a,+a6)的值是 【答案】1 【分析】根据对数的运算得到og,-1,从而得到=3，则a}是公比q=3的等比数列，即可求出 a a. a+a+a6,从而得解 【详解】因为正项数列{a,}满足log,a1-log,a,=1(neN),所以1og,=1, a 则2=3，所以{a,}是公比q=3的等比数列.又a+a,+a,=9,所以马+8+-a9+g+9=3, a2+a4+a。a2+a+a6 所以a2+a+a,=3,则10g3(4+a4+a。)=log33=1.故答案为：1 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知数列{an}满足4=1,4=3，且对任意正整数n≥3有a.=3a1-2an2,数列bn}满足 b=1,b.=a.-a1(n22) (1)证明：数列b}是等比数列； 2n-1 (2)设Cn= b,数列{c,}的前n项和S: ①求Snm: ②若不等式无”<8对任意的正整数恒成立，求实数2的取值范围」 【答案】（①）证明见解析 (2)①S=6- #, 【分析】(1)根据题目条件利用等比数列定义即可得证. (2)运用错位相减求和法求S.,根据数列单调性处理不等式恒成立，进而求出实数入的取值范围. 【详解】(1)证明：因为an=3a1-2a-2(n之3)，b.=a.-an-1（(n≥2)， 议2-8-0L=01-2--4=1=223).因为4=14=3，所以b,=4-4 4-1-0-2 又么=1，所以会=2，即证得私}是首项为1，公比为2的等比数列 公0油)阳=”，则装要8=宁三子++之 2n-2 2-1, 2Y-1 2 两式减得：义+子+会+子… 1 ,2,22n-1 2-2+2-20, 1×1- 1 即2=1+1+ 11 22+ +2所以8=-1+ 21 1,则S=6-2+3 2-1: 1- 不等式1”<S对任意的正整数恒成立，所拟2<6对任意的正整数 即2<6- 3 2n-1 设f)=62是在L+o)为增函数，所以2<了0=3故实数只的取值范国为（以，）. /型过 16.（15分)设等差数列{a}的前n项和为Sm,4=3,S,=35. (1)求{a}的通项公式： (2)设数列{a的前n项和为T.,求To 【答案】(1)a.=13-2 (2)52 【分析】(1)设公差为d,然后由等差数列的通项公式与前项和公式求解： (2)由(1)判断出{a,}前6项为正，然后由前n项和公式计算 【详解】(1)设等差数列{a}的公差为d, a=4+4d=3 a=11 则 s=5a+5×4d=35解得d=-2所以a=4+0-11=13-2n: 2 (2)由(1)知a.=-2n+13,d=-2,所以a。=1,a,=-1, T。=11+9+7+5+3+1+1+3+5+7=36+16=52 17.(15分)记Sn为数列{a}的前n项和，已知4=3， S是公差为；的等差数列： a (1)求数列{a}的通项公式： 1,1, 13 (2)证明： 十 SS 。2 3 3)令b= +三，数列色，}的前n项和为，设c,=(0n+1)T,记d为c,}在区间(0，m)meN,)中的项的个 3”.a 数，求数列{dn}的前50项和Dso 【答案】(1)4，= n(n+1) 2 (2)证明见解析 (3)1225 【分析】(1)由题可得3.=”+2a a。-n+1 )0,再由a,心的关系可得。n一，然后利用累乘法即可求解： (2)由1)可得3=-++2，则} =3 利用裂项相消法即可证明： 6 n(n+1n+1(n+2) 3 n+ 3》由D知6=3是3+n3+1》 2 21+3 1 1,裂项相消可得I，再根据定义判断求和即可。 【详解】(1)因为 )是公差为；的等差数列， a 所g8=g”g2n 3 3①. 4 1 则有8，=4+4=349434=1， 当n≥2时，S1=a 3a②， 00,得=2- 304→8=n+1 a-1n-11 则a=8g⊥及a,=m+”。43上n+ a.-14-2a24 n-1n-221 2 显然4=1也适合， 所以a=n+) 2 2)由(1)可知S,=m+2a=n(+1)n+2) 30 6 6 1 1 则 .=n0n+10n+2 =3 n(n+1)(n+1)(n+2) 1 1 于是有+及++53122x3+2x33x4+n0+D+00+2 十…十 =3 13 2(n+1)(n+2) <3× 22 3)由D可知a-+,所以6 3 n+兰 22+311 2 3”.a.3”n:0m+1)n-3+1B 11,11 于是有=1392x3+2x33x32十…+ 1 1 +n3+3l+l3 az-a1iE1方a→r安a-1, 1 (n+1)3 当=I时，显然上述不等式没有正整数解，即d,=0, 当=2时，显然上述不等式的正整数解为1，即d2=1, 当m=50时，显然上述不等式的正整数解为1,2,3,4,5，，49，即d0=49, 于是D。 (0+49)×50-125 18.(17分)己知数列{a}满足a=3,a+1 [号a+2为奇数( =N).记b=a,}meN). a.-3n,n为偶数 (1)计算b,b2,并证明数列b}为等比数列： (②设c,= aeN),月数列在，的前n项和为云，求运：-子eN) b1-1V 1 1 【答案】()么=2,6=石证明见解析： (2)证明见解析。 【分析】(1)根据题设递推关系求么，b,并得到b1=b,结合等比数列的定义即可证； a舟0得酸写61写弓1手速面可相21+号可正 【销解1①由烟设么4子子1} 22 6=a子3 2=3(4-6)+ Σ4+1-6+31 311 26 234 2 :数列0}是以号为首项，号为公比的等比数列： 3°-31 2<1- 2 3”-1 3”-1 3 <-++=-1安1分 19.(17分)数列a}满足：4+3a+5a,+L+(2n-1)a=3+(-1)-3. (1)求数列{a}的通项公式： 2a, 设6(a-10a-可 工为数列私，}的前n项和，若T<m-4+名恒成立，求实数m的取值范围。 【答案】(I)an=3",n∈N (2)m≥3或m≤1 【分析】(1)根据a,S,的关系，即可作差求解， 2)利用裂项相消法求解工)号，根据单调性可得，，进而根据川-4m+,≥求解即可。 【详解】(1)令n=1,4=3 又a+3a2+54++(2n-1)an=3+(n-1)3m1(n≥1)① 4+3a2+5a++(21-3)a-1=3+(n-2)3(n22)② 由①-②得到(2n-1)a.=(n-1)31-（n-2)3”=(2n-1)3 即：a=3”(n≥2)， 经检验，n=l,a=3也成立，故数列{an}的通项公式a.=3”,n∈N 2a, 2.3 11 (2)ba-a4-(3-3"-3-13"可 黑-+aa1+六时 1111 因为工-分一是单调适省敏列，且工<片 71 若T<m2-4+。恒成立，则m2-4m+÷≥ 2 +2≥2解得m≥3或m≤1， 实数的取值范围为≥3或m≤1.null 湘教版高中数学选择性必修第一册第1章《数列》单元测试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题目所给条件，分析数列的周期性，通过周期性得到答案． 【详解】由题知，，，，， 所以3是数列的一个周期，所以．故选：B． 2．已知数列是等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可. 【详解】由，得，设，为非零实数，则， 因为数列是等差数列， 所以，…，是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得，所以，故选：A 3．已知等差数列的首项，公差，在的每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，当时，（    ） A．4042 B．4050 C．4056 D．4058 【答案】B 【分析】得到的值，由的每相邻两项之间都插入个数后构成新的等差数列得到的首项和公差，由此得到的通项公式，进而得到. 【详解】，所以． 当时，，所以等差数列的公差为， 故，则．故选：B. 4．已知等差数列的前项和为，若，则的值为（    ） A．40 B．50 C．60 D．100 【答案】B 【分析】只需根据已知求得，再结合等差数列性质以及求和公式即可求解. 【详解】等差数列中，由，得，解得， 所以．故选：B. 5．已知数列的通项公式为为其前项积，则的最小值为（    ） A．－2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用作商法可得，进而求出，可得时，，进而分析求解即可. 【详解】当为奇数时，，当为偶数时，， 要求的最小值，只需要考虑出现奇数个奇数项时即可，又， 而，因此时，，当时，， 当时，，当时，， 综上，的最小值为．故选：B. 6．已知数列满足，且，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据递推关系，分别令，，，求得答案. 【详解】，令，可得； 令，可得；令，可得．故选：B. 7．等比数列的各项均为正数，且，．设为数列的前项和，则（    ） A．200 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知可得、，进而写出数列通项公式，则数列是首项、公差为1的等差数列，应用等差数列前n项和求，最后用裂项相消法求. 【详解】设等比数列的公比为，则，则，所以，所以． 因为，所以，所以， 所以，所以，， 即数列是首项、公差均为1的等差数列， 所以，所以， 因此，所以.故选：B 8．已知在数列中，，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据取倒数法可得，由等差数列的定义和通项公式可得，进而，结合裂项相消法求和即可． 【详解】由，得，即，又， 所以，则是以为首项，为公差的等差数列，则，故，得， 所以． 所以． 故选：A. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．数列是递减数列 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．中的最小项为 【答案】AB 【分析】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质，结合已知条件，分析数列的单调性、前项和的最值、时的最小值以及的最小项即可. 【详解】对于：因为，所以， 因为，所以，所以，且0，所以数列是递减的等差数列， 且，则当时，最大，故正确； 对于C:由上述分析可知，当时，递减， 且， 所以使得成立的最小自然数，故错误； 对于：因为当时，，所以； 当时，，，所以； 当时，，所以；且， 则有，所以，即， 所以中的最小项为，故D错误.故选：AB. 10．记数列的前项和为，且，则（    ） A．数列是等差数列 B． C．数列是公差为1的等差数列 D．数列的前项和为 【答案】ABD 【分析】对于AB，根据的关系求出表达式，根据表达式判断即可；对于C，根据表达式中的系数即可判断公差；对于D，由裂项相消法即可验算. 【详解】对于AB，数列的前项和， 当时， ， 而满足上式，因此，所以数列是等差数列，故AB正确； 对于C，，则数列是公差为的等差数列，故C错误； 对于D，， 数列的前项和，故D正确.故选：ABD. 11．设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有（   ） A．时，取最大值 B． C．若， D．若时， 【答案】BC 【分析】首先根据得到，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】等差数列中， ∵，∴，解得， 对选项A，因为，所以， 因为无法确定的正负性，所以无法确定是否有最大值，故A错误， 对选项B，，故B正确， 对选项C，因为，所以，故C正确， 对选项D，，， ∵，∴、，，故D错误，故选：BC. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】根据数列的递推公式，确定数列的前几项，由此确定数列的周期，再求 ． 【详解】，，，，， 数列是以为周期的周期数列，所以．故答案为：． 13．在数列中，，，，，为的前n项和，则 ． 【答案】5 【分析】由递推式可得是以6为周期的数列，然后利用周期性求和即可. 【详解】∵，，，∴，，，，，，…， ∴为以6为周期的数列，且， 而，，故．故答案为：5. 14．已知正项数列满足，且，则的值是 ． 【答案】1 【分析】根据对数的运算得到，从而得到，则是公比的等比数列，即可求出，从而得解. 【详解】因为正项数列满足，所以， 则，所以是公比的等比数列.又，所以， 所以，则.故答案为：1. 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证． （2）运用错位相减求和法求，根据数列单调性处理不等式恒成立，进而求出实数的取值范围． 【详解】（1）证明：因为， 所以．因为，所以． 又，所以，即证得是首项为1，公比为2的等比数列． （2）①由（1）可得，则，， ， 两式相减得：， 即，所以，则． ②因为不等式对任意的正整数恒成立，所以对任意的正整数恒成立， 即，设在为增函数，所以.故实数的取值范围为 16．（15分）设等差数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求. 【答案】(1) (2)52 【分析】（1）设公差为，然后由等差数列的通项公式与前项和公式求解； （2）由（1）判断出前6项为正，然后由前项和公式计算. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得，所以； （2）由（1）知，所以， . 17．（15分）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)令，数列的前n项和为，设，记为在区间中的项的个数，求数列的前50项和． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题可得，再由的关系可得，然后利用累乘法即可求解； （2）由（1）可得，则，利用裂项相消法即可证明； （3）由（1）知，裂项相消可得，再根据定义判断求和即可. 【详解】（1）因为是公差为的等差数列， 所以 ①， 则有， 当时，  ②， ①-②，得， 则， 显然也适合， 所以； （2）由（1）可知， 则， 于是有 ； （3）由（1）可知，所以， 于是有． ， 当时，显然上述不等式没有正整数解，即， 当时，显然上述不等式的正整数解为1，即， …… 当时，显然上述不等式的正整数解为1，2，3，4，5，…，49，即， 于是. 18．（17分）已知数列满足．记（）． (1)计算，并证明数列为等比数列； (2)设，且数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)，，证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据题设递推关系求，并得到，结合等比数列的定义即可证； （2）由（1）得，则，进而可得即可证. 【详解】（1）由题设， ， ，且， 数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）知，则， ． . 19．（17分）数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据的关系，即可作差求解， （2）利用裂项相消法求解，根据单调性可得，进而根据求解即可. 【详解】（1）令 又① ② 由①②得到 即：， 经检验，也成立，故数列的通项公式 （2） 因为是单调递增数列，且 若恒成立，则，解得或， 实数的取值范围为或． 学科网（北京）股份有限公司 $