高中数学单元测试——第1章集合与逻辑（适中版02）

**基本信息** 高中数学集合与逻辑单元复习卷，覆盖集合运算、命题逻辑、充分条件等核心知识点，通过基础辨析与创新应用（如“差倍集”问题），适配单元复习检测，培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合关系、命题否定（如第3题全称命题否定）|基础概念辨析，强化抽象能力| |多选题|3/18|集合表示法、充分条件（如第10题集合关系与条件判断）|多角度考查，培养逻辑思维| |填空题|3/15|补集运算、参数范围（如第14题充要条件应用）|情境简洁，突出数学语言表达| |解答题|5/77|集合方程求解、差倍集探究（如第19题创新定义问题）|分层设计，从基础运算到创新应用，发展推理能力与创新意识|

高中数学单元测试 —— 第1章 集合与逻辑（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若集合，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】因为，所以，，故A对，BCD都错. 故选：A. 2．（本题5分）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 3．（本题5分）命题“存在一个四边形，它的对角线垂直”的否定是（    ） A．存在一个四边形，它的对角线不垂直 B．存在很多个四边形，它的对角线不垂直 C．任意一个四边形，它的对角线不垂直 D．任意一个四边形，它的对角线垂直 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得解 【详解】命题“存在一个四边形，它的对角线垂直”的否定是“任意一个四边形，它的对角线不垂直”. 故选：C. 4．（本题5分）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的并集运算即可求解. 【详解】由. 5．（本题5分）已知集合，，，则集合C的非空真子集个数为（   ） A．16 B．15 C．14 D．8 【答案】C 【分析】根据集合的定义求出集合，再根据非空真子集个数的公式即可求解. 【详解】由题意可知， 所以集合的非空真子集的个数为个. 故选：C 6．（本题5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的补集和交集的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以， 故选：D. 7．（本题5分）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【分析】代入或1并结合全称命题的否定判断即可； 【详解】当时，成立，所以命题为真命题； 当或1时，命题为假命题，所以为真命题； 故选：C. 8．（本题5分）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 二、多选题 9．（本题6分）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 【答案】ACD 【分析】根据描述法的特点逐项分析即可. 【详解】对A，奇数集可以表示为，故A正确； 对B，“小于10的整数”构成的集合可以表示为，故B错误； 对C，表示大于2的全体实数，故C正确； 对D，不等式的解集表示为，故D正确. 故选：ACD. 10．（本题6分）已知集合，，则（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“中只有一个元素”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】ABD 【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断 【详解】对于A：若，，或， 则至少含有一个元素，； 若，则不一定有，比如时，，； 因此“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B：或， 若，则必有；若，则不一定有， 比如时，，不是的子集， 因此“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对于C：若中只有一个元素，则，当，且时，， 即“中只有一个元素”不是“”的充分条件，C错误； 对于D：若，则， 此时，不是的子集； 若，则，，但 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，D正确； 故选：ABD. 11．（本题6分）已知为全集，若是的非空子集，且满足，则下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合Venn图逐项判断即可. 【详解】 由Venn图知： ，当时也成立，A正确； ，当时也成立，B错误； ，当时也成立，C正确， ，当时也成立，D正确， 故选：ACD 三、填空题 12．（本题5分）若，则____________． 【答案】1 【分析】根据元素与集合的关系即可求解. 【详解】解：由题意得，令，此时不满足集合元素的互异性； 令，解得或（舍去）. 故答案为：1． 13．（本题5分）已知全集 ，集合 或，那么阴影部分表示的集合为___________.    【答案】 【分析】由韦恩图得阴影部分为，即可求解. 【详解】由题意，得， 由韦恩图得阴影部分为， 故答案为： 14．（本题5分）已知命题，使为真命题，则实数m的取值集合为B，若为非空集合，且是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求出集合B，再利用充分不必要条件转化为是的真子集，利用集合关系解题即可. 【详解】由题意，可知关于x的方程无实数根， 所以，解得，即， 因为为非空集合，所以，即， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，即，所以． 故答案为：． 四、解答题 15．（本题13分）已知方程． (1)若方程的解集为，求实数a，b满足的关系式； (2)若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a，b的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式小于0可得； （2）由韦达定理可解. 【详解】（1）若方程的解集为，则方程无实数解， 所以，即实数a，b满足 （2）由题意可知1，3是方程的两根， 由韦达定理有，即 16．（本题15分）已知命题：，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A. (1)求集合A； (2)设集合，且，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解可得结果； （2）根据子集关系列式，解不等式组可得结果. 【详解】（1）命题p为真命题时，则，得， ∴. （2）由（1）知，， ∵，∴，解得. 17．（本题15分）设全集，集合，或．    (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】由韦恩图图及含参数的集合交并补的混合运算即可求解. 【详解】（1）因为，或， 所以， 则图中阴影部分表示． （2）因为，或，且， 所以，， 所以当时，，解得，符合题意； 当时，或者， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，a的取值范围为． 18．（本题17分）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用充分条件、必要条件的定义判断即得. （2）写出符合题意的必要不充分条件. （3）利用充要条件的定义推理得证. 【详解】（1）由，得，即， 由两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，知不能推出， 所以是的必要非充分条件. （2）的必要不充分条件有： ①， 显然两个三角形全等，其对应角相等，而有两组对应角相等的两个三角形相似，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ②， 显然两个三角形全等，其面积相等，而面积相等的两个三角形图形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ③， 显然两个三角形全等，其对应边相等，对应角相等，而一组对应边及据对角相等的两个三角形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件. （3）必要性：若为等边三角形，即， 显然，因此； 充分性：若， 则， 于是，即，因此是等边三角形， 所以“是等边三角形”的充要条件是“”. 19．（本题17分）设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”. (1)当时，写出集合的差倍集； (2)设集合，，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的； (3)若集合是由4个正整数构成，请写出一个集合，使得其差倍集的元素个数为4，并说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)(答案不唯一)，理由见解析 【分析】（1）根据差倍集的定义，列举所有满足条件的数对并计算结果，再利用集合中元素的互异性去重； （2）根据与的大小关系分类讨论，计算所有可能的，通过“差倍集元素个数为2”建立方程，结合集合中元素的互异性筛选； （3）举一个满足条件的集合，利用差倍集的定义写出其差倍集即可证明. 【详解】（1）根据差倍集的定义，， 当时，； 当时，； 当时，. 由集合中元素的互异性，可得. （2）已知，，由集合中元素的互异性可知，且， 当时，的可能取值为或， 当时，， ， ，， 此时，满足差倍集中恰有两个元素，故. 当时，， ， 此时，不满足差倍集中恰有两个元素，故. 当时， ，，， 由于且，所以且，且， 因为差倍集中恰有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若，解得，此时，满足差倍集中恰有两个元素， 综上，若差倍集中恰有两个元素，则的值为或. （3）为满足题意的一个集合，理由如下； ，，，，，， 由集合中元素的互异性可得，元素个数为4，所以满足题意. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第1章 集合与逻辑（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若集合，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）命题“存在一个四边形，它的对角线垂直”的否定是（    ） A．存在一个四边形，它的对角线不垂直 B．存在很多个四边形，它的对角线不垂直 C．任意一个四边形，它的对角线不垂直 D．任意一个四边形，它的对角线垂直 4．（本题5分）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知集合，，，则集合C的非空真子集个数为（   ） A．16 B．15 C．14 D．8 6．（本题5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 8．（本题5分）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 10．（本题6分）已知集合，，则（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“中只有一个元素”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 11．（本题6分）已知为全集，若是的非空子集，且满足，则下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）若，则____________． 13．（本题5分）已知全集 ，集合 或，那么阴影部分表示的集合为___________.    14．（本题5分）已知命题，使为真命题，则实数m的取值集合为B，若为非空集合，且是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______． 四、解答题 15．（本题13分）已知方程． (1)若方程的解集为，求实数a，b满足的关系式； (2)若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a，b的值 16．（本题15分）已知命题：，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A. (1)求集合A； (2)设集合，且，求实数m的取值范围. 17．（本题15分）设全集，集合，或．    (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求a的取值范围． 18．（本题17分）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 19．（本题17分）设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”. (1)当时，写出集合的差倍集； (2)设集合，，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的； (3)若集合是由4个正整数构成，请写出一个集合，使得其差倍集的元素个数为4，并说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $