29.2.1 垂直于弦的直径（分层作业·练题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以垂径定理为核心，通过A/B/C组三级分层与中考链接，构建从基础应用到综合创新的巩固路径，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|垂径定理求值、作图、证明及同心圆、平行弦问题|基础题占比高，如选择填空结合直角三角形计算，培养运算能力| |B组能力进阶|综合证明与探究性问题|含多步推理题，如垂直平分线与圆结合，发展推理意识| |C组思维拔高|跨知识整合应用|涉及动态几何与分类讨论，如旋转弦扫过区域问题，提升创新意识| |拓展链接中考|中考真题与模拟题|对接实际情境（隧道、筒车），强化模型观念与应用能力|

分层作业 29.2.1 垂直于弦的直径 目 录 A组 巩固过关 题型01利用垂径定理求值 题型02垂径定理在作图中的应用 题型03利用垂径定理进行证明 题型04用垂径定理解决同心圆问题 题型05利用垂径定理解决平行弦问题 题型06垂径定理的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 利用垂径定理求值题型01 1．（2026·湖南永州·二模）如图，直径，弦，垂足为．若，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏常州·一模）如图，在中，是直径，弦于点，若，，则__________． 3．如图，的直径垂直于弦，垂足为点E，F为上一点，．求与的大小． 4．如图，中，，，，以为半径的交于D，求的长． 【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 垂径定理在作图中的应用题型02 5．（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段检测）已知线段，如图，甲和乙两位同学用自己的方法确定了以为半径，为圆心的圆．对于这两种作图方法，下列说法正确的是（   ） A．甲和乙的方法均正确 B．甲和乙的方法均不正确 C．甲的方法正确，乙的方法不正确 D．甲的方法不正确，乙的方法正确 6．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，为的弦，请用尺规作图法在上找一点，连接，，使得是以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 7．在数学活动课上，顾老师提出了一个问题：如图，已知，在上作一点P，使． 小亮同学很快就给出了下列思路： ①连接，作线段的垂直平分线，交于点E； ②连接，作线段的垂直平分线，交于P，则点P即所求． (1)请你按小亮的步骤画出图形； (2)请你利用图形，求证：． 用垂径定理进行证明题型03 8．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，已知点是的平分线上的一点，以为圆心的圆和角的两边分别交于点、和、．求证： (1)； (2)． 9．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若的半径为，求弦的长． 10．如图，，AB交于点C，D，OE是半径，且于点F．    (1)求证：． (2)若，，求的半径． 11．如图，在中，为直径，弦于点．平分交于点，连接，，，．    (1)求的半径． (2)，，三点是否在以点为圆心，的长为半径的圆上？请说明理由． 用垂径定理解决同心圆问题析题型04 12．（2026·河北石家庄·一模）如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 13．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 用垂径定理解决平行弦问题题型05 14．（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 15．如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 垂径定理的实际应用题型06 16．（25-26九年级上·山东临沂·期末）盾构机是一种大型隧道掘进专用工程机械，被称为“地下蛟龙”，我国盾构机已实现从依赖进口到全球领跑的跨越．如图，高速公路隧道的有效高度为，隧道入口宽为，该隧道所在圆的圆心为，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C． D． 17．（25-26八年级下·山东日照·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 18．（25-26九年级上·江西宜春·期末）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图（1），其数学模型如图（2）所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径，D为圆上一点，于点C，且，则门洞的半径为________m． 19．（24-25九年级上·广东汕头·阶段检测）利用以下素材解决问题． 问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽端点到拱顶点距离，拱顶离水面的距离． 设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 任务 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 20．下列格点图中都给出了圆，只用直尺就能确定圆心的是（　　） A．B．C． D． 21．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，在中，分别为弦的中点，，不平行于．求证： (1) (2)． 22．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C，其中点B坐标为． (1)请写出该圆弧所在的圆的圆心D的坐标______． (2)的半径为______． (3)点在______（填“上”、“内”或“外”）；______． 23．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）天山胜利隧道是世界上最长的高速公路隧道，2025年12月26日正式通车，标志着G0711乌鲁木齐至尉犁高速公路全线投入使用，这是天山南北交通的一个历史性突破，如图所示，隧道主洞断面可以抽象成直径为的的一部分，路面最大宽度约为，求隧道主洞断面的最大高度．      24．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 25．（2025·山西长治·三模）如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 26．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为_________． 27．（2026·湖南长沙·二模）如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m． 28．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图1是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧，随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图2是月亮门的示意图，其中，点C为的中点，D为月亮门的最高点，则月亮门底部的宽度d与月亮门所在圆的半径r满足的数量关系为_____． 29．（2026·江苏扬州·二模）如图在平面直角坐标系中，已知的半径为2，弦绕点O旋转一周扫过的区域记为W，若点在区域W内部（包含边界），弦长为m，则m的取值范围是________． 30．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知是的一条弦，是内一点，在下列情形时，分别经过点作一条弦，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图（1），点在上； (2)如图（2），点不在上． 31．如图半径为r，锐角内接于，连并延长交于D，过点D作于E． (1)如图1，求证：； (2)如图1，若，求的长； (3)如图2，当时，，求r的值； (4)如图3，若，直接写出的值（用含r的代数式表示） 32．（25-26九年级上·江西赣州·期末）在单元格中，点A、B、C、O为格点，请仅用无刻度的直尺完成作图． (1)在图1中，作一条弦，使得； (2)在图2中，作的角平分线． 33．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知内接于，，E是弧的中点，连结，交于点D，射线交的延长线于点F． (1)如图1， ①求证：； ②若，，求的长； (2)若直线与直线交于点G，且，求的度数． 34．（25-26九年级上·山西忻州·阶段检测）项目学习 项目背景：图1是山西某市一座有名的大桥，是当地的重要渡河节点．某综合实践小组为了测量大桥桥孔所在圆的半径，开展了项目式学习活动，形成了如下表格． 项目主题 如何测量大桥桥孔所在圆的半径 驱动任务 测量大桥桥孔所在圆的半径 活动内容 利用圆的有关知识进行大桥桥孔所在圆的半径的测量和计算 活动过程 1．方案说明：图2是大桥桥孔的平面示意图，为某一时刻水面的宽度，为弧的中点，于点． 2．测量数据：米，米． 3．计算：⋯⋯ 交流展示 ⋯⋯ 根据表中数据计算大桥桥孔所在圆的半径． 35．（25-26九年级上·浙江舟山·期末）如图是输水管道的截面示意图，正方形，正方形水平放置在地面上，点，在上．已知的半径为，正方形边长均为，圆心与地面的距离为． (1)求的长度； (2)如图，输水管道内只有阴影部分未被水灌满，其水面宽度为，求阴影部分的面积． 36．（2026·四川南充·中考真题）如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 37．（2026·江苏苏州·中考真题）苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 38．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 试卷第2页，共46页 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 29.2.1 垂直于弦的直径 目 录 A组 巩固过关 题型01利用垂径定理求值 题型02垂径定理在作图中的应用 题型03利用垂径定理进行证明 题型04用垂径定理解决同心圆问题 题型05利用垂径定理解决平行弦问题 题型06垂径定理的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 利用垂径定理求值题型01 1．（2026·湖南永州·二模）如图，直径，弦，垂足为．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接， 由垂径定理可得的长，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，连接， 弦，， ， 在中，，， 根据勾股定理得：． 2．（2026·江苏常州·一模）如图，在中，是直径，弦于点，若，，则__________． 【答案】 【分析】根据直径的长度求出半径，结合线段的数量关系求出的长，在直角三角形中利用勾股定理求出的长，最后根据垂径定理求出的长． 【详解】解：是的直径， ，且 在 中，由勾股定理得 是直径， 由垂径定理得． 3．如图，的直径垂直于弦，垂足为点E，F为上一点，．求与的大小． 【答案】 【分析】根据垂径定理求出，，求出，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵的直径垂直于弦， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．如图，中，，，，以为半径的交于D，求的长． 【答案】． 【分析】先根据勾股定理求出的长，过C作，交于点M，由垂径定理可知M为的中点，由三角形的面积可求出的长，在中，根据勾股定理可求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 过C作，交于点M，如图所示， ∴M为的中点， ∵，且， ∴， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 垂径定理在作图中的应用题型02 5．（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段检测）已知线段，如图，甲和乙两位同学用自己的方法确定了以为半径，为圆心的圆．对于这两种作图方法，下列说法正确的是（   ） A．甲和乙的方法均正确 B．甲和乙的方法均不正确 C．甲的方法正确，乙的方法不正确 D．甲的方法不正确，乙的方法正确 【答案】A 【分析】判断出都是等边三角形，利用垂径定理和勾股定理分别求出、即可求解． 【详解】解：甲：连接，由作图可知，，垂直平分线线段， ， ， ， 为等边三角形 垂直平分线线段， 平分， ， ， ， ，故甲的作图方式正确； 乙：连接，由作图可知，，垂直平分线线段， ， ， ， 为等边三角形 垂直平分线线段， 平分， ， ， ， ，故乙的作图方式正确． 故选：A． 【点晴】本是考查了作图――应用与设计作图，垂径定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是题解题意． 6．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，为的弦，请用尺规作图法在上找一点，连接，，使得是以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，即为所求 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，垂径定理，作垂线；连接并延长交于点，过点作的垂线交于点，连接，则即为所求； 【详解】解：根据作图可得，，是的直径 ∴垂直平分， ∴， ∴是以为底边的等腰三角形． 7．在数学活动课上，顾老师提出了一个问题：如图，已知，在上作一点P，使． 小亮同学很快就给出了下列思路： ①连接，作线段的垂直平分线，交于点E； ②连接，作线段的垂直平分线，交于P，则点P即所求． (1)请你按小亮的步骤画出图形； (2)请你利用图形，求证：． 【答案】(1) 如图所示，点P即所求． (2) 证明：如图， ，， ， ，， ， 【分析】本题考查了尺规作图，作垂直平分线及垂径定理，解决本题的关键是熟练掌握作垂直平分线及垂径定理． （1）按小亮的步骤画出图形即可； （2）利用垂径定理证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 用垂径定理进行证明题型03 8．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，已知点是的平分线上的一点，以为圆心的圆和角的两边分别交于点、和、．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：，理由如下： 过点分别作，，垂足分别为、， ，， 和是直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ． (2)证明：， ， ，， ， ． 【分析】（1）过点分别作，，则可知，且，则可证得，可得出． （2）由，可得，再根据垂径定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 9．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若的半径为，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． （1）由已知条件得出，证出，得出，证出是等边三角形，即可得出结果； （2）由垂径定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：弦垂直平分半径． ，， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：的半径为， 垂直平分半径， ，， 在中，， 即， 解得：或（舍去）， 弦的长为． 10．如图，，AB交于点C，D，OE是半径，且于点F．    (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论； （2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，      ∵， ∴ 设的半径是， ， ， ， 的半径是． 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 11．如图，在中，为直径，弦于点．平分交于点，连接，，，．    (1)求的半径． (2)，，三点是否在以点为圆心，的长为半径的圆上？请说明理由． 【答案】(1) (2)在， 理由如下： ， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，三点在以点为圆心，的长为半径的圆上． 【分析】（1）连接，如图，设的半径为则，先根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可； （2）先根据垂径定理得到，，再证明得到，所以，于是可判断，，三点在以点为圆心，的长为半径的圆上． 【详解】（1）解：连接，如图，    设的半径为则， ， ， 在中，， 解得， 即的半径为； （2） 在 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 用垂径定理解决同心圆问题析题型04 12．（2026·河北石家庄·一模）如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【答案】D 【分析】根据同心圆上两点之间的最值问题进行解决． 【详解】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为（米）， 两圆上两点最近的距离为（米）， ∴两人的距离不可能是50米． 13．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 用垂径定理解决平行弦问题题型05 14．（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 15．如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． （2）证明：延长交于．   ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键． 垂径定理的实际应用题型06 16．（25-26九年级上·山东临沂·期末）盾构机是一种大型隧道掘进专用工程机械，被称为“地下蛟龙”，我国盾构机已实现从依赖进口到全球领跑的跨越．如图，高速公路隧道的有效高度为，隧道入口宽为，该隧道所在圆的圆心为，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理． 连接，设，则，根据勾股定理可得，解方程即可求出圆的半径． 【详解】解：如下图所示，连接， 设，则， ， ， 在中，， ， 解得：， 圆的半径为． 故选：B． 17．（25-26八年级下·山东日照·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 【答案】 【分析】由垂径定理可得的长，设的半径为，则可用含的式子表示，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：， 米， （米） ． 设的半径为米，则，． 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 18．（25-26九年级上·江西宜春·期末）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图（1），其数学模型如图（2）所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径，D为圆上一点，于点C，且，则门洞的半径为________m． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，矩形的判定与性质，以及二元二次方程组的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 过作于，过作于，由垂径定理得，再证四边形是矩形，则，，设该圆的半径长为米，然后由题意列出方程组，解方程组即可. 【详解】解：过作于，过作于，如下图所示： 则米，， ∵， ∴, ∴四边形是矩形, ∴，，， 设该圆的半径长为米， 根据题意得 解得 即门洞的半径长为米， 故答案为：． 19．（24-25九年级上·广东汕头·阶段检测）利用以下素材解决问题． 问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽端点到拱顶点距离，拱顶离水面的距离． 设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 任务 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 【答案】方案一：半径为10m；方案二： 【分析】本题主要考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用垂径定理和含角的直角三角形的性质，得出是等边三角形，然后进行求解即可； （2）利用待定系数法进行求解即可． 【详解】解：方案一，设圆的圆心为，连接、、． ， ． ， ，，直线过点． ， ． ． ． ， 是等边三角形． ． 故半径为； 方案二，∵顶点坐标为， 设桥拱的函数解析式为． ， ，代入得． 解得． 故函数解析式为． 20．下列格点图中都给出了圆，只用直尺就能确定圆心的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆心的确定方法，圆心是圆中两条不平行的弦的垂直平分线的交点，且的圆周角所对的弦是直径，两直径的交点就是圆心，因此看图中弦的垂直平分线和的圆周角即可判断．充分利用格线互相垂直的特点是解题的关键． 【详解】解：A．该圆只能确定一个的圆周角，只能确定一条直径，无法确定圆心，故此选项不符合题意； B．该圆能确定两个的圆周角，能确定两条直径，能确定圆心，故此选项符合题意； C．该圆无法确定的圆周角，不能确定直径，无法确定圆心，故此选项不符合题意； D．该圆无法确定的圆周角，不能确定直径，无法确定圆心，故此选项不符合题意． 故选：B． 21．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，在中，分别为弦的中点，，不平行于．求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂径定理的推论，全等三角形的判定和性质，等边对等角． （1）连接，则，根据中点的定义得到，根据垂径定理的推论得到，根据证明，即可得到； （2）根据垂径定理的推论得到，根据等边对等角得到，即可证明． 【详解】（1）证明：连接， ∴， ∵分别为弦的中点，， ∴，， ∴ ∴； （2）证明：∵分别为弦的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C，其中点B坐标为． (1)请写出该圆弧所在的圆的圆心D的坐标______． (2)的半径为______． (3)点在______（填“上”、“内”或“外”）；______． 【答案】(1) (2) (3)外；90 【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心； （2）根据勾股定理即可得到圆的半径； （3）根据圆D的半径为，即可判断点与圆的位置关系；连接，，，根据勾股定理求出，利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，即可得 本题是圆的综合题，考查了垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理及其逆定理等知识，熟知“弦的垂直平分线必过圆心”是解答此题的关键． 【详解】（1）解：作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，如图所示， 则圆心D的坐标为； 故答案为：； （2）解：由平面直角坐标系得， 的半径为； 故答案为：； （3）解：∵点到圆心的距离为， 点在圆D外； 连接，，，由平面直角坐标系得，， ， 圆D的半径为， ， ， 是直角三角形， 故答案为：外； 23．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）天山胜利隧道是世界上最长的高速公路隧道，2025年12月26日正式通车，标志着G0711乌鲁木齐至尉犁高速公路全线投入使用，这是天山南北交通的一个历史性突破，如图所示，隧道主洞断面可以抽象成直径为的的一部分，路面最大宽度约为，求隧道主洞断面的最大高度．      【答案】隧道主洞断面的最大高度的长度为 【分析】根据垂径定理可得，在中根据勾股定理列方程即可求出的长，进而可得的长． 本题考查了圆中垂径定理和勾股定理的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：连接，   经过圆心，， ， 直径为， ， 在中， ∴， ， ． 答：隧道主洞断面的最大高度的长度为． 24．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，熟知垂径定理及其推论是解答的关键． 连接，，，根据垂径定理的推论得到，，，则O、D、C共线，设半径，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，， ∵C，D分别是和弦的中点，， ∴，，， ∴O、D、C共线， 设半径，则， 由勾股定理得，即 解得，故的半径是5， 故答案为：5． 25．（2025·山西长治·三模）如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查垂径定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选D． 26．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为_________． 【答案】15 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，勾股定理，根据题意可知，，从而得到，，得，得到，得，设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，计算的值即可． 【详解】解：点D是弧的中点， ， 为的直径，， ， ，， ， ， ， 设圆的半径为R，连接， 根据勾股定理，得到， 解得， 故答案为：15． 27．（2026·湖南长沙·二模）如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m． 【答案】130 【分析】本题考查了圆的综合应用，解题的关键是建立坐标系，以中点为原点，利用圆上三点坐标建立方程组求解．设圆心坐标为，由在圆上得，由最高点在圆上得，联立解方程即可求出半径． 【详解】解：以的中点为原点，所在直线为轴建立坐标系， 则，圆弧最高点坐标为， 由对称性知圆心在轴上，设圆心为，半径为， 在圆上， , 即，① 最高点在圆上， ，② 将②代入①，得 ， 解得， ． 故答案为：130． 28．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图1是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧，随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图2是月亮门的示意图，其中，点C为的中点，D为月亮门的最高点，则月亮门底部的宽度d与月亮门所在圆的半径r满足的数量关系为_____． 【答案】 【分析】连接，由为中点，为最高点可得，，设圆半径为，则，，在中，由勾股定理得，代入数据整理即可得到与的关系 【详解】解：连接， ∵为中点，为月亮门最高点， ∴，， ∴， 设圆的半径长为，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， ∵为月亮门底部的宽度， ∴， ∴， ∴． 29．（2026·江苏扬州·二模）如图在平面直角坐标系中，已知的半径为2，弦绕点O旋转一周扫过的区域记为W，若点在区域W内部（包含边界），弦长为m，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】设点P坐标为，如图，连接，当为直径时，m最大，最大值为4，当点P为即的中点时，，，，此时即最小，利用勾股定理求得此时的弦的长m的最小值即可求解． 【详解】解：设点P坐标为，如图，连接， 根据题意，当为直径时，m最大，最大值为4， 当点P为即的中点时，，，，此时即最小， 由勾股定理得， ∴弦的长m的最小值为， ∴满足题意的m值的取值范围为． 30．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知是的一条弦，是内一点，在下列情形时，分别经过点作一条弦，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图（1），点在上； (2)如图（2），点不在上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，垂径定理． （1）如图①，如图①，过点O作，分别以O为圆心，以为半径画弧，以P为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点F，作直线交于点C，D，线段即为所求； （2）连接，过点O作于点E，以O为圆心，为半径作弧交于点J，分别以O为圆心，以为半径画弧，以P为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点F，作直线交于点C，D，线段即为所求． 【详解】（1）如图（1），线段即为所求； 由作法可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）如图②，线段即为所求． 由作法可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 31．如图半径为r，锐角内接于，连并延长交于D，过点D作于E． (1)如图1，求证：； (2)如图1，若，求的长； (3)如图2，当时，，求r的值； (4)如图3，若，直接写出的值（用含r的代数式表示） 【答案】(1)见解析(2)3(3)(4) 【分析】（（1）延长交于F，连接，由圆周角定理可得，再由等角的余角相等可得结论； （2）作，可得，再由证明即可得到结论； （3）作于点G，于点H，可证明，得到，由勾股定理得，，延长交于，连接，可得，再由勾股定理可得结论； （4）延长交于点F，连接，过点C作于点G，连接交于点H，由证明得，从而，再根据证明得，最后由勾股定理可得结论． 【详解】（1）延长交于F，连接， ∴ ∵为直径，， ∴， ∴； （2）作于N， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）作于点G，于点H， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴可得， 又∵， ∴， 在中，， 设， 在中，， 解得， ∴， 延长交于，连接， ∵， ∴， 在中，． ∴； （4）延长交于点F，连接，过点C作于点G，连接交于点H，如图， ， ， ， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 为的直径， ， ， ， ．　 【点睛】本题考查垂径定理、直径的性质、勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 32．（25-26九年级上·江西赣州·期末）在单元格中，点A、B、C、O为格点，请仅用无刻度的直尺完成作图． (1)在图1中，作一条弦，使得； (2)在图2中，作的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，分别延长交于点N、M，连接，即可解答； （2）连接正方形的对角线，延长交于点P，连接，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，． 理由如下：连接，分别延长交于点N，M，连接，如图 ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，为的角平分线． 理由如下：连接正方形的对角线，延长交于点P，连接，如图 ∵四边形是正方形， ∴， ∵圆心O在上， ∴， ∴， ∴为的角平分线． 33．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知内接于，，E是弧的中点，连结，交于点D，射线交的延长线于点F． (1)如图1， ①求证：； ②若，，求的长； (2)若直线与直线交于点G，且，求的度数． 【答案】(1)①见解析② (2)或 【分析】（1）①由垂径定理知，，，则，，因为，所以，则题目可证； ②设与交于点，连接，设，则，根据勾股定理得，据此列出方程求解即可； （2）利用分类讨论的思想方法分两种情况同理解答：①点在线段上时，连接，设，则，利用线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可；②点在线段的延长线上时，连接，类比①的方法解答即可． 【详解】（1）①证明：， ， ， ， 是弧的中点， ， ， ， ， ， ； ②解：设与交于点，连接，如图， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ． （2）解：①点在线段上时，连接，如图， ， ， 设， ， 是弧的中点， ，， 为的垂直平分线， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②点在线段的延长线上时，连接，如图， ， ， 设， ， 是弧的中点， ，， 为的垂直平分线， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 综上，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理及其推论，线段的垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，添加适当的辅助线构造等腰三角形与直角三角形是解题的关键． 34．（25-26九年级上·山西忻州·阶段检测）项目学习 项目背景：图1是山西某市一座有名的大桥，是当地的重要渡河节点．某综合实践小组为了测量大桥桥孔所在圆的半径，开展了项目式学习活动，形成了如下表格． 项目主题 如何测量大桥桥孔所在圆的半径 驱动任务 测量大桥桥孔所在圆的半径 活动内容 利用圆的有关知识进行大桥桥孔所在圆的半径的测量和计算 活动过程 1．方案说明：图2是大桥桥孔的平面示意图，为某一时刻水面的宽度，为弧的中点，于点． 2．测量数据：米，米． 3．计算：⋯⋯ 交流展示 ⋯⋯ 根据表中数据计算大桥桥孔所在圆的半径． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理的应用，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 延长至点，连接，使得，则点为圆心，由垂径定理得到，设，则，然后在中由勾股定理建立方程求解． 【详解】解：延长至点，连接，使得，则点为圆心， ∵，经过圆心， ∴， 设，则 在中，由勾股定理得， ∴， 解得 ∴大桥桥孔所在圆的半径为． 35．（25-26九年级上·浙江舟山·期末）如图是输水管道的截面示意图，正方形，正方形水平放置在地面上，点，在上．已知的半径为，正方形边长均为，圆心与地面的距离为． (1)求的长度； (2)如图，输水管道内只有阴影部分未被水灌满，其水面宽度为，求阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查圆的垂径定理、正方形的性质，求弓形的面积等，能够画出辅助线是解题的关键． （1）连接，，作于点，交于点，并结合正方形的性质，得到，通过平行线间的距离处处相等，得到，再根据垂径定理求解即可； （2）过点作，连接，，先根据垂径定理求出、的值，再通过三角函数的计算推出，，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，作于点，交于点， ∵正方形，正方形水平放置在地面，正方形边长均为， ∴， ∴， ∵圆心与地面的距离为， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴的长度为． （2）如图，过点作，连接，， ∵，， ∴，， ∵，根据勾股定理求得， ∴， ∴，， ∴， ， ∴阴影部分的面积为． 36．（2026·四川南充·中考真题）如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为直径，，， ， 在中，． 37．（2026·江苏苏州·中考真题）苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 【答案】10 【分析】连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接，则，，，，设的半径为r，则，，根据垂径定理求出，进而在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接， 由题意可得，四边形，四边形都是矩形， ∴，，， 设的半径为r，则， ∴， ∵过圆心O，且， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴所在的半径为10分米． 38．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，垂径定理，对于，当时，得直线过定点，再求出，得点P在内部，根据过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，得当直线与垂直时，为最小，此时，在中，由勾股定理求出，进而可得的最小值． 【详解】解：∵ ∴直线过定点， ∵点， ∴， 又∵的半径为， ∴， ∴点P在内部， 由于过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，即当直线与垂直时，为最小，如图所示： 由垂径定理得：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 即的最小值为6． 故答案为：6． 试卷第2页，共46页 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $