第5章导数及其应用阶段性测验 5.1～5.2 限时训练-2024-2025学年高二下学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

阶段性测验 5.1～5.2 [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1．如果一个物体的运动方程为S＝t3，其中S的单位是千米，t的单位是小时，那么物体在第4小时末的瞬时速度是(　　) A．12千米/小时 B．24千米/小时 C．48千米/小时 D．64千米/小时 2．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于(　　) A．2e B．e C．2 D．1 3．设＝－2，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线的倾斜角是(　　) A. B. C. D. 4.如图，点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))在函数f(x)的图象上，且x2＜x1，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x1)与f′(x2)的大小关系是(　　) A．f′(x1)>f′(x2) B．f′(x1)<f′(x2) C．f′(x1)＝f′(x2) D．不能确定 5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3ln x，则f′(1)等于(　　) A．－3 B．2e C. D. 6.如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图象是(　　) 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7．下列结论中正确的有(　　) A．若y＝sin ，则y′＝0 B．若f(x)＝3x2－f′(1)x，则f′(1)＝3 C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1 D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x 8．已知直线l与曲线f(x)＝ln x＋x2相切，则下列直线中可能与l平行的是(　　) A．3x－y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．4x－y＋1＝0 D．5x－y＋3＝0 9．已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f＝f′，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列四个函数中存在“巧值点”的函数有(　　) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x 三、填空题(每小题5分，共15分) 10．已知函数f(x)，g(x)满足f＝5，f′＝3，g＝4，g′＝1，若h(x)＝，则h′＝________. 11．曲线f(x)＝xnex在x＝1处的切线与坐标轴围成三角形的面积为，则n＝________. 12．若函数y＝f(x)和y＝g(x)的切线中存在两条切线平行，则称这两个函数具有“局部平行性”．已知函数f(x)＝ax＋sin x与g(x)＝cos x存在“局部平行性”，则a的取值范围为________． 四、解答题(共37分) 13．(12分)求下列函数的导数： (1)y＝ ；(3分) (2)y＝；(3分) (3)y＝(2x＋1)5；(3分) (4)y＝loga(3x＋2)．(3分) 14．(12分)有一个长方体的容器(如图)，它的宽为10 cm，高为100 cm.右侧面为一活塞，容器中装有1 000 mL的水．活塞的初始位置(距左侧面)为x0＝1 cm，水面高度为100 cm.当活塞位于距左侧面x cm的位置时，水面高度为y cm. (1)写出y关于x的函数解析式y＝f(x)，x≤200 cm；(3分) (2)活塞的位置x从1 cm变为2 cm，水面高度y改变了多少？活塞的位置x从8 cm变为10 cm，水面高度y改变了多少？以上哪个过程水面高度的变化较快？(4分) (3)试估计当x＝10 cm时，水面高度y的瞬时变化率．(5分) 15．(13分)(1)①已知f(x)＝e－x，求f′.(3分) ②已知f(x)＝，求f′；(3分) (2)求过点Q的曲线y＝x3－2x的切线方程．(7分) 1．C　[由题意可得v＝S′＝3t2，则当t＝4时，v＝48.] 2．C　[y′＝ex－1＋xex－1，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为k＝e1－1＋e1－1＝2.] 3．C　[因为 ＝2f′＝－2， 所以f′＝－1，则曲线y＝f(x)在点处的切线斜率为－1， 故所求切线的倾斜角为.] 4．A　[根据题意，得点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，f′(x)为f(x)的导函数， 则f′(x1)为f(x)在点A处切线的斜率，设其斜率为k1，f′(x2)为f(x)在点B处切线的斜率，设其斜率为k2， 由函数的图象可得k1＞k2，即有f′(x1)>f′(x2)．] 5．D　[因为f′(1)为常数，所以f′(x)＝2exf′(1)＋，所以f′(1)＝2ef′(1)＋3，所以f′(1)＝.] 6．D　[不妨设A固定，B从A点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB长度很短，这时给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢； 当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快； 从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快逐渐减慢． 由上可知函数y＝f(x)的图象应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确．] 7．ABC　[选项A中，若y＝sin ＝，则y′＝0，故A正确； 选项B中，若f(x)＝3x2－f′(1)x，则f′(x)＝6x－f′(1)， 令x＝1，则f′(1)＝6－f′(1)，解得f′(1)＝3，故B正确； 选项C中，若y＝－＋x，则y′＝－＋1，故C正确； 选项D中，若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x－sin x，故D错误．] 8．ACD　[f(x)＝ln x＋x2，x>0， 则f′(x)＝＋2x≥2， 当且仅当＝2x， 即x＝时等号成立， 根据导数的几何意义知，切线的斜率k≥2， 设所求直线的斜率为k1， 因为所求直线与直线l平行， 所以所求直线的斜率k1≥2， 选项A中直线的斜率为3>2，符合题意； 选项B中直线的斜率为2<2，不符合题意； 选项C中直线的斜率为4>2，符合题意； 选项D中直线的斜率为5>2，符合题意．] 9．AC　[A中，f(x)＝x2，f′(x)＝2x，x2＝2x，解得x＝0，x＝2，有“巧值点”； B中，f(x)＝e－x，f′(x)＝－e－x，－e－x＝e－x无解，无“巧值点”； C中，f(x)＝ln x，f′(x)＝，ln x＝，令g(x)＝ln x－，g(1)＝－1<0，g(e)＝1－>0，由零点存在定理知，在区间(1，e)上必有零点，所以f(x)有“巧值点”； D中，f(x)＝tan x，f′(x)＝，＝tan x，sin xcos x＝1，即sin 2x＝2，无解，所以f(x)无“巧值点”．] 10. 解析　∵h(x)＝， ∴h′(x)＝， 由f＝5，f′＝3，g＝4，g′＝1， 得h′＝ ＝＝. 11．2或－ 解析　由已知得f′(x)＝(xn＋nxn－1)ex， 所以f(1)＝e，f′＝(n＋1)e， 所以切线方程为y－e＝(n＋1)e(x－1)． 令x＝0，得y＝－ne；令y＝0，得x＝， 所以切线与坐标轴围成的三角形面积为S＝×e＝，解得n＝2或－. 12. 解析　由题意得f′(x)＝a＋cos x，g′(x)＝－sin x，设y＝f(x)的切点为(x1，y1)，y＝g(x)的切点为(x2，y2)，则a＋cos x1＝－sin x2有解， x2∈R，－sin x2∈[－1,1]；x1∈R，a＋cos x1∈[a－1，a＋1]，因此[－1,1]∩[a－1，a＋1]≠∅， 所以解得－2≤a≤2. 13．解　(1)令t＝1－2x， 则y＝， 所以y′＝＝··(－2)＝. (2)y′＝＝＝. (3)y′＝5(2x＋1)4×2＝10(2x＋1)4. (4)y′＝×3＝. 14．解　(1)水的体积恒定不变， 则10xy＝1 000， ∴y＝(1≤x≤200)． (2)活塞位置为1 cm时，y1＝＝100(cm)； 活塞位置为2 cm时，y2＝＝50(cm)， 水面高度改变为Δy＝y2－y1＝50－100＝－50(cm)； 活塞位置为8 cm时，y3＝＝12.5(cm)； 活塞位置为10 cm时，y4＝＝10(cm)； ∴水面高度改变为Δy＝y4－y3＝10－12.5＝－2.5(cm)， 可见，前一个过程水面高度的变化较快． (3)∵＝ ＝ ＝－， 当Δx趋于0时，趋于－1， ∴当x＝10 cm时，水面高度y的瞬时变化率为－1. 15．解　(1)①f′(x)＝e－x，f′＝5e－2. ②f′(x)＝，f′＝0. (2)设P为切点， 则切线的斜率为f′＝3x－2， 故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)， 即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)， 又知切线过点，代入上式得－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)， 即2x－3x＋1＝0， 解得x0＝1或x0＝－， 故所求的切线方程为y＋1＝x－1 或y－＝－， 即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$