高中数学单元测试——第四章指数函数、对数函数与幂函数（较易版02）

**基本信息** 高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数较易版单元卷，适用于单元复习，以基础巩固为主，融合实际应用情境，培养数学眼光、思维与语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|指数对数运算、函数定义与单调性|基础概念辨析，如指数函数判定| |多选题|3/18|幂函数性质、函数交点|多选项组合，考查逻辑推理| |填空题|3/15|定点问题、值域、降解残留量计算|结合实际情境，如橡胶轮胎降解| |解答题|5/77|幂函数解析式与单调性证明、有毒气体浓度处理、污染物处理时间|分层设计，如化工厂浓度问题体现模型意识，证明题培养推理能力|

高中数学单元测试 —— 第四章 指数函数、对数函数与幂函数（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 2．（本题5分）的值是（    ） A．2 B． C． D． 3．（本题5分）若则（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 6．（本题5分）已知指数函数，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）设方程的根为，方程的根为，则的值为（    ） A．4 B．2 C．0 D． 二、多选题 9．（本题6分）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）（多选）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B．的定义域是 C．在定义域上单调递减 D．无最小值 11．（本题6分）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）设函数过定点，则_____________． 13．（本题5分）函数的值域为，能使成立的一个值为________． 14．（本题5分）某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量与时间（单位：年）的关系式为，其中为初始量，为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎5年后的残留量为初始量的80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过___________年，其残留量为初始量的10%．（参考数据：） 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数为偶函数. (1)求幂函数的解析式； (2)若函数，根据定义证明在区间上单调递增. 16．（本题15分）某化工厂在进行生产的过程中由于机器故障导致某种试剂含量超标，已知该试剂超标后会产生一种有毒气体，在疏散工人，处理好超标试剂后，工厂启动应急系统进行处理，已知工厂内部有毒气体的浓度与应急系统处理时间t（小时）之间存在函数关系（其中），且应急系统处理2小时后，有毒气体的浓度为162ppm，继续处理，再过6小时后，有毒气体的浓度为48ppm． (1)求a，λ的值； (2)当有毒气体的浓度降低到以下（含）时，工厂能够正常运行，假设从启动应急系统开始经过t小时后，工厂能够恢复正常生产，求t的最小值． 17．（本题15分）已知函数：，. (1)若过定点，求的单调递增区间； (2)若值域为，求的取值范围. 18．（本题17分）近年来，赣州市坚定走生态优先､绿色发展之路，获评生态环境领域激励表扬城市.某校数学建模小组开展“保护环境，从我做起”研究活动，发现某类污染物处理时间（单位：天）与污染物排放量（单位：吨）之间满足关系式（其中均为常数），且当时，；当时，. (1)求的值； (2)若污染物排放量为时，求所需的处理时间； (3)若污染物分两次处理，排放量分别为和，其中，求所需的总处理时间的最小值. 19．（本题17分）已知，. (1)证明：； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)若函数的图象在区间上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 指数函数、对数函数与幂函数（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2．（本题5分）的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算法则计算得解. 【详解】. 故选：B 3．（本题5分）若则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数对数互化和对数的运算法则. 【详解】已知， 对等式两边取以为底的对数： 化简， 即 故选：D 4．（本题5分）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数定义即可判断. 【详解】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 5．（本题5分）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的特征，结合经过的点即可求解. 【详解】由指数函数的图象经过点可得 ，解得， 所以， 故选：A 6．（本题5分）已知指数函数，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数概念得，再根据指数函数性质即可得答案. 【详解】由为指数函数得，解得， 又且，故， 所以函数，令得，此时， 所以函数的图象过定点. 故选：A 7．（本题5分）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数单调性求出函数的单调递增区间，结合题意可得出区间的包含关系，即可得出实数的取值范围. 【详解】对于函数，有，解得或， 故函数的定义域为， 因为内层函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为外层函数为增函数，故函数的增区间为， 因为函数在上单调递增，所以， 故，即实数的取值范围是. 故选：D. 8．（本题5分）设方程的根为，方程的根为，则的值为（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据反函数的性质，解得直线的位置关系，建立方程，可得答案. 【详解】由题意，作图如下： 由方程的根为，则函数与的交点为； 由方程的根为，则函数与的交点为. 由函数与的图象关于对称，且直线与直线垂直， 则与关于直线对称，即，， 由题意可得：，，则，， 所以. 故选：A. 二、多选题 9．（本题6分）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】根据对数的运算法则，逐一分析选项即可得答案. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：BCD 10．（本题6分）（多选）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B．的定义域是 C．在定义域上单调递减 D．无最小值 【答案】AD 【分析】根据幂函数过点可以求出解析式，然后逐项分析即可. 【详解】设幂函数，为常数，因为的图象过点， 所以，所以， 所以幂函数，故A选项正确； 由可知函数定义域为，故B选项不正确； 因为，此时， 不满足在定义域上单调递减，故C选项不正确； 由的函数定义域为，值域为， 所以无最小值，故D选项正确； 故选：AD. 11．（本题6分）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用函数和互为反函数，确定关系，可判断AB，结合二次函数性质判断CD． 【详解】函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称， 作出它们的图象及直线，由直线与直线垂直， 且交点为知，， 因此，所以有： ， ， 正确的ABD，错误的是C， 故选：ABD． 三、填空题 12．（本题5分）设函数过定点，则_____________． 【答案】4 【分析】根据对数函数的图象性质列方程组求解即得，利用换底公式和对数运算性质即得答案. 【详解】由过定点，可知， 解得，故. 故答案为：4. 13．（本题5分）函数的值域为，能使成立的一个值为________． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】首先求出函数的值域为，再利用集合间的包含关系即可求得的取值范围，即可得到答案. 【详解】函数的值域为，因为，所以. 故答案为：0 14．（本题5分）某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量与时间（单位：年）的关系式为，其中为初始量，为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎5年后的残留量为初始量的80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过___________年，其残留量为初始量的10%．（参考数据：） 【答案】50 【分析】根据已知条件可以得出，将代入结合对数的运算化简即可得结果. 【详解】由，可得，故． 当时，，即，当时，， 两式相除可得 故答案为：50. 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数为偶函数. (1)求幂函数的解析式； (2)若函数，根据定义证明在区间上单调递增. 【答案】(1)； (2) 由（1）得，故. 设, 则， 因为，所以，，所以, 所以，即， 故在区间上单调递增. 【分析】（1）根据幂函数的定义可得，结合函数的奇偶性即可求解； （2）由（1）得，设,作差即可证明. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以,解得或. 当时，为偶函数，满足题意； 当时，为奇函数，不满足题意. 故. （2）略 16．（本题15分）某化工厂在进行生产的过程中由于机器故障导致某种试剂含量超标，已知该试剂超标后会产生一种有毒气体，在疏散工人，处理好超标试剂后，工厂启动应急系统进行处理，已知工厂内部有毒气体的浓度与应急系统处理时间t（小时）之间存在函数关系（其中），且应急系统处理2小时后，有毒气体的浓度为162ppm，继续处理，再过6小时后，有毒气体的浓度为48ppm． (1)求a，λ的值； (2)当有毒气体的浓度降低到以下（含）时，工厂能够正常运行，假设从启动应急系统开始经过t小时后，工厂能够恢复正常生产，求t的最小值． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）将两组条件分别代入解析式，得到方程组，求解即得； （2）依题，使（1）中求出的解析式小于，解不等式即得. 【详解】（1）依题意可得，由可得：，即，故， 代入①，，故. （2）令，即得，因是减函数， 则，解得，故t的最小值为20. 17．（本题15分）已知函数：，. (1)若过定点，求的单调递增区间； (2)若值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由过定点求出，再由真数大于零求出定义域，根据复合函数的单调性可得答案； （2）由题意可知可以取到的任何数，令，然后分、、讨论可得答案. 【详解】（1）由过定点，则， 即，解得，所以， 由得函数的定义域是：， 因为在上单调递增，在上单调递减， 可得在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间是； （2）若值域为，则可以取到的任何数， 令， 当时，，显然可以取到的任何数，故成立； 当时，开口向上，只需要其， 即，即，解得，又，故； 当时，开口向下，不可以取到的所有值，故不符合； 综上可知，的取值范围是. 18．（本题17分）近年来，赣州市坚定走生态优先､绿色发展之路，获评生态环境领域激励表扬城市.某校数学建模小组开展“保护环境，从我做起”研究活动，发现某类污染物处理时间（单位：天）与污染物排放量（单位：吨）之间满足关系式（其中均为常数），且当时，；当时，. (1)求的值； (2)若污染物排放量为时，求所需的处理时间； (3)若污染物分两次处理，排放量分别为和，其中，求所需的总处理时间的最小值. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由题干中的函数解析式以及给定的值，建立方程组，结合对数运算，可得答案； （2）由（1）所得函数解析式，代入给定值，可得答案； （3）由基本不等式，可得答案. 【详解】（1）由题意知，得，故， 两式相减可得，故， 故． （2）由（1）可知，当时，， 故所需的处理时间为天. （3）， 当且仅当时取等号， 故所需的总处理时间的最小值为天. 19．（本题17分）已知，. (1)证明：； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)若函数的图象在区间上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围. 【答案】(1). (2)在上单调递增，证明如下： 的定义域为，任取，，则，即， 由，可得， 故在上单调递增. (3) 【分析】（1）将函数式代入待证式，计算即得证； （2）根据函数的单调性定义，和指数函数的单调性证明即可； （3）将在区间上与x轴有2个交点转化成在时有2个实数根，利用函数的单调性求出的值域，即得参数m的取值范围. 【详解】（1）略 （2）略 （3）.因为的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，在时有2个实数根， 即在时有2个实数根， 令，易知在区间上单调递增，故， 由可得，令，， 由对勾函数性质可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，，作函数草图如图， 当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，即实数m的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $