第二章 一元二次函数、方程和不等式（高效培优单元测试·强化卷）数学湘教版2019必修第一册

第二章：一元二次函数、方程和不等式 （高效培优单元测试·强化卷） （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知，下列不等式中一定成立是（    ） A． B． C． D． 2．若，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 3．已知一元二次方程的两个根分别为，则的值为（    ） A． B．3 C． D．5 4．已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 5．已知实数、，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C． D．2 6．若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．已知实数，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列命题正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 10．如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．若点是抛物线上的两点，若，则 11．若m，n都为正实数，且则（   ） A．mn的最大值为1 B．的最小值为9 C．的最小值为2 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．不等式的解集为 ． 13．已知不等式的解集为，则 ． 14．若，函数的图象和x轴恒有公共点，则实数的取值范围 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）. (1)若对任意的都有成立，求的范围； (2)解关于的不等式. 16． （15分）已知正数，满足. (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 17． （15分）已知二次函数，其中为实数． (1)求证：对任意实数，该二次函数有两个零点（即函数对应方程的根）； (2)设该二次函数在上有两个零点为，且，求此二次函数的解析式． 18．（17分）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于2019年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为50万元．若该设备使用x年，则其所需维修保养费用x年来的总和为万元（2019年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为y万元． (1)写出y与x之间的函数关系式，求该设备在第几年的盈利总额为30万元． (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 19．（17分）已知函数. (1)对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章：一元二次函数、方程和不等式 （高效培优单元测试·强化卷） （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知，下列不等式中一定成立是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例判断ABC即可，利用不等式性质判断； 【详解】对A：当时不成立，故A错误； 对B：当时不成立，故B错误； 对C：当时不成立，故C错误； 对D：因为，所以，则，即成立，故D正确. 故选：D. 2．若，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以，故， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为7． 故选：D. 3．已知一元二次方程的两个根分别为，则的值为（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可求答案. 【详解】已知一元二次方程的两个根分别为，由根与系数的关系，可得， 故选：B. 4．已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式得，再结合选项及充分、必要条件的定义判断各选项即可. 【详解】由，则，解得， 则是使得成立的一个既不充分也不必要条件， 是使得成立的一个必要不充分条件， 是使得成立的一个充分不必要条件， 是使得成立的一个充要条件. 故选：C. 5．已知实数、，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C． D．2 【答案】A 【分析】应用“1”的代换化目标式为，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为4. 故选：A 6．若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对二次项系数进行分类讨论可得符合题意，再利用判别式可求得结果. 【详解】当时，不等式为对任意实数不是恒成立的，故舍去. 当时，函数的图像抛物线开口向上， 且即时符合题意，解得（舍去）或. 当时，函数的图像是开口向下的抛物线，函数值不可能恒为正，不符合题意. 综上可知，实数的取值范围是. 故选：B. 7．设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】整理得，，，进而比较大小即可. 【详解】由， ， ， 而， 则，即. 故选：D. 8．已知实数，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用乘“1”法并结合基本不等式可求得的最小值，从而可得实数m的取值范围. 【详解】由，可得：， 又因为，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以， 由恒成立，可得，即实数m的取值范围为. 故选：A. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列命题正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BC 【分析】举反例判断AD；作差法判断B；对于C，结合不等式的性质利用作差法判断即可. 【详解】对于A，取，满足且，但，不满足，错误； 对于B，因为，， 所以，即，正确； 对于C，， 因为，所以，所以，所以成立，正确； 对于D，取，满足且，但，不满足，错误. 故选：BC 10．如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．若点是抛物线上的两点，若，则 【答案】AB 【分析】根据二次函数的图象性质对每个选项进行判断即可. 【详解】因为二次函数的图象与轴的一个交点为， 则. 由图象可以看出，. 因为二次函数的对称轴为，所以，即. 所以，所以A正确； 将代入中，得，所以C错误； 因为，，所以. 所以，即，所以B正确； 对于选项D，当均在对称轴左侧，由于在对称轴左侧抛物线是单调递减的， 所以如果，则，所以D错误. 故选：AB. 11．若m，n都为正实数，且则（   ） A．mn的最大值为1 B．的最小值为9 C．的最小值为2 D． 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断. 【详解】对于A，因为，，所以， 当且仅当时，取等号，所以的最大值为1，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为9，故B正确； 对于C，由，得，当且仅当时，取等号， 所以的最小值为2，故C正确； 对于D，因为，， 所以，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】根据绝对值的几何意义即可求解． 【详解】 或 或， 故答案为：或． 13．已知不等式的解集为，则 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式解集的特点结合根与系数关系求得答案. 【详解】由题，可得，解得，， . 故答案为：. 14．若，函数的图象和x轴恒有公共点，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】分和两种情况，结合一次函数和二次函数与和x轴交点问题讨论即可求解. 【详解】（1）当时，与轴恒有公共点，所以. （2）当时，二次函数的图象和轴恒有公共点的充要条件是恒成立，即恒成立. 设，则可转化为此关于的二次函数的图象恒在轴上方（或图象顶点在轴上）的充要条件是，可得. 综上所述，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）. (1)若对任意的都有成立，求的范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）就、分类讨论，后者再结合判别式可求的范围； （2）就、、、及分类讨论后可得不等式的解集. 【详解】（1）即为， 若，则恒成立；若，则，即， 故 （2）即为即， ①当时，，即解集为， ②当时，令得， (i)当时，，开口向上，此时不等式的解集为； (ii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为； (iii)当时，，开口向下， 此时不等式的解集为或； (iiii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为或. 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或; 当时，解集为; 当时，或. 16． （15分）已知正数，满足. (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用均值不等式即可求得积的最大值； （2）利用代换1法，转化为分子分母齐次式，从而可以转化积为定值，和有最小值；                        （3）利用配方法，结合积有最大值，从而可求得平方和的最小值. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得，当且仅当时，等号成立， 即的最大值为9. （2）因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值为3. （3）因为，且 所以， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值为18. 17． （15分）已知二次函数，其中为实数． (1)求证：对任意实数，该二次函数有两个零点（即函数对应方程的根）； (2)设该二次函数在上有两个零点为，且，求此二次函数的解析式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用判别式可证明二次函数有两个零点； （2）利用韦达定理可求参数的值，从而可求解析式. 【详解】（1）, 故该二次函数在有两个不同的零点. （2） 因该二次函数在上有两个不同的零点，故， 其中，故， 因为，故，故， 故. 18．（17分）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于2019年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为50万元．若该设备使用x年，则其所需维修保养费用x年来的总和为万元（2019年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为y万元． (1)写出y与x之间的函数关系式，求该设备在第几年的盈利总额为30万元． (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 【答案】(1)，从第 3 年开始该设备开始全年盈利； (2)方案①比较合理，理由见解析 【分析】（1）确定，再解方程即可. （2）利用均值不等式和二次函数性质分别计算最大值，比较得到答案. 【详解】（1）， 解方程，得或， 故在第4 年或16年盈利总额为30万元； （2）①， 当且仅当时，即时等号成立. 到2025年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元. ②，当时，. 故到 2028 年，盈利额达到最大值，该设备可获利 万元. 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理. 19．（17分）已知函数. (1)对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）分和两种情况讨论，根据二次函数的性质进行求解即可. （2）先将式子进行化简，分三种情况进行讨论，求出不等式的解集即可. （3）利用换元法将原式转化成一元二次方程，然后根据二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）由题有恒成立，即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，得， 得，综上可得，的取值范围是. （2）由题，即， 当，，所以不等式的解集为 当，，或 ①当时，，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为， ③当时，，不等式的解集为； 当，则，不等式的解集为 综上可得：当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）当时，令， 当且仅当时取等号， 关于的方程有四个不等实根， 令，则转化为存在使得关于的方程， 即有两个不同正根， 则 ，得， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，故，即， 解得或，综合可得. 故实数的取值范围是. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $