高中数学单元测试——第2章一元二次函数、方程和不等式（适中版02）

**基本信息** 高中数学第2章一元二次函数、方程和不等式单元复习卷，覆盖核心知识点，题型梯度分明，注重数学思维与应用，适配单元巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|不等式性质、解集、取值范围|基础巩固，考查数学抽象能力| |多选题|3/18|方程根的判定、基本不等式|能力提升，培养推理意识| |填空题|3/15|实际销售模型、最值问题|联系现实，发展模型观念| |解答题|5/67|二次函数综合、证明、利润优化、韦达定理应用|综合应用，体现数学思维与语言，适配高考命题趋势|

高中数学单元测试 —— 第2章 一元二次函数、方程和不等式（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则，故C错误； 对于D,因为，所以，故D正确. 故选：D 2．（本题5分）已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，计算化简，即可得答案. 【详解】由题意 ， 当且仅当时取等号， 所以. 故选：A 3．（本题5分）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】整理可得，结合一元二次不等式运算求解即可. 【详解】因为，可得，解得， 所以不等式的解集为. 4．（本题5分）不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据分式不等式解法计算即可求解. 【详解】不等式可化为，即， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 5．（本题5分）关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式对应的二次函数的对称性可判断. 【详解】由题意，，则不等式是一元二次不等式， 由二次函数的对称性可知，不等式的解集不可能是. 故选：D. 6．（本题5分）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，化简后求出，根据不等式的性质可得答案． 【详解】设，即 故，解得， 故 由于，， 所以， 故，即 故选：D 7．（本题5分）已知，则的最大值为（   ） A．     B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据基本不等式计算求解最值. 【详解】由得，， ， 当且仅当时，即或（舍去）时，等号成立； 的最大值为， 故选:A. 8．（本题5分）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，则，再根据恒成立问题转化为最值即可． 【详解】即， （当且仅当时取等号）， 又不等式恒成立， 所以． 故选：C． 二、多选题 9．（本题6分）如果，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用举反例来判断AC，利用不等式性质来判断BD. 【详解】当时，，此时，故A错误； 当时，，所以，故B正确； 当时，，此时，故C错误； 因为，所以，则由两边同时除以，即可得，故D正确； 故选：BD 10．（本题6分）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】ABD 【分析】利用二次方程根的分布求出实数的取值范围，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，当时，方程为，， 即方程无实数解，A错； 对于B选项，若方程有两个正根，则，解得， 即方程有两个正根的充要条件是，B错； 对于C选项，若方程无实数根，则，解得， 故方程无实数根的一个充分不必要条件是，C对； 对于D选项，若方程有一个正根一个负根，设这两根分别为、，则，解得， 故方程有一个正根一个负根的充要条件是，D错. 故选：ABD. 11．（本题6分）设正实数x，y满足，则以下说法正确的有（   ） A．xy的最大值为2 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据基本不等式的性质逐项计算即可. 【详解】对于A，因为， 所以根据基本不等式的性质得，所以. 当且仅当时等号成立，此时的最大值为2，A正确； 对于B，因为，所以， 所以. 因为，所以，所以当时，取最小值为，B正确； 对于C，， 由A可知的最大值为2，所以的最大值为，C正确； 对于D，. 当且仅当即，结合可得时等号成立， 此时的最小值为，D错误； 故选：ABC. 三、填空题 12．（本题5分）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为__________. 【答案】 【分析】根据已知条件列出不等式. 【详解】若提价后该杂志的单价为x元，则销售量为万本， 则提价后销售的总收入为万元， 所以不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以用不等式表示为： . 故答案为： 13．（本题5分）设正实数，满足，则的最小值是_______. 【答案】9 【分析】整理可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为正实数，满足，即， 则， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以的最小值是9. 故答案为：9. 14．（本题5分）已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 【答案】 【分析】根据不等式分类讨论分析可知，为方程的根，代入化简可得，进而代入消去，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以当时，；当时. 要使关于的不等式在时恒成立，需两因式同号在时恒成立. 则当时，；当时，； 所以当时，， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知二次函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若对，不等式恒成立，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意知和是方程的两个根，结合韦达定理可求出的值； （2）由题设条件得出，求出的值，再利用分式不等式的解法可得出所求不等式的解集. 【详解】（1）由题意可知，和是方程的两个根，则，解得. （2）由题意可知：，解得， 则不等式即为，所以， 即，解得或， 即不等式的解集为或. 16．（本题15分）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证明. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 18．（本题17分）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的取值范围； (2)记关于的不等式的解集为. （i）若，求的取值范围； （ii）求. 【答案】(1)； (2)（i）或；（ii）分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立列式求出范围. （2）（i）由建立不等式求出范围；（ii）按分类求解含参数的一元二次不等式. 【详解】（1）不等式，依题意，不等式的解集为， 则，解得，所以的取值范围是. （2）（i）不等式， 由，得，即，解得或， 所以的取值范围是或. （ii）由（i）得， 当时，，解得或； 当时，，解得或； 当时，，解得或， 所以当时，；当时，； 当时，. 19．（本题17分）法国数学家佛郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：，．”韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程，例如：，，那么m和n是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1)已知m、n是两个不相等的实数，且满足，，求的值； (2)已知实数x、y满足，，求的值； (3)已知，是关于x的一元二次方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有k的值． 【答案】(1) (2)22或37． (3)，，． 【分析】（1）由题意，可把看作的根，利用韦达定理求解即可； （2）由韦达定理的逆定理，可将，看作方程的两个实数根，求解后即可得解； （3）由韦达定理求出，，代入化简求出得解. 【详解】（1）由已知，，， 可将m，n看作方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理可得，，， 所以． （2）由，， 可将，看作方程的两个实数根， 则有，或，， ①当，时，； ②当，时，， 所以的值为22或37． （3）由韦达定理，可得，，， 且，解得， 故， 因，又，故必为的因数， 则的值可能为，，，1，2，4， 则实数k的值可能为，，，0，1，3， 又，故k的所有取值为，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第2章 一元二次函数、方程和不等式（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 3．（本题5分）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（本题5分）不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 5．（本题5分）关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知，则的最大值为（   ） A．     B． C．2 D．3 8．（本题5分）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）如果，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 10．（本题6分）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 11．（本题6分）设正实数x，y满足，则以下说法正确的有（   ） A．xy的最大值为2 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 12．（本题5分）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为__________. 13．（本题5分）设正实数，满足，则的最小值是_______. 14．（本题5分）已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 四、解答题 15．（本题13分）已知二次函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若对，不等式恒成立，求不等式的解集. 16．（本题15分）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 18．（本题17分）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的取值范围； (2)记关于的不等式的解集为. （i）若，求的取值范围； （ii）求. 19．（本题17分）法国数学家佛郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：，．”韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程，例如：，，那么m和n是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1)已知m、n是两个不相等的实数，且满足，，求的值； (2)已知实数x、y满足，，求的值； (3)已知，是关于x的一元二次方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有k的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $