第五章 三角函数 单元测试卷-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

湘教版高中数学必修第一册第五章《三角函数》单元测试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.己知3tam0-2=0,则os9-3sin =() sin 0+2 cos0 A.3 8 B.~3 D 2.下列是函数f(x)=tanx+二 +1的对称中心的是() 4 C.(0,1) D.1 3.已知函数()=mox+>0)在区间36) 上单调递增，且在区间(0，π)内至少有一个零点，则①的 取值范围是() c.G 居 4.已知函数f(x)=tamx+37 在(0，a上单调递增，则a的最大值为() B C. 2 5.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所 示，直角三角形中最小的一个角为(0°<<45)，且小正方形与大正方形的面积之比为1：4，则tana=() A.4-V万 B.4-V万 c.4±7 D.4±万 4 3 4 3 6.动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知当地时间t=0时， 15 点A的坐标是 22 则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的解析式是() A.y=sin 品+到 B.y=sin C.y=sin 侣+ D.y=sin sim亚x-1≤x≤1 7.己知函数f(x)= 6 ,则f(3)=() f(x-2),x>1 B.2 c.-3 D. 2 2 8.函数f()=X:simx的图象大致为() COSx+2 二、 多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，有选错的得0分) 9.函数fo)-4am(@x+列4>0心>00<p<习的部分图象如图所示，则下列结论正确的是《） A.函数f(x)的最小正周期为2元 B.函数f(y)的图象关于直线x=- 3 对称 c.a)=m3引 D.fx)的图象向右平移个单位长度后得到函数8(，=3北an 10.己知函数f(x)=Asin(ox+p)A>0,w>0,0<p< 2 的部分图象如图，则下列说法正确的是() 3π2玩5元 2 A.ω=3 B.f(x)在区间[-2π，0]上的最小值为-3 c.（受0是f()图象的一-个对称中心 D.将f(x)的图象向左平移π个单位长度后，得到的图象关于y轴对称 11.已知函数f(x)=Asin(@x+p)(A>0,o>0,0<p<)的部分图象如图所示，下列说法正确的是() 3 Aa)-2a+周到 B.x=匹是函数f()的一条对称轴 12 C.若xe0, 2 则函数f(x)的值域为[-5,2] D.将y=sx图象上所有点的横坐标缩小为原来的；倍，纵坐标变为原来的2倍，再把曲线向左移动亚个 单位，可以得到函数f(x)的图象 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.已知c0s 13. 若西数)是定义在R上的奇函数，且满足fx+=,当x0)时，f)=2sm,则 14.将函数f(x)=tanr+ 3 (®>0)的图象向左平移”个单位长度后，所得函数的图象与曲线 6 y=tan ax+) π 重合，则®的最小值为 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.13分)已知f)-sm@xg-1〔o>0),若f)-=2,fc)=0,且-x=号 6 (1)求函数f(x)的对称轴和对称中心： (2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的单调递增区间； 求实数a的取值范围 16.(15分)已知函数f(x)=2sinx+p- π 6 (o>0,0<p<π)为偶函数，且f(x)图象的相邻两对称轴间的 距离为号 (1)求∫(x)的解析式及单调递减区间： (②)将函数f(x)的图象向右平移”个单位长度，再把横坐标缩小为原来的；（纵坐标不变），得到函数y=g(:) 6 的图象，当x∈ ππ 12’6 时，求函数g(x)的值域 1.(15分)函数fe)=m(a+oM到的图像过点P号对于xeRf)sf)相成 立，此时-x最小值为 (1)求f(x)的解析式. ②若f@2号，0≤a≤元，求c的范围 ③)若∫(9)=m在0≤x≤红上有两个不相等实数根，求m的范围， 18.17分》已知函数f()-m2x+君3sm(2x号 (1)求f(x)图象的对称中心的坐标， (2)求f(x)在 兀2π 4’3 上的值域， 3)若对任意的x骨，不等式[/°-M)-6s0恒成立，求m的取货范用 19.17分》已知函数f=max(cw>0)的最小正周期为 (1)求f(x)的单调递减区间： (②)先将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移匹个单位长度，得到函数8(x) 12 的图象，若对任意的x0,不等式e)-[g≤2u+子但成立，求实数m的取值范国。 湘教版高中数学必修第一册第五章《三角函数》单元测试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．下列是函数的对称中心的是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数在区间上单调递增，且在区间内至少有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则（   ）    A． B． C． D． 6．动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知当地时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 8．函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．函数 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C． D．的图象向右平移个单位长度后得到函数 10．已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（   ）    A． B．在区间上的最小值为 C．是图象的一个对称中心 D．将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B．是函数的一条对称轴 C．若，则函数的值域为 D．将图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍，纵坐标变为原来的2倍，再把曲线向左移动个单位，可以得到函数的图象 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知，则 . 13．若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则 ． 14．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象与曲线重合，则的最小值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知，若，，且. (1)求函数的对称轴和对称中心； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若函数在区间的值域为，求实数的取值范围. 16．（15分）已知函数为偶函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域. 17．（15分）函数的图像过点，对于恒成立，此时最小值为. (1)求的解析式 . (2)若，求的范围 . (3)若在上有两个不相等实数根，求m的范围. 18．（17分）已知函数. (1)求图象的对称中心的坐标， (2)求在上的值域， (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 19．（17分）已知函数的最小正周期为π． (1)求的单调递减区间； (2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $null 湘教版高中数学必修第一册第五章《三角函数》单元测试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分子分母同除以，弦化切代入即可. 【详解】由可得，则原式分子分母同除以，可得， 故选：A. 2．下列是函数的对称中心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的对称中心进行求解即可. 【详解】令，解得，故函数的对称中心为，故AB错误； 当时，，故对称中心为，D正确，，C不满足要求．故选：D 3．已知函数在区间上单调递增，且在区间内至少有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的性质列式计算即可求解. 【详解】当时，，且时，， 由函数在区间上单调递增，故，解得，即. 当时，，由函数在区间内至少有一个零点， 则，解得.综上所述，，则的取值范围是.故选：B. 4．已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的范围，求出的范围，由正切函数的单调性可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为，所以，函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增， 所以，所以，即的最大值为.故选：A 5．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设大正方形的边长为，则小正方形的边长为，根据已知可得，由同角三角函数关系化简得，结合角的范围求. 【详解】设大正方形的边长为，则小正方形的边长为， 依题意可得，故， 即， 解得或.因为，则，故.故选：B 6．动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知当地时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定周期得到，再通过坐标，得到，即可求解. 【详解】由已知可得该函数的周期，， 又当时，，设，令，得 由，得，在一个周期内可得，，又需满足，故， .故选：D 7．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数解析式，代入即可求解. 【详解】因为，则，故选：B. 8．函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】由利用函数的奇偶性排除AB；，再结合时函数的符号即可得答案. 【详解】由，定义域为， 而，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除AB； 当时，，，则，排除C，而D满足题意.故选：D 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．函数 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C． D．的图象向右平移个单位长度后得到函数 【答案】ABD 【分析】根据题意得，，再根据正切函数的性质依次判断各选项即可. 【详解】由题知，，故A选项正确； 由于正切函数取绝对值后不影响函数的周期性， 所以，， 所以，，，即，故C选项错误； 由图可知函数的对称轴方程为，故是函数的对称轴，所以函数的图象关于直线对称，故B选项正确； 的图象向右平移个单位长度后得到函数，故D选项正确. 故选：ABD 10．已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（   ）    A． B．在区间上的最小值为 C．是图象的一个对称中心 D．将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 【答案】BCD 【分析】根据图象求得的解析式，结合三角函数周期、最值、奇偶性、对称性、图象变换等知识确定正确答案. 【详解】对于A，由题图可知，的最小正周期，所以，故A错误； 对于B，由题图可知，，且函数图象过点， 当时，，解得，所以. 当时，，由正弦函数的单调性知，函数在上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为，故B正确； 对于C，因为，所以点是函数图象的一个对称中心，故C正确； 对于D，因为，所以平移后得到的图象关于轴对称，故D正确. 故选：BCD. 11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B．是函数的一条对称轴 C．若，则函数的值域为 D．将图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍，纵坐标变为原来的2倍，再把曲线向左移动个单位，可以得到函数的图象 【答案】BD 【分析】根据函数图象可确定函数解析式判断A；利用代入检验法可判断B；利用整体法求得值域判断C；利用图象变换知识求得变换后的解析式判断D. 【详解】对于A，由图可得，所以， 所以，解得，又函数图象经过点，所以，即， 因为，所以，解得，故，故A不正确； 对于B，，所以是函数的一条对称轴，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，所以， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D，将图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍，可得的图象， 再将纵坐标变为原来的2倍，可得的图象， 再把曲线向左移动个单位，可得，故D正确. 故选：BD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知，则 . 【答案】 【分析】结合的值，确定的范围，根据同角三角函数基本关系求出的值，利用诱导公式，求得. 【详解】因为，所以，因为，所以， 所以，所以. 故答案为：. 13．若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则 ． 【答案】 【分析】由函数的奇偶性和周期性即可求解. 【详解】函数是定义在上的奇函数，则，又满足，可得的最小正周期为，又当时，，所以. 故答案为： 14．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象与曲线重合，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由题可知平移后的解析式为，根据与函数的图象重合可得即可求解. 【详解】将的图象向左平移个单位长度后得到 ，又与函数的图象重合， 所以，解得，又，所以的最小值为.故答案为： 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知，若，，且. (1)求函数的对称轴和对称中心； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若函数在区间的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数的对称轴为直线，对称中心为. (2) (3) 【分析】（1）先确定函数的最小正周期，求出，然后根据正弦函数的对称轴和对称中心公式求出即可. （2）根据正弦函数的单调性求解即可. （3）根据正弦函数的值域和图象进行求解即可. 【详解】（1）由题意得函数的最小正周期. 所以，所以. 令，得. 所以函数的对称轴为直线； 令，得. 所以函数的对称中心为. （2）令，解得. 又，所以函数的单调递增区间为，. （3）因为，所以， 因为函数在区间上的值域为， 所以在区间上的值域为， 所以结合正弦函数的图象可得，解得. 所以实数的取值范围为. 16．（15分）已知函数为偶函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域. 【答案】(1)，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）根据题设易得，进而求得，再根据正弦型函数的奇偶性可求得，即可求得的解析式，再根据余弦函数的性质求解即可； （2）先根据题意得到，再结合余弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为， 所以函数的最小正周期，可得， 又由函数为偶函数，可得，解得， 因为，所以， 则， 令，解得， 故的单调递减区间为． （2）将函数的图象向右平移个单位长度， 可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，，则， 故， 即函数的值域为. 17．（15分）函数的图像过点，对于恒成立，此时最小值为. (1)求的解析式 . (2)若，求的范围 . (3)若在上有两个不相等实数根，求m的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意判断函数最小正周期，以及函数上的点的坐标，求出参数，写出函数解析式即可. （2）根据函数单调性，列出不等式，求出解得范围即可. （3）根据函数单调性，求出在给定区间上的值域，进而判断参数的范围. 【详解】（1）当恒成立，此时最小值为，可知最小正周期，所以， 则过点，代入得， 化简得，即，解得， 因为，所以，可得； （2）当时，可得， 解得， 因为，所以当时，得，当时，得， 所以的范围为. （3）当时，， 设， 可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 可知， 当在上有两个不相等实数根时. 18．（17分）已知函数. (1)求图象的对称中心的坐标， (2)求在上的值域， (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由两角和差的正弦公式展开，再由辅助角公式得到，再由整体代入法即可求解； （2）由，得到，再结合正弦函数的性质即可求解； （3）令，问题转换成对任意的，不等式恒成立，由二次函数的性质即可求解. 【详解】（1） ， 令， 解得：， 所以图象的对称中心的坐标为； （2）因为，所以， 当，即时，取得最大值，； 当，即时，取得最小值，； 所以在上的值域是 （3）设， 则对任意的，不等式恒成立，等价于： 对任意的，不等式恒成立， 所以， 解得：， 即的取值范围是. 19．（17分）已知函数的最小正周期为π． (1)求的单调递减区间； (2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）首先根据周期公式求出的值，进而得到函数的表达式，再根据正弦函数的单调性求出的单调递减区间； （2）然后根据三角函数图象的伸缩和平移变换规则求出的表达式，最后通过求解不等式恒成立问题，确定实数m的取值范围． 【详解】（1）因为的最小正周期为，所以， 所以． 令，，得，， 故的单调递减区间为，． （2）由题可知将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍， 得函数，再将所得图象向左平移个单位长度， 得到函数， 令， 令，，则， 因为， 所以当时，取得最大值， 所以，解得或， 故实数m的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $