高中数学单元测试——第5章导数及其应用（较易版01）

**基本信息** 高中数学第5章导数及其应用单元复习卷（较易版），覆盖导数计算、几何意义等核心知识，通过基础题与综合应用梯度设计，适配单元巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|导数计算（题1-2）、几何意义（题3）|基础题为主，梯度衔接自然| |多选题|3题18分|导函数图像分析（题10）、创新定义“拐点”（题11）|融合新情境，考查数学眼光| |填空题|3题15分|函数最值（题13）、存在性问题（题14）|聚焦关键能力，难度适中| |解答题|5题67分|切线方程（题15）、极值与恒成立（题19）|分问设计层层递进，体现数学思维逻辑性；题7以工厂利润为情境，落实数学语言表达现实世界|

高中数学单元测试 —— 第5章 导数及其应用（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则（    ） A． B．4 C．2 D． 2．（本题5分）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 4．（本题5分）函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）若函数的极小值为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）某工厂生产一种产品，每个月的固定成本为元，每生产一件产品，成本增加元．已知每个月该工厂的销售额与月产量的关系是，，则该工厂每个月的利润的最大值为（    ） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 8．（本题5分）设，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列函数是奇函数且为增函数的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 11．（本题6分）对于三次函数 ，现给出定义: 设 是函数 的 导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函 数 的 “拐点”. 经过探究发现: 任何一个三次函数都 有 “拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且 “拐点” 就是对称中心. 已知函数 ，则（    ） A．函数 有三个零点 B．函数 有两个极值点 C．点 是曲线 的对称中心 D．方程 有三个不同的实数根 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，则______． 13．（本题5分）函数，的最小值是________. 14．（本题5分）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是____． 四、解答题 15．（本题13分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 16．（本题15分）已知函数在处有极值4. (1)求a，b的值； (2)求函数在区间上的最值. 17．（本题15分）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数. (1)若在上为“凸函数”，求的取值范围； (2)若，判断在区间上的零点个数. 18．（本题17分）已知函数． (1)当时，求在区间上的零点个数； (2)当，时，求证：． 19．（本题17分）已知函数 (1)若，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若恒成立，求实数a的取值集合． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第5章 导数及其应用（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】, 故选：C 2．（本题5分）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的加法公式和指数函数的导数公式求解即可. 【详解】因为，所以，故A正确. 故选：A 3．（本题5分）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 【答案】C 【分析】根据导数的定义及割线的定义结合函数的图象判断即可． 【详解】通过图象可知，曲线在点处、点处切线的斜率为正，在点处切线的斜率为负，割线的斜率为正， 所以最小值为曲线在点处切线的斜率. 故选：C 4．（本题5分）函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，令，解不等式即可. 【详解】，定义域为，， 令，解得. 故答案为：D 5．（本题5分）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数符号，单调性即可判断. 【详解】对于 ，当 时， ，故B错误； ，显然在定义域内 ， 即在 和 都是增函数，C正确，AD错误； 故选：C. 6．（本题5分）若函数的极小值为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，根据导数确定导函数的单调性，即可结合极值的定义求解. 【详解】由可得， 当时，，此时在单调递增，无极值， 当时，由于函数均在单调递增，则在单调递增， 结合有极值，故必然有零点，且有唯一的零点，设为， 则，即，有， 当在单调递减，当在单调递增， 故是的极小值点，故，则，解得， 综上可得， 故选：C 7．（本题5分）某工厂生产一种产品，每个月的固定成本为元，每生产一件产品，成本增加元．已知每个月该工厂的销售额与月产量的关系是，，则该工厂每个月的利润的最大值为（    ） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出利润的函数关系，再利用导数求出函数最大值作答. 【详解】设每个月该工厂的利润为， 则（）， 求导得，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则当时，取得最大值， 所以该工厂每个月的利润的最大值为元． 故选：C 8．（本题5分）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算及性质求出，再由不等式判断的范围，利用对数函数的单调性判断的范围即可得解. 【详解】由可得，所以， 令，则，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 当时等号成立，所以， 又， 所以， 故选：A 二、多选题 9．（本题6分）下列函数是奇函数且为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用函数奇偶性的定义、基本初等函数的单调性以及导数法逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数是定义域为上的奇函数，且为增函数，A满足条件； 对于B选项，设，该函数的定义域为， ，故函数为偶函数，B不满足条件； 对于C选项，设，该函数的定义域为， ，故函数为奇函数， 对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数，C满足条件； 对于D选项，函数为奇函数，且该函数在定义域上不单调，D不满足条件. 故选：AC. 10．（本题6分）设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 【答案】BD 【分析】利用导函数的图象的正负即可判断的单调性，从而得到极值点和最值. 【详解】如图，设的图象和轴交点的横坐标从左到右依次为， 根据的图象可知， 函数在和上，单调递增， 函数在和上，单调递减， 故在上单调递增，上单调递减，故A错误； 由单调性知的极大值点为，极小值点为，故B正确； 函数的最大值是和两者中较大的一个，没有最小值，故C错误，D正确. 故选：BD.    11．（本题6分）对于三次函数 ，现给出定义: 设 是函数 的 导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函 数 的 “拐点”. 经过探究发现: 任何一个三次函数都 有 “拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且 “拐点” 就是对称中心. 已知函数 ，则（    ） A．函数 有三个零点 B．函数 有两个极值点 C．点 是曲线 的对称中心 D．方程 有三个不同的实数根 【答案】BCD 【分析】利用导数研究的单调性，根据零点的定义与存在性定理即可判断A；根据极值点的定义即可判断B；根据拐点的定义即可判断C；根据数形结合的思想即可判断D. 【详解】由得， 令或， 所以在单调递减，在、单调递增. A：因为， 所以在存在1个零点，故在R上有2个零点，故A错误； B：的极大值点为，极小值点为， 所以有2个极值点，故B正确； C：令，得，， 所以是的拐点，进而是的对称中心，故C正确； D：因为的极大值为，极小值为， 作出直线与函数的图象，如图， 由图可知，直线与函数的图象有3个交点， 所以方程有3个不同的实根，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，则______． 【答案】1 【分析】求导得，令即可求解. 【详解】对求导得，， 令，得，解得. 故答案为：1 13．（本题5分）函数，的最小值是________. 【答案】 【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调性，求出端点处的函数值，即可得解. 【详解】因为，，所以， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以. 故答案为； 14．（本题5分）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是____． 【答案】 【分析】由题意得，即，得，设，所以与有两个交点，利用导数研究单调性进而作出函数图像，利用数形结合即可求解. 【详解】由，即，所以，即， 设，所以与有两个交点， 则， 由，解得，此时函数单调递增， 由，解得，此时函数单调递减， 所以当时，函数取得极小值，同时也是最小值， 所以当时，，当时，， 作出函数的函数图像：    由图像可知：， 故答案为：． 四、解答题 15．（本题13分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)递增区间为和，递减区间为和 【分析】（1）求出导函数，计算出，，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解； （2）令即可求出函数的单调递增区间，令即可求出函数的单调递减区间. 【详解】（1）由题意知， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为， 由（1）知， 令得或；令得，且， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和. 16．（本题15分）已知函数在处有极值4. (1)求a，b的值； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1)， (2)最小值是，最大值是. 【分析】（1）根据极值的定义得到关于，的方程组，即可求出，. （2）判断函数在上的单调性，结合函数的极值和端点函数值求解. 【详解】（1）， ∵函数在处取得极值4， ∴，，解得，， ∴，经验证在处取得极大值4， 故，. （2）由（1）可知，，， 令，解得，令，解得或， 因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在在时取得极小值，极小值为； 在时取得极大值，极大值为，且，， 经比较，函数在区间上的最小值是，最大值是. 17．（本题15分）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数. (1)若在上为“凸函数”，求的取值范围； (2)若，判断在区间上的零点个数. 【答案】(1) (2)1个 【分析】（1）根据“凸函数”定义对函数求导，由不等式在恒成立即可求得的取值范围； （2）易知，由导函数求得其在上的单调性，利用零点存在定理可知零点个数为1个. 【详解】（1）由可得其定义域为，且， 所以， 若在上为“凸函数”可得在恒成立， 当时，显然符合题意； 当时，需满足，可得； 综上可得的取值范围为； （2）若，可得，所以， 令，则； 易知在区间上恒成立， 因此可得在上单调递减； 显然，； 根据零点存在定理可得存在使得， 因此可知当时，，即在上为单调递增； 当时，，即在上为单调递减； 又，显然在上不存在零点； 而，结合单调性可得在上存在一个零点； 综上可知，在区间上仅有1个零点. 18．（本题17分）已知函数． (1)当时，求在区间上的零点个数； (2)当，时，求证：． 【答案】(1)1 (2)证明：当，时，，求导得， 令，则， 由（1）知在上单调递增，从而在上单调递减， 又在上单调递减， 所以在上单调递减， 注意到， 从而存在唯一的，使得， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 而， 所以当时，， 从而存在唯一的，使得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 综上所述，在上单调递增，在上单调递减， ， 所以当，时，. 【分析】（1）直接求导得函数在上单调递增，结合零点存在定理即可求解； （2）求导后令，继续求导得的单调性，进一步结合零点存在定理得它的符号变化，从而可得的单调性，由此即可得解. 【详解】（1）当时，，求导得， 当时，且这三者不同时为0，从而在上恒成立， 从而在上严格单调递增， 注意到， 从而在区间上的零点个数为1； （2）略 19．（本题17分）已知函数 (1)若，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若恒成立，求实数a的取值集合． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）求导即可得到，再由极值的定义，代入计算，即可得到结果； （2）求导即可得到，然后分与讨论，即可得到结果； （3）根据题意，分以及讨论，然后结合（2）中的结论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以． 令，得；令，得． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值． （2）因为，所以． 当时，在上单调递增． 当时，令，得，令，得． 故在上单调递减，在上单调递增． （3）由（2）知，当时，在上单调递增． 因为，所以当时，，不满足题意． 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以．若，则． 令，则，所以在上单调递增， 在上单调递减， 所以，所以，即实数的取值集合为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $