高中数学单元测试——第2章一元二次函数、方程和不等式（较易版02）

**基本信息** 本单元卷聚焦一元二次函数、方程和不等式核心内容，以基础巩固为主，通过分层题型与现实情境题，适配单元复习，助力数学思维与推理能力培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|不等式性质、解集求解|基础概念辨析，如比较大小、简单不等式解法| |多选题|3题18分|不等式命题真假、方程根的分布|多选项辨析，如方程正根充要条件判断| |填空题|3题15分|实际情境转化、基本不等式|生活情境应用，如“限质量”不等式表示| |解答题|5题77分|不等式解集、证明、实际利润问题、恒成立、根与系数关系|综合应用与创新，如公司利润函数构建（现实情境）、类比推导三次方程根与系数关系（推理意识）|

高中数学单元测试 —— 第2章 一元二次函数、方程和不等式（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列四个式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取特殊值即可排除ACD，根据不等式的基本性质可判断B. 【详解】取，排除ACD，因为，所以，B正确. 故选：B 2．（本题5分）已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，计算化简，即可得答案. 【详解】由题意 ， 当且仅当时取等号， 所以. 故选：A 3．（本题5分）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】整理可得，结合一元二次不等式运算求解即可. 【详解】因为，可得，解得， 所以不等式的解集为. 4．（本题5分）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】由，得，即， 则，解得， 则不等式的解集为. 故选：C 5．（本题5分）关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得， 所以的解集为. 故选：A. 6．（本题5分）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质可求的取值范围. 【详解】由条件，又，故， 所以． 故选：B 7．（本题5分）已知正实数a，b，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，则，再代入已知，可得关于的一元二次方程有正实数根，再根据求解即可. 【详解】令，则， 则， 由题意知关于的一元二次方程有正实数根， 因为，， 所以，解得， 即. 所以的取值范围是. 故选：D 8．（本题5分）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】由题意可得，由基本不等式可得的最小值等于，故，从而得到实数的最大值． 【详解】由不等式可得， 故的最小值． 因为，当且仅当时，等号成立， 故的最小值等于， 故，所以，则实数的最大值为. 故选：A． 二、多选题 9．（本题6分）已知，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】当时可判断A选项；当时可判断B选项；C选项利用不等式的性质即可判断；当时可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，，则，故A错误； 对于B选项，若，则当时，，故B错误； 对于C选项，若，则，两边同时乘以得，故C正确； 对于D选项，当时，满足，此时，故D错误. 故选：ABD. 10．（本题6分）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】ABD 【分析】利用二次方程根的分布求出实数的取值范围，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，当时，方程为，， 即方程无实数解，A错； 对于B选项，若方程有两个正根，则，解得， 即方程有两个正根的充要条件是，B错； 对于C选项，若方程无实数根，则，解得， 故方程无实数根的一个充分不必要条件是，C对； 对于D选项，若方程有一个正根一个负根，设这两根分别为、，则，解得， 故方程有一个正根一个负根的充要条件是，D错. 故选：ABD. 11．（本题6分）下列说法正确的是（   ） A．若，则的最小值为4 B．的最小值为6 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则的最小值为 【答案】BC 【分析】由配凑法结合基本不等式即可求解判断AB；由进行配凑得到，再结合基本不等式常数“1”的等价代换法即可计算求解判断C；由基本不等式常数“1”的等价代换法即可计算求解判断D. 【详解】若，则， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，故A错误； ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为6，故B正确； 若，，且，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 若，，且，则， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为.故D错误. 故选：BC 三、填空题 12．（本题5分）一桥头竖立的“限质量”的警示牌，是提示货车司机要安全通过该桥，应使货车总质量不超过，用不等式表示为__________. 【答案】 【分析】直接根据不等式的含义进行求解即可. 【详解】因为货车司机要安全通过该桥，应使货车总质量不超过， 所以有：. 故答案为： 13．（本题5分）设正实数，满足，则的最小值是_______. 【答案】9 【分析】整理可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为正实数，满足，即， 则， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以的最小值是9. 故答案为：9. 14．（本题5分）已知命题p：对任意的；命题q：存在；若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为______ 【答案】 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题为真命题进行判断，进而可得为假命题的条件. 【详解】若命题p为真命题，则，即在上恒成立， 而在上单调递减，所以，得. 所以命题p为假命题，则. 若命题q为真命题，则在上能成立， 而在上单调递减，所以，即. 所以命题q为假命题，则. 所以命题p，q均为假命题，则. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知关于x的不等式. (1)若不等式的解集为，求k和m的值； (2)若不等式的解集为，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由的解集为，得到的根为或，利用根与系数的关系求解即可； （2）由不等式的解集为，按照和两种情况讨论求解.当时，由不等式的解集为， 得到，计算得解. 【详解】（1）的解集为， 的根为或，且， ，， （2）不等式的解集为， 当时，不等式转化为，满足题意； 当时，不等式的解集为， ，解得， 综上可知实数k的取值范围为. 16．（本题15分）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证明. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 18．（本题17分）（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质求解； （2）分、、三种情况，再结合根的大小以及一元二次函数的图象求解. 【详解】（1）由题意可知即对一切实数恒成立， 当时，不恒成立，故不符合题意； 当时，则，可得； 综上，的范围为. （2）可化为，即， ①当时，，即， 可得，故不等式的解集为； ②当时，有， 若，即时，可得或，解集为或； 若，即时，可得，解集为； 若，即时，可得或，解集为或； ③当，则，可得，解集为， 综上，当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为 19．（本题17分）（1）若方程的两根分别为，求的值. （2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明：韦达定理 若一元二次方程的两个根为，则 证明：因为一元二次方程的两个根为､，所以二次三项式可以因式分解为 由于 从而等式恒成立. 根据多项式相等的概念可知，该等式两边的对应项系数应相等. 因此 类比以上思路，推导一元三次方程的根与系数关系； （3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根､满足，求实数的值. 【答案】（1）； （2）. （3） 【分析】（1）根据韦达定理求值. （2）结合已知的思路，探索一元三次方程根与系数的关系. （3）利用（2）的结论，可求的值. 【详解】（1）由题意， 所以. （2）设有三个不相等的实数根， 则可分解因式为， 展开得， 所以有恒成立， 所以等式两边对应系数相等， 所以有. （3）由（2）可知，， 易知， 因为， 所以有，解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第2章 一元二次函数、方程和不等式（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列四个式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 3．（本题5分）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（本题5分）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 5．（本题5分）关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知正实数a，b，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 二、多选题 9．（本题6分）已知，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（本题6分）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 11．（本题6分）下列说法正确的是（   ） A．若，则的最小值为4 B．的最小值为6 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则的最小值为 三、填空题 12．（本题5分）一桥头竖立的“限质量”的警示牌，是提示货车司机要安全通过该桥，应使货车总质量不超过，用不等式表示为__________. 13．（本题5分）设正实数，满足，则的最小值是_______. 14．（本题5分）已知命题p：对任意的；命题q：存在；若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为______ 四、解答题 15．（本题13分）已知关于x的不等式. (1)若不等式的解集为，求k和m的值； (2)若不等式的解集为，求实数k的取值范围． 16．（本题15分）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 18．（本题17分）（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 19．（本题17分）（1）若方程的两根分别为，求的值. （2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明：韦达定理 若一元二次方程的两个根为，则 证明：因为一元二次方程的两个根为､，所以二次三项式可以因式分解为 由于 从而等式恒成立. 根据多项式相等的概念可知，该等式两边的对应项系数应相等. 因此 类比以上思路，推导一元三次方程的根与系数关系； （3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根､满足，求实数的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $