高中数学单元测试——第5章三角函数（适中版01）

**基本信息** 高中数学三角函数单元复习卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，覆盖任意角、三角函数性质及实际应用，适配单元复习，体现数学建模与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|终边相同角、定义域、三角函数定义|基础概念辨析，如终边相同角判断| |多选题|3/18|函数性质、图象对称性|多维度性质考查，如周期与对称中心判断| |填空题|3/15|三角变换、图象变换|逆向思维训练，如由图象求参数| |解答题|5/67|五点作图、实际应用、新函数探究|结合摩天轮情境考查建模（题18），定义“余正弦”函数培养创新思维（题19）|

高中数学单元测试 —— 第5章 三角函数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列各角中，与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断两角是否相差整数倍即可. 【详解】对于A，，所以与角终边不相同，故A错误； 对于B，，所以与角终边相同，故B正确； 对于C， ，所以与角终边不相同，故C错误； 对于D，，所以与角终边不相同，故D错误. 故选：B. 2．（本题5分）定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据正切函数的定义域列出不等式解出即可. 【详解】由题意得， 解得，故定义域为. 故选：B. 3．（本题5分）角的终边过点，（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义求得正确答案. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 故选：D 4．（本题5分）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角的三角函数关系式，将原式化简为关于的式子，然后将已知代入求解即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：D. 5．（本题5分）下列函数中，以为周期的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦余弦正切函数的周期计算判断各个选项即可. 【详解】的周期为，A选项不正确； 的周期为，B选项不正确； 的周期为，C选项正确； 的周期为，D选项不正确； 故选：C. 6．（本题5分）函数在区间上的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性及函数值的正负确定. 【详解】函数， 令，为奇函数， 为偶函数，所以函数为奇函数，排除选项AB， ，，， 所以，排除选项C， 故选：D. 7．（本题5分）已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先求出正弦型函数的单调递减区间，再根据题给区间是减区间的子集建立不等式组，求解得到的取值范围后确定最大值. 【详解】正弦函数的单调递减区间为. 令，则的单调递减区间满足： ， 解不等式得： . 由于在上单调递减，故，， 同时区间长度，得. 当时，则 ，解得，即. 当时，无解； 当时，对应减区间不符合题设区间要求， 因此的最大值为. 8．（本题5分）定义在上的函数，若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的单调性结合对数的运算和三角函数的单调性可得. 【详解】函数在上单调递增,函数在上单调递减， 所以在上单调递增， 由为偶函数，故 又，而，即， 故. 故选：A 二、多选题 9．（本题6分）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点则（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用三角函数定义结合诱导公式逐项判断即可. 【详解】由三角函数定义可得，，， 对于A选项，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：BD. 10．（本题6分）已知函数，下列说法正确的是（ ） A．函数的周期为 B．是函数的一个对称中心 C．函数在区间上单调递增 D．方程的解为 【答案】ABC 【分析】根据正切函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，函数函数的周期，故A正确； 对于B，因为， 所以是函数的一个对称中心，故B正确； 对于C，由，得，所以函数在内无间断点且单调递增，故C正确； 对于D，由，可得，所以， 解得，故D错误. 故选：ABC. 11．（本题6分）函数的部分图象如图，下列说法正确的有（   ） A． B．函数的图象关于对称 C．函数在上的值域为 D．要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位 【答案】AD 【分析】根据函数图象求函数 的解析式,即可得到选项 A 正确; 利用 可知选项 B 错误; 根据 可得 ,结合函数的单调性可知选项 C 错误；利用函数图象平移的原则可知选项 D 正确. 【详解】选项 A ：设函数的最小正周期为 ，由图可知，，故 . 因为所以. 因为函数图象最高点为 ，所以， 所以，故 ， 因为，所以，选项 A 正确. 选项 B ：由 A 可得 ， 故直线 不是函数 的对称轴，选项 错误. 选项 C ：当 时，，，， 故函数 在 上的值域为 ，选项C错误. 选项 D ：由题意得，， 将函数 的图象向左平移 个单位后的函数表达式为： ，选项D正确. 三、填空题 12．（本题5分）若，则_______． 【答案】 【分析】利用诱导公式逐步化简可得答案. 【详解】由题意可得，则，所以． 故答案为： 13．（本题5分）已知函数的图象经过点，请写出一个符合要求的的值，则_____. 【答案】（答案不唯一） 【分析】将点代入，利用余弦函数的图象和性质，求值即可. 【详解】由题意：，. 所以，. 所以的值可以为：，，… 故答案为：（答案不唯一） 14．（本题5分）将函数的图象向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，且函数的最小正周期．已知，则______． 【答案】 【分析】根据题设得到，再利用条件，可得或，再利用，即可求解. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度， 得函数的图象， 再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 因为，有，又，则， 得到，由，得， 所以或， 解得或， 函数的最小正周期，则，则， 当时，有符合条件. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知函数，. (1)在用“五点法”作函数的图象时，列表如下： 0 0 2 0 0 完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象； (2)求函数的最小正周期及单调递增区间. 【答案】(1)列表： 0 x 0 2 0 0 函数图象如图所示， (2)；单调递增区间：， 【分析】（1）利用给定的角依次求出对应的三角函数值，进而填表，结合“五点法”画出图象即可； （2）根据正弦函数的周期性和单调性计算即可. 【详解】（1） 0 x 0 2 0 0 函数图象如图所示， （2）由，可知； 令，， 得，. 所以函数的单调递增区间：，. 16．（本题15分）已知函数（，），的部分图象如图所示，，Q分别为该图象的最高点和最低点，点的坐标为． (1)求的最小正周期及的值； (2)若点的坐标为，且，求A的值． 【答案】(1)6， (2)3 【分析】（1）由三角函数的周期公式求解最小正周期；由为函数图象的最高点，列式求得； （2）过点Q作于点S，由题意可得，即可求解. 【详解】（1）函数的最小正周期， 由为函数图象的最高点，得，， 解得，， 而，所以. （2）过点Q作于点S， ∵，，∴， ∵，∴， ∵，，Q分别为该图象的最高点和最低点，∴， ∴. 17．（本题15分）已知函数． (1)求函数的最小正周期、振幅、初相及图象的对称轴方程； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，当时，求函数的值域． 【答案】(1)最小正周期为；振幅为；初相为；对称轴方程为. (2) 【分析】（1）根据正弦函数的性质来求解最小正周期、振幅、初相和对称轴方程. （2）先根据平移规律得到的表达式，再结合的取值范围求解其值域. 【详解】（1）因为， 所以最小正周期为；振幅为；初相为； 对称轴方程为，解得. （2）由题意知，. 因为，所以，所以. 所以. 故函数的值域为. 18．（本题17分）“星空摩天轮”是某游乐园的标志性观光设施，游客乘坐座舱沿圆形轮盘圆心O匀速转动，可俯瞰城市全景.该设施的轮盘最高点距离地面100m，轮盘直径为90m，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在距离地面最近的位置进入座舱，转一周需要20min.以轮盘圆心为原点，与地面平行的直线为轴，上下方向的直线为轴建立平面直角坐标系： (1)游客甲坐上座舱后，转动时距离地面的高度为（单位：m)，求转动过程中关于的函数解析式； (2)若游客甲在最低点进入座舱时，游客乙恰好位于x轴负半轴与轮盘的交点A处 （i）转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是多少？ （ii）当座舱距离地面高度不低于m时，可清晰地看到城市的“灯光秀”这段时间称为“观秀时段”，求游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长. 【答案】(1)，； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据题意设，，再结合题意求解对应的参数即可得答案； （2）（i）结合（1）考虑游客乙的初始位置得游客乙距离地面的高度关于的关系为，，再解方程即可得答案； （ii）结合题意，解不等式得，进而求时间差即可得答案. 【详解】（1）根据题意，设关于的函数解析式为， 由题知，轮盘最高点距地面100m，直径90m，最低点距离地面为10m， 时，游客甲从最低点逆时针匀速转动，即时， 周期， 所以，解得， ，解得， 所以，当，，即，解得， 所以，，整理得，； 所以，关于的函数解析式为：， （2）（i）由（1）知，游客乙距离地面的高度与时间的关系为：， 考虑游客乙的初始位置，当时，游客乙距离地面的高度为55m，且开始后高度降低， 故，即，解得， 即游客乙距离地面的高度关于的关系为，， 即， 所以，时刻时，游客乙距离地面的距离为； 游客甲距离地面的距离为 所以，即， 所以，首次相等对应最小正解,即，即 所以，转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是. （ii）由题，，即， 所以，解得，时间间隔为：， 所以游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长. 19．（本题17分）定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 (3)在是严格减函数，在上严格增函数；最小正周期为；理由见解析.值域为. 【分析】（1）根据函数定义域的求法，求得的定义域. （2）根据函数奇偶性的定义，求得的奇偶性. （3）结合题目所给的解题思路，求得的单调区间、最小正周期、值域. 【详解】（1）的定义域为. （2）对于函数， ，所以是偶函数. （3）， 在区间上递减，在区间上递增，所以在上递减. 在区间上递增，在区间上递增，所以在上递增. 所以的最小正周期为， 在上是严格减函数，在上是严格增函数. 结合的单调性可知，的值域为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第5章 三角函数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列各角中，与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）角的终边过点，（   ） A．2 B． C． D． 4．（本题5分）已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）下列函数中，以为周期的函数是（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）函数在区间上的图象大致为（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 8．（本题5分）定义在上的函数，若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点则（ ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数，下列说法正确的是（ ） A．函数的周期为 B．是函数的一个对称中心 C．函数在区间上单调递增 D．方程的解为 11．（本题6分）函数的部分图象如图，下列说法正确的有（   ） A． B．函数的图象关于对称 C．函数在上的值域为 D．要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位 三、填空题 12．（本题5分）若，则_______． 13．（本题5分）已知函数的图象经过点，请写出一个符合要求的的值，则_____. 14．（本题5分）将函数的图象向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，且函数的最小正周期．已知，则______． 四、解答题 15．（本题13分）已知函数，. (1)在用“五点法”作函数的图象时，列表如下： 0 0 2 0 0 完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象； (2)求函数的最小正周期及单调递增区间. 0 x 0 2 0 0 0 x 0 2 0 0 16．（本题15分）已知函数（，），的部分图象如图所示，，Q分别为该图象的最高点和最低点，点的坐标为． (1)求的最小正周期及的值； (2)若点的坐标为，且，求A的值． 17．（本题15分）已知函数． (1)求函数的最小正周期、振幅、初相及图象的对称轴方程； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，当时，求函数的值域． 18．（本题17分）“星空摩天轮”是某游乐园的标志性观光设施，游客乘坐座舱沿圆形轮盘圆心O匀速转动，可俯瞰城市全景.该设施的轮盘最高点距离地面100m，轮盘直径为90m，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在距离地面最近的位置进入座舱，转一周需要20min.以轮盘圆心为原点，与地面平行的直线为轴，上下方向的直线为轴建立平面直角坐标系： (1)游客甲坐上座舱后，转动时距离地面的高度为（单位：m)，求转动过程中关于的函数解析式； (2)若游客甲在最低点进入座舱时，游客乙恰好位于x轴负半轴与轮盘的交点A处 （i）转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是多少？ （ii）当座舱距离地面高度不低于m时，可清晰地看到城市的“灯光秀”这段时间称为“观秀时段”，求游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长. 19．（本题17分）定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $