高中数学单元测试——第五章一元函数的导数及其应用（适中版02）

**基本信息** 高中数学第五章一元函数的导数及其应用单元卷，覆盖导数定义、计算、几何意义、单调性、极值与实际应用等核心知识，通过基础巩固与创新应用梯度设计，适配单元复习，提升数学思维与问题解决能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数计算（第2题）、切线斜率比较（第3题）|结合图像分析，培养几何直观（数学眼光）| |多选题|3/18|导函数图像应用（第10题）、新定义“双向奔赴”函数（第11题）|创新情境，考查抽象与逻辑推理能力（数学思维）| |填空题|3/15|闭区间最值（第13题）、恒成立问题（第14题）|聚焦基础技能，强化运算能力| |解答题|5/67|切线方程（15题）、参数讨论（19题）、“凸函数”应用（17题）|分层设计，结合火车费用优化（第7题）等实际情境，发展应用意识与创新意识（数学语言）|

高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则函数在处的导数为（    ） A． B．3 C． D．6 2．（本题5分）函数的导数（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 4．（本题5分）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）若函数，既有极大值又有极小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）某火车每小时电力消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为时，每小时电力消耗费用为40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为，要使从甲城开往乙城的总费用最少，则速度应为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列函数在上是单调函数的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 11．（本题6分）已知函数，的定义域均为，若存在函数，使得函数，在上有，，，恒成立，则称，为一组“双向奔赴”函数.下列各组函数中，符合“双向奔赴”函数的有（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，则_____． 13．（本题5分）函数，的最小值是________. 14．（本题5分）已知，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________. 四、解答题 15．（本题13分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 16．（本题15分）已知函数在处有极值 (1)求的值并判断是极大值点还是极小值点； (2)求函数在区间上的最值． 17．（本题15分）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数. (1)若在上为“凸函数”，求的取值范围； (2)若，判断在区间上的零点个数. 18．（本题17分）已知函数． (1)当时，求在区间上的零点个数； (2)当，时，求证：． 19．（本题17分）已知函数． (1)当时，求的极大值； (2)讨论的单调性； (3)若，求实数a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则函数在处的导数为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】根据题意，设函数在处的导数为. 因为，则， 即，所以. 故选：D 2．（本题5分）函数的导数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用自然对数和常数求导即可求解. 【详解】求导得：， 故选：A. 3．（本题5分）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 【答案】C 【分析】根据导数的定义及割线的定义结合函数的图象判断即可． 【详解】通过图象可知，曲线在点处、点处切线的斜率为正，在点处切线的斜率为负，割线的斜率为正， 所以最小值为曲线在点处切线的斜率. 故选：C 4．（本题5分）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，令求解可得. 【详解】由题知，， 令，解得， 所以，函数的单调减区间为. 故选：C 5．（本题5分）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数判断函数的单调性即可得到函数的大致图象. 【详解】易知，因为，令，得，或， 则时，，时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 所以选项A符合题意, 故选：A. 6．（本题5分）若函数，既有极大值又有极小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，由既有极大值也有极小值可知，一元二次方程在上有2个不同的实根，进而建立不等式组，解之即可求解. 【详解】，则， 函数既有极大值，也有极小值， 等价于一元二次方程在上有2个不同的实根， 则，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：B 7．（本题5分）某火车每小时电力消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为时，每小时电力消耗费用为40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为，要使从甲城开往乙城的总费用最少，则速度应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设速度为，甲、乙两城距离为，比例系数为k，求出总费用，再利用导数求最值可得答案. 【详解】设速度为，甲、乙两城距离为，比例系数为k， 则总费用． 由已知条件，得，，． 令，解得， 当时，；当时，． 当时，最小， 要使总费用最少，速度应为． 故选：A. 8．（本题5分）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，，求证，即可赋值判断. 【详解】①令，则， 当时，，所以，当时，，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即，等号成立时， 所以，即； ②令，则， 当时，，当1时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以0，即，等号成立时， 所以，即． 综上，． 故选：C． 二、多选题 9．（本题6分）下列函数在上是单调函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据导函数确定函数单调性即可. 【详解】对于A，，在上单调递增，故A正确； 对于B，，在上单调递减，故B正确； 对于C，，令，令， 故在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于D，，令，令， 在上单调递减，在上单调递增，故D错误； 故选：AB. 10．（本题6分）设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 【答案】BD 【分析】利用导函数的图象的正负即可判断的单调性，从而得到极值点和最值. 【详解】如图，设的图象和轴交点的横坐标从左到右依次为， 根据的图象可知， 函数在和上，单调递增， 函数在和上，单调递减， 故在上单调递增，上单调递减，故A错误； 由单调性知的极大值点为，极小值点为，故B正确； 函数的最大值是和两者中较大的一个，没有最小值，故C错误，D正确. 故选：BD.    11．（本题6分）已知函数，的定义域均为，若存在函数，使得函数，在上有，，，恒成立，则称，为一组“双向奔赴”函数.下列各组函数中，符合“双向奔赴”函数的有（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BD 【分析】分析可知，，，.对于A：分析可知在内的值域为，即可得出矛盾，进而分析判断；对于B：利用导数判断的单调性，结合题意分析判断；对于C：整理可得，举反例说明即可；对于D：求导，根据题意分析说明即可. 【详解】由题意可知：，， 等价于，； 且，， 等价于，. 对于选项A：因为，，则在内的值域为， 可知不存在，使得恒成立，不符合“双向奔赴”函数，故A错误； 对于选项B：因为， 对于，则，可知在内单调递减， 且当趋近于时，趋近于0，可知； 对于，则且， 可知当，满足题意， 所以符合“双向奔赴”函数，故B正确； 对于选项C：因为，，则， 对于，，， 取特值，可知， 不合题意，即不符合“双向奔赴”函数，故C错误； 对于选项D：因为，，， 对于，此时， 可得，且； 对于，此时， 可得，， 可知当，满足题意， 所以符合“双向奔赴”函数，故D正确； 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在意对题意进行重组，题意等价于，，，，进而分析求解. 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，则_____． 【答案】 【分析】先求出，再代入即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 13．（本题5分）函数，的最小值是________. 【答案】 【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调性，求出端点处的函数值，即可得解. 【详解】因为，，所以， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以. 故答案为； 14．（本题5分）已知，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________. 【答案】 【分析】将条件变形可得，令，利用导数求得的单调性，可得，即，令，利用导数求得的单调性和最值，分析即可得答案. 【详解】由题意，，可得， 所以， 令， 则， 所以在上单调递增， 又， 所以，对任意的恒成立， 所以，只需即可， 设，，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 又，且， 所以， 所以，则实数的最大值为. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)递增区间为和，递减区间为和 【分析】（1）求出导函数，计算出，，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解； （2）令即可求出函数的单调递增区间，令即可求出函数的单调递减区间. 【详解】（1）由题意知， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为， 由（1）知， 令得或；令得，且， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和. 16．（本题15分）已知函数在处有极值 (1)求的值并判断是极大值点还是极小值点； (2)求函数在区间上的最值． 【答案】(1)，极小值点 (2)最大值为4，最小值为 【分析】（1）求出函数的导数，根据函数在处有极值可得，可求得a的值；判断函数的单调性，即可判断判断是极大值点还是极小值点； （2）根据函数在上的单调性，结合函数值即可确定最值. 【详解】（1）因为函数，故， 由于函数在处有极值，故， 此时， 当或时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 则为的极小值点，符合题意， 故，且为的极小值点. （2）由（1）可知在单调递减，在单调递增， 故是函数在区间上的极小值也是最小值， 由可知函数在区间上的最大值为4. 17．（本题15分）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数. (1)若在上为“凸函数”，求的取值范围； (2)若，判断在区间上的零点个数. 【答案】(1) (2)1个 【分析】（1）根据“凸函数”定义对函数求导，由不等式在恒成立即可求得的取值范围； （2）易知，由导函数求得其在上的单调性，利用零点存在定理可知零点个数为1个. 【详解】（1）由可得其定义域为，且， 所以， 若在上为“凸函数”可得在恒成立， 当时，显然符合题意； 当时，需满足，可得； 综上可得的取值范围为； （2）若，可得，所以， 令，则； 易知在区间上恒成立， 因此可得在上单调递减； 显然，； 根据零点存在定理可得存在使得， 因此可知当时，，即在上为单调递增； 当时，，即在上为单调递减； 又，显然在上不存在零点； 而，结合单调性可得在上存在一个零点； 综上可知，在区间上仅有1个零点. 18．（本题17分）已知函数． (1)当时，求在区间上的零点个数； (2)当，时，求证：． 【答案】(1)1 (2)证明：当，时，，求导得， 令，则， 由（1）知在上单调递增，从而在上单调递减， 又在上单调递减， 所以在上单调递减， 注意到， 从而存在唯一的，使得， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 而， 所以当时，， 从而存在唯一的，使得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 综上所述，在上单调递增，在上单调递减， ， 所以当，时，. 【分析】（1）直接求导得函数在上单调递增，结合零点存在定理即可求解； （2）求导后令，继续求导得的单调性，进一步结合零点存在定理得它的符号变化，从而可得的单调性，由此即可得解. 【详解】（1）当时，，求导得， 当时，且这三者不同时为0，从而在上恒成立， 从而在上严格单调递增， 注意到， 从而在区间上的零点个数为1； （2）略 19．（本题17分）已知函数． (1)当时，求的极大值； (2)讨论的单调性； (3)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． (3)． 【分析】（1）利用导函数求极值即可； （2）根据函数单调性与导函数的关系，对参数进行分类讨论，求出各类别中导函数的正负，求出函数单调性； （3）根据对函数单调性的讨论情况，找到极大值点，求出极大值即为最大值，列出不等式，求出参数范围. 【详解】（1）当时，， 的定义域为，． 令，得． 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 故当时，有极大值，且极大值为． （2）的定义域为，． 当时，，在上单调递增． 当时，令，得或（舍去）． 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由（2）知，当时在上单调递增，当时，， 故不成立． 当时，． 由，得， 即． 令，则，故． 由， 因为，所以， 得函数在上单调递增，故． 综上，实数a的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $