高中数学单元测试——第4章幂函数、指数函数和对数函数（适中版01）

**基本信息** 该单元卷聚焦高中数学第4章幂函数、指数函数和对数函数，通过基础巩固与综合应用的分层设计，结合新能源汽车销售等时代情境，适配单元复习，可有效检测数学抽象、运算推理及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数定义、求值、图像识别|如第5题考函数图像辨析，体现几何直观| |多选题|3/18|单调性、奇偶性等性质|如第10题探究分段函数单调区间，培养推理意识| |填空题|3/15|反函数、单调性、零点|第12题考对称图像，强化抽象能力| |解答题|5/77|指对运算、函数应用|第18题以新能源汽车销售为情境建函数模型，凸显数据意识与模型观念|

高中数学单元测试 —— 第4章 幂函数、指数函数和对数函数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数幂的运算性质可化简得出所求代数式的值. 【详解】由题意得. 故选：A. 2．（本题5分）若，则x的值为（    ） A．2 B．2或4 C．4 D．或 【答案】C 【分析】先对等式两边平方，消去根式，再解一次方程并验证． 【详解】， ，解得， 将代入原方程左边：，左边等于右边，故是原方程的解， ． 故选：C． 3．（本题5分）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出函数解析式，代入可得答案. 【详解】设，因为幂函数的图象过点，所以， 解得，所以. 故选：D. 4．（本题5分）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的单调性可比较，的大小，且，，再与比较大小，即可求解. 【详解】因为是减函数，且， 所以，即； 又，所以. 故选：C. 5．（本题5分）已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合两函数的单调性及恒过的定点检验各选项即可判断． 【详解】结合与可知，两函数单调性一定相反，排除选项A； 因为恒过定点，恒过定点，排除选项B，D． 故选：C． 6．（本题5分）设函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减 【答案】C 【分析】先利用奇偶函数的定义，判断出的奇偶性，再由指数函数的性质，即可求解. 【详解】易知的定义域为，又，所以是偶函数， 当时，，易知在区间单调递增， 故选：C. 7．（本题5分）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知时，，故将问题转化为时，的取值范围覆盖，再分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】由题知当时，， 故要使函数的值域为，需满足当时，的值域覆盖. 由于时， 当时，，显然不满足题意； 当时，在上单调递减，其值域为，不满足题意； 当时，在上单调递增，其值域为，此时要满足题意，只需，即，故. 综上, 实数的取值范围是 故选：A 8．（本题5分）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据零点分析得，然后利用指数函数单调性和反比例函数的单调性可知，函数在单调递增，进而利用零点存在性定理列不等式求解即可. 【详解】当时，在上恒成立，此时在区间内无零点； 要使函数的一个零点在区间内，则， 因为函数和在单调递增，所以函数在单调递增， 由零点存在性定理可知，解得． 故选：B 二、多选题 9．（本题6分）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对A，利用不等式性质判断；对 B，利用幂函数单调性判断；对C，利用对数函数单调性判断；对D，利用对数函数单调性判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，函数在上单调递增，又，所以，故B正确； 对于C，因为在上单调递减，又，所以，故C正确； 对于D，因为在上单调递减，又，所以，故D错误. 故选：BC. 10．（本题6分）（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】ACD 【分析】首先换元，设，，，再结合复合函数的单调性，判断AB；根据函数的单调性，求出函数的最值，判断CD. 【详解】设，，它是增函数，且，， ，它在上递增，在上递减， 因此在上递增，在上递减，故A正确， B错误； ∴，故C正确； 又，，的最小值是，故D正确. 故选：ACD. 11．（本题6分）已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（   ） A．实数m的取值范围为 B．的最大值为1 C． D．取值范围为 【答案】ACD 【分析】画出的函数图象，数形结合判断A；根据是方程的两根，利用韦达定理判断B；根据判断C；利用的范围求出的范围，再结合对勾函数的单调性判断D. 【详解】画出的函数图象如图： 由图象可知，，故A正确； 因是方程的两根，则， 故无最大值，故B错误； ，则，则，故C正确； 因，则，得， 则， 因在上单调递增，，， 故，即，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（本题5分）若函数与的图象关于直线对称，则为______. 【答案】3 【分析】利用反函数的概念计算即可. 【详解】易知函数与的图象关于直线对称， 即上一点，则有在上， 设，则，解得. 故答案为：3 13．（本题5分）已知 是增函数，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，建立关于的不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】当时，单调递增. 若使在上单调递增，则. ∵是增函数， ∴，解得 ，即的取值范围是. 故答案为：. 14．（本题5分）已知函数，若有个零点、、，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】分析可知有个非负实根，方程有个不相等的负实根，可求出的取值范围，再由零点的定义得出，其中，构造函数，，求出其值域，即可得出的取值范围. 【详解】若函数有个零点，则当时，因为函数在上单调递增， 则方程有个非负实根，因为，所以； 当时，方程有个不相等的负实根， 所以，，解得， 综上，的取值范围为. 依题意有，则，， 令，， 因为函数、在上均为增函数， 所以在上单调递增，所以， 故的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）（1）已知，，试用a，b表示； （2）求值：． 【答案】（1） ；（2）1 . 【分析】（1）根据对数运算法则进行计算； （2）非零数的零次幂等于1，结合对数运算法则求出结果. 【详解】（1）因为， 而，，所以． （2） ． 16．（本题15分）已知函数. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)为奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）首先求出函数的定义域，再计算，即可证明； （2）首先判断函数的单调性，根据单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 又， 所以函数是定义在上的奇函数. （2）因为， 又在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 又， 不等式，即，即，即， 解得， 所以的取值范围为. 17．（本题15分）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)当时，的最小值为，求函数的解析式； (3)若对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入，结合指数幂的运算直接求解即得. （2）令，则，将问题转化为求解最小值问题，根据和两种情况分类讨论求解即可. （3）利用换元法将恒成立问题转化为恒成立，令，则，然后利用函数的单调性求解最值即可求解. 【详解】（1）因为函数且，所以，即，解得； （2）令，因为，所以，则转化为， 此抛物线开口向上，且对称轴， 当，即时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调的递减，在上单调递增， 则. 综上，； （3）由，得， 令，则， ，令， 则由得，当且仅当时等号成立， 所以， 由题意知恒成立，令，则， 显然在上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围为. 18．（本题17分）中国新能源技术引领全球发展趋势，新能源汽车备受人们喜爱．某销售部统计了6个月新能源汽车的销售量（百辆）如下表： 第个月 1 2 3 4 5 6 销售量（百辆） 3 5 6.2 7 7.6 8.2 为描述从第1个月开始销售量随时间的变化关系，现有三个函数模型可供选择：①；②；③． (1)请选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选择表中的数据，求出函数解析式； (3)预测从第几个月开始销售量不低于11百辆? 【答案】(1)模型②，理由： 由表中数据可知，销售量逐月增加，但增加速度随的增加而变慢． 对于模型①，销售量逐月减少，不符合题意； 对于模型②，销售量逐月增加，但增加速度随的增加而变慢，符合题意； 对于模型，销售量逐月增加，但增加速度随的增加而变快，不符合题意， 所以最符合实际的函数为模型②． (2) (3)第16个月 【分析】（1）结合表格根据每个函数模型销售量和月份的增减变化逐一判断； （2）选取两组数据，构建关于的方程组，求解即可； （3）根据题意和（1），求解不等式即可. 【详解】（1）略 （2）选取数据组，代入， （可选择中任意两组） 得，解得， 故函数解析式为． （3）令， 即，解得， 故从第16个月开始销售量不低于11百辆． 19．（本题17分）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值并用定义证明函数在上单调递增； (2)解不等式：； (3)若方程在内有解，求实数b的取值范围. 【答案】(1)；证明见解析； (2)； (3) 【分析】（1）由题可得，据此可得解析式；然后取，，证明 即可； （2）由（1）分析结合题意可得，解不等式可得答案； （3）由（1）分析可得等价于，则的范围为函数在上的值域，然后令，研究函数值域可得答案. 【详解】（1）因是R上的奇函数， 则.则. 取，，. 因，，则，，. 从而，则在R上单调递增； （2），结合（1）分析，可得： . 或， 则； （3）在上有解，由（1）分析可知等价于： ， 则的范围为函数在上的值域. 令，则.令. ，得其在上单调递减，在上单调递增. 则，. 则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第4章 幂函数、指数函数和对数函数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）若，则x的值为（    ） A．2 B．2或4 C．4 D．或 3．（本题5分）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．3 4．（本题5分）若，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）设函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减 7．（本题5分）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．的最大值是 D．的最小值是 11．（本题6分）已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（   ） A．实数m的取值范围为 B．的最大值为1 C． D．取值范围为 三、填空题 12．（本题5分）若函数与的图象关于直线对称，则为______. 13．（本题5分）已知 是增函数，则的取值范围是_____. 14．（本题5分）已知函数，若有个零点、、，则的取值范围为______. 四、解答题 15．（本题13分）（1）已知，，试用a，b表示； （2）求值：． 16．（本题15分）已知函数. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若，求的取值范围. 17．（本题15分）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)当时，的最小值为，求函数的解析式； (3)若对任意实数均成立，求实数的取值范围. 18．（本题17分）中国新能源技术引领全球发展趋势，新能源汽车备受人们喜爱．某销售部统计了6个月新能源汽车的销售量（百辆）如下表： 第个月 1 2 3 4 5 6 销售量（百辆） 3 5 6.2 7 7.6 8.2 为描述从第1个月开始销售量随时间的变化关系，现有三个函数模型可供选择：①；②；③． (1)请选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选择表中的数据，求出函数解析式； (3)预测从第几个月开始销售量不低于11百辆? 19．（本题17分）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值并用定义证明函数在上单调递增； (2)解不等式：； (3)若方程在内有解，求实数b的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $