第一章 集合与逻辑（单元分层自测·培优冲刺卷）数学湘教版必修第一册

**基本信息** 2026-2027学年必修第一册数学第一章集合与逻辑培优冲刺单元卷，覆盖集合运算、充要条件、命题否定等核心知识，通过分层设计考查抽象能力与逻辑推理，适配单元复习提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、充要条件判断|第3题结合命题真假考查必要不充分条件，体现数学思维| |多选|3/18|命题否定、集合元素性质|第10题以职工上班情境考查集合容斥原理，培养应用意识| |填空|3/15|命题的否定、集合关系|第14题含参数集合关系，提升抽象能力| |解答|5/77|集合综合应用、封闭集探究|第19题定义封闭集考查逻辑推理，呼应核心素养中数学思维|

2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第一章 集合与逻辑·培优冲刺（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A B A C A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BC AB ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13． 14．且且 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：（1）解不等式，因式分解得， 解得或，所以，因此...............6分 （2）因为，， 当时，此时，解得................8分 当时，此时，解得...............12分 因此实数的取值范围为................13分 16.解：（1）因为， ................2分 所以................3分 （2）因为，所以................5分 所以，解得................7分 （3）因为，所以2和3中有一个数是集合的元素或者都是集合的元素. ①当是集合的两个元素时，， 此时，，不合题意；...............9分 ②当2是集合的元素而3不是集合的元素时，， 解得或，此时， 因为时，这与当2是集合的元素而3不是集合的元素这一条件矛盾，所以， 此时，，，不合题意；...............12分 ③当3是集合的元素而2不是集合的元素时，， 解得或，此时， 因为时，这与当3是集合的元素而2不是集合的元素这一条件矛盾，所以， 此时，，合题意；..............14分 所以................15分 17.解：（1）， 当命题为假命题时，为真命题， 所以当时，成立，...............3分 当时，可得，解得，...............5分 综上所述，；...............6分 （2）由（1）知， 若命题为假命题，则，...............7分 若命题为真命题，则或，...............9分 若命题为真命题， 则，解得或，...............11分 若命题为假命题，则， 所以命题为假命题、为真命题时，；...............13分 命题为假命题、为真命题时，； 所以若命题和中有且仅有一个是假命题，则或................15分 18.解：（1）正确；证明如下：...............1分 由①，，由②知， ，...............3分 由③知；...............4分 （2）证明：由②知，若，则，故只需证明任意正整数即可， 由（1）知，，假设正整数，则，...............6分 由数学归纳法知：任意正整数， 即，是的充分条件；...............8分 （3）先证：若，则， 由②知，若，且，，则；...............9分 由③知，，...............10分 所以，所以，所以得到，...............12分 再证：若，，则， ，；...............14分 ，由③知， 由前面知：、、、、，...............16分 ．...............17分 19.解：（1）对于集合，因为，所以不是封闭集；...............2分 对于集合， 令， 则，所以集合是封闭集................4分 （2）对于命题令，， 令， 则， 所以集合是封闭集，同理集合是封闭集，...............6分 取，则，而， 因此集合不是封闭集，命题是假命题；...............8分 对于命题若，不妨令， 则有，又因为集合是封闭集， 则，同理， 因此，所以是封闭集，...............10分 反之，若是封闭集，则是非空集合，即， 所以是是封闭集的充要条件，命题是真命题................11分 （3）非空集合是封闭集合， 假设是封闭集合， 设，在中任取一个，则， 否则，此时，与矛盾， 因此，而，与矛盾， 则当时，则不是封闭集合，...............15分 同理当时，不是封闭集合， 所以A的补集不是封闭集................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第一章 集合与逻辑·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 2．设全集，集合，集合，则 A． B． C． D． 3．使命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 5．已知m为非零实数，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．下列命题的否定是真命题的是（    ） A． B．菱形都是平行四边形 C．，一元二次方程没有实数根 D．平面四边形，其内角和等于360° 7．已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 8．关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中正确的是（    ） A．命题“”是真命题 B．若命题是假命题，则的取值范围为 C．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 D．中含有三个元素 10．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 11．已知全集，是的非空子集，当时，且，则称为的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（   ） A．若中元素均为孤立元素，则中最多有个元素 B．若中不含孤立元素，则中最少有个元素 C．若中元素均为孤立元素，且仅有个元素，则这样的集合共有个 D．若中不含孤立元素，且仅有个元素，则这样的集合共有个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是__________. 13．集合，，则________． 14．设，，，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）设集合 (1)求 ； (2)若，求实数的取值范围． 16．（15分）设，， (1)求； (2)若，求的值； (3)若且，求的值． 17．（15分）已知命题，命题． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围 18．（17分）已知是满足下列条件的集合：① ，；② 若，则；③ 若且，则. （1）判断是否正确，说明理由； （2）证明：“”是“”的充分条件； （3）证明：若，则. 19．（17分）已知A是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称A是封闭集． (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题非空集合是封闭集，则“”是“是封闭集”的充要条件； (3)若非空集合A是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第一章 集合与逻辑·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【解析】等价于，即且. 2．设全集，集合，集合，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得所以，所以选B 3．使命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为命题“”为假命题，所以命题“”为真命题，所以.所以的一个必要不充分条件. 4．集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【解析】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是.故集合的元素个数是4. 5．已知m为非零实数，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，得，解得，故“”是“”的充分不必要条件.故选A. 6．下列命题的否定是真命题的是（    ） A． B．菱形都是平行四边形 C．，一元二次方程没有实数根 D．平面四边形，其内角和等于360° 【答案】C 【解析】对于A，，，其否定为：，，由时，，则原命题为真命题，其否定为假命题，故A不正确；对于B，每个菱形都是平行四边形，其否定为：存在一个菱形不是平行四边形，原命题为真命题，其否定为假命题，故B不正确；对于C，，一元二次方程没有实根，其否定为：，一元二次方程有实根，由，可得原命题为假命题，命题的否定为真命题，故C正确；对于D，平面四边形，其内角和等于360°为真命题，命题的否定为假命题，故D不正确； 7．已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，分4种情况讨论；①、全部为负数时，则也为负数，则； ②、中有一个为负数时，则为负数，则；③、中有两个为负数时，则为正数，则；④、全部为正数时，则也正数，则；则；分析选项可得符合． 8．关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【解析】假设甲为假命题，则乙、丙、丁为真命题，由乙“是该方程的根”和丙“该方程两根之和为2”可知，方程的另一根为，此时两根为3和−1，两根异号，所以丁“该方程两根异号”为真，方程的根为3和−1，不含1，所以甲“是该方程的根”为假，此情况符合题意；假设乙为假命题，则甲、丙、丁为真命题，由甲“是该方程的根”和丙“该方程两根之和为2”可知，方程的另一根为1，此时两根为1和1，两根同号，与丁“该方程两根异号”为真矛盾，故此情况不成立；假设丙为假命题，则甲、乙、丁为真命题，由甲“是该方程的根”和乙“是该方程的根”可知，方程的两根为1和3，此时两根同号，与丁“该方程两根异号”为真矛盾。故此情况不成立；假设丁为假命题，则甲、乙、丙为真命题，由甲“是该方程的根”和乙“是该方程的根”可知，方程的两根为1和3，此时两根之和为，与丙“该方程两根之和为2”为真矛盾，故此情况不成立.综上所述，只有甲是假命题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中正确的是（    ） A．命题“”是真命题 B．若命题是假命题，则的取值范围为 C．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 D．中含有三个元素 【答案】BC 【解析】A：当时，有，故题设命题为假命题，错；B：由题设命题为假命题，则有，可得，对；C：由方程的根一正一负，则必有两根之积，即题设条件关系为充要关系，对；D：由，共有4个元素，错. 10．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】AB 【解析】设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为，集合中元素个数分别为，则，因为， 且，所以，则，所以AB选项正确，CD选项错误.    11．已知全集，是的非空子集，当时，且，则称为的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（   ） A．若中元素均为孤立元素，则中最多有个元素 B．若中不含孤立元素，则中最少有个元素 C．若中元素均为孤立元素，且仅有个元素，则这样的集合共有个 D．若中不含孤立元素，且仅有个元素，则这样的集合共有个 【答案】ABD 【解析】对于A，因为集合，，的并集为，且集合，，中任意两个集合的交集都为空集，若中的元素个数大于，则必有两个元素来自集合，，中的一个，此时，集合中存在不是孤立元素的元素，故若中元素均为孤立元素，则中的元素个数小于等于，又时，中元素均为孤立元素，所以若中元素均为孤立元素，则中最多有个元素，对于B，若中只有1个元素，则必为孤立元素，又集合时，中不含孤立元素，故B正确；对于C，易知这样的集合有，，，；，，；，；共个，故C错误；对于D，，其中不含“孤立元素”且包含有四个元素的集合有，，，，，共6个，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】命题的否定命题为：，因为命题是假命题，所以为真命题，所以，解得，故答案为： 13．集合，，则________． 【答案】 【解析】把代入得，解得或（舍），则，或， 所以. 14．设，，，则实数的取值范围是__________. 【答案】且且 【解析】由或，所以.因为，所以.所以且.若，则，整理得，解得；若，则，整理得，解得或.所以由，可得实数的取值范围是：且且. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）设集合 (1)求 ； (2)若，求实数的取值范围． 15.解：（1）解不等式，因式分解得， 解得或，所以，因此...............6分 （2）因为，， 当时，此时，解得................8分 当时，此时，解得...............12分 因此实数的取值范围为................13分 16．（15分）设，， (1)求； (2)若，求的值； (3)若且，求的值． 16.解：（1）因为， ................2分 所以................3分 （2）因为，所以................5分 所以，解得................7分 （3）因为，所以2和3中有一个数是集合的元素或者都是集合的元素. ①当是集合的两个元素时，， 此时，，不合题意；...............9分 ②当2是集合的元素而3不是集合的元素时，， 解得或，此时， 因为时，这与当2是集合的元素而3不是集合的元素这一条件矛盾，所以， 此时，，，不合题意；...............12分 ③当3是集合的元素而2不是集合的元素时，， 解得或，此时， 因为时，这与当3是集合的元素而2不是集合的元素这一条件矛盾，所以， 此时，，合题意；..............14分 所以................15分 17．（15分）已知命题，命题． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围 17.解：（1）， 当命题为假命题时，为真命题， 所以当时，成立，...............3分 当时，可得，解得，...............5分 综上所述，；...............6分 （2）由（1）知， 若命题为假命题，则，...............7分 若命题为真命题，则或，...............9分 若命题为真命题， 则，解得或，...............11分 若命题为假命题，则， 所以命题为假命题、为真命题时，；...............13分 命题为假命题、为真命题时，； 所以若命题和中有且仅有一个是假命题，则或................15分 18．（17分）已知是满足下列条件的集合：① ，；② 若，则；③ 若且，则. （1）判断是否正确，说明理由； （2）证明：“”是“”的充分条件； （3）证明：若，则. 18.解：（1）正确；证明如下：...............1分 由①，，由②知， ，...............3分 由③知；...............4分 （2）证明：由②知，若，则，故只需证明任意正整数即可， 由（1）知，，假设正整数，则，...............6分 由数学归纳法知：任意正整数， 即，是的充分条件；...............8分 （3）先证：若，则， 由②知，若，且，，则；...............9分 由③知，，...............10分 所以，所以，所以得到，...............12分 再证：若，，则， ，；...............14分 ，由③知， 由前面知：、、、、，...............16分 ．...............17分 19．（17分）已知A是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称A是封闭集． (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题非空集合是封闭集，则“”是“是封闭集”的充要条件； (3)若非空集合A是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集． 19.解：（1）对于集合，因为，所以不是封闭集；...............2分 对于集合， 令， 则，所以集合是封闭集................4分 （2）对于命题令，， 令， 则， 所以集合是封闭集，同理集合是封闭集，...............6分 取，则，而， 因此集合不是封闭集，命题是假命题；...............8分 对于命题若，不妨令， 则有，又因为集合是封闭集， 则，同理， 因此，所以是封闭集，...............10分 反之，若是封闭集，则是非空集合，即， 所以是是封闭集的充要条件，命题是真命题................11分 （3）非空集合是封闭集合， 假设是封闭集合， 设，在中任取一个，则， 否则，此时，与矛盾， 因此，而，与矛盾， 则当时，则不是封闭集合，...............15分 同理当时，不是封闭集合， 所以A的补集不是封闭集................17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第一章 集合与逻辑·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 2．设全集，集合，集合，则 A． B． C． D． 3．使命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 5．已知m为非零实数，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．下列命题的否定是真命题的是（    ） A． B．菱形都是平行四边形 C．，一元二次方程没有实数根 D．平面四边形，其内角和等于360° 7．已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 8．关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中正确的是（    ） A．命题“”是真命题 B．若命题是假命题，则的取值范围为 C．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 D．中含有三个元素 10．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 11．已知全集，是的非空子集，当时，且，则称为的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（   ） A．若中元素均为孤立元素，则中最多有个元素 B．若中不含孤立元素，则中最少有个元素 C．若中元素均为孤立元素，且仅有个元素，则这样的集合共有个 D．若中不含孤立元素，且仅有个元素，则这样的集合共有个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是__________. 13．集合，，则________． 14．设，，，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）设集合 (1)求 ； (2)若，求实数的取值范围． 16．（15分）设，， (1)求； (2)若，求的值； (3)若且，求的值． 17．（15分）已知命题，命题． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围 18．（17分）已知是满足下列条件的集合：① ，；② 若，则；③ 若且，则. （1）判断是否正确，说明理由； （2）证明：“”是“”的充分条件； （3）证明：若，则. 19．（17分）已知A是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称A是封闭集． (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题非空集合是封闭集，则“”是“是封闭集”的充要条件； (3)若非空集合A是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $