高中数学单元测试——第五章一元函数的导数及其应用（适中版01）

**基本信息** 聚焦一元函数的导数及其应用单元，通过基础计算、实际优化与创新探究的梯度设计，适配单元复习，强化数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数计算（题2）、切线斜率（题3）、单调区间（题4）|结合图像辨析（题3），基础概念与几何意义并重| |多选题|3/18|单调性判断（题9）、导函数图像分析（题10）、泰勒多项式（题11）|引入泰勒多项式（题11），渗透高等数学思想| |填空题|3/15|导数应用（题13求最值）、存在性问题（题14）|聚焦导数工具性，考查逻辑推理| |解答题|5/77|切线方程（15(1)）、极值与最值（16）、零点问题（17(2)）、恒成立证明（18(2)）|分问设计递进（题19三问），综合考查建模与论证能力|

高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用导数的定义计算进行求解. 【详解】由， 则. 故选：D. 2．（本题5分）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的导数，结合导数的减法法则运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 3．（本题5分）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 【答案】C 【分析】根据导数的定义及割线的定义结合函数的图象判断即可． 【详解】通过图象可知，曲线在点处、点处切线的斜率为正，在点处切线的斜率为负，割线的斜率为正， 所以最小值为曲线在点处切线的斜率. 故选：C 4．（本题5分）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，再利用导数求函数的单调减区间即可. 【详解】由，当，得， 所以的单调递减区间为． 故选：B 5．（本题5分）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数判断函数的单调性即可得到函数的大致图象. 【详解】易知，因为，令，得，或， 则时，，时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 所以选项A符合题意, 故选：A. 6．（本题5分）若函数的极小值为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，根据导数确定导函数的单调性，即可结合极值的定义求解. 【详解】由可得， 当时，，此时在单调递增，无极值， 当时，由于函数均在单调递增，则在单调递增， 结合有极值，故必然有零点，且有唯一的零点，设为， 则，即，有， 当在单调递减，当在单调递增， 故是的极小值点，故，则，解得， 综上可得， 故选：C 7．（本题5分）某火车每小时电力消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为时，每小时电力消耗费用为40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为，要使从甲城开往乙城的总费用最少，则速度应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设速度为，甲、乙两城距离为，比例系数为k，求出总费用，再利用导数求最值可得答案. 【详解】设速度为，甲、乙两城距离为，比例系数为k， 则总费用． 由已知条件，得，，． 令，解得， 当时，；当时，． 当时，最小， 要使总费用最少，速度应为． 故选：A. 8．（本题5分）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数证明，令，求解判断. 【详解】设，则， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以，即， 所以，即， 所以，∴， 又， 而，∴， 故. 故选：D. 二、多选题 9．（本题6分）下列函数在定义域上为增函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】求出函数的定义域，再借助导数判断单调性即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数在定义域上不单调，A不是； 对于B，函数定义域为R，， 当且仅当时取等号，函数在定义域上单调递增，B是； 对于C，函数定义域为R，，当时，， 函数在上单调递减，函数在定义域上不是增函数，C不是； 对于D，函数定义域为R，求导得，函数在定义域上单调递增，D是. 故选：BD 10．（本题6分）如下图是的导函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A．在区间上单调递增 B．是的极小值点； C．在区间上单调递增，在区间上单调递减 D．在处取最大值 【答案】BC 【分析】由导函数的图象，可判断在对应区间上的单调性与极值，对四个选项逐一判断可得答案． 【详解】由导函数的图象可知，当时， 当时，当时，当时， 所以在区间上单调递减，故A错误； 在区间上单调递增，在区间上单调递减，上单调递增， 在和处取得极小值，故B、C正确； 因为在区间上单调递增，处取得极大值， 在处的函数值小于在处的函数值，故D错误. 故选：BC． 11．（本题6分）记为函数的阶导数，，若存在，则称阶可导.英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称其为在处的次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值.下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．在处的3次泰勒多项式为 D． 【答案】BCD 【分析】对于AB，根据求导公式求导，然后观察规律即可；对于C，求出在处的次泰勒多项式；对于D，求出在处的3次泰勒多项式为，再令代入计算可得. 【详解】对于A，若，则，， ，， 所以，故A错误； 对于B，若，则， ，， 观察可知，故B正确； 对于C，，则， 因为， 所以在处的次泰勒多项式，故C正确 对于D，的阶导数， 得， 则，故D正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：对于D选项，关键在于理解次泰勒多项式的定义及作用，求出在处的次泰勒多项式，据此进行估算. 三、填空题 12．（本题5分）若，则________． 【答案】 【分析】对函数求导直接代入计算即可. 【详解】由可得， 所以. 故答案为： 13．（本题5分）函数，的最小值是________. 【答案】 【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调性，求出端点处的函数值，即可得解. 【详解】因为，，所以， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以. 故答案为； 14．（本题5分）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是____． 【答案】 【分析】由题意得，即，得，设，所以与有两个交点，利用导数研究单调性进而作出函数图像，利用数形结合即可求解. 【详解】由，即，所以，即， 设，所以与有两个交点， 则， 由，解得，此时函数单调递增， 由，解得，此时函数单调递减， 所以当时，函数取得极小值，同时也是最小值， 所以当时，，当时，， 作出函数的函数图像：    由图像可知：， 故答案为：． 四、解答题 15．（本题13分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出切线方程； （2）解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间. 【详解】（1）因为，所以， 则，， 所以切点为，切线的斜率，则切线方程为； （2）函数的定义域为， 又， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 16．（本题15分）已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）由即可求解； （2）由函数单调性结合端点值即可求解. 【详解】（1）由题可得， 因为函数在时取得极值，所以， 此时， 所以当时，时， 所以函数在时取得极值，所以； （2）由（1）可得， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以函数最小值为. 17．（本题15分）已知函数． (1)在单调递减，求m的取值范围； (2)若有两个不同的零点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）题设等价于恒成立，结合分离参数法求最值即可求解； （2）求导，通过讨论，讨论函数单调性、函数值情况即可求解. 【详解】（1）由题意， 因为在单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 又当且仅当即时取等号， 所以，即m的取值范围是； （2）由，得，定义域为， 当时，在恒成立，故在单调递减， 则在最多有一个零点，不合题意，舍去； 当时，令得， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 且当时，，所以， 当时，， 因为此时，所以， 要使得在有两个不同的零点， 只需满足即可，解得，又， 所以， 综上可知：在有两个不同的零点，的取值范围是. 18．（本题17分）已知函数，． (1)若有2个零点，求a的取值范围； (2)当时，证明：在上恒成立． 【答案】(1) (2) 当时，， 要证在上恒成立，即证在上恒成立， 设，，，， 和在均单调递增，故在单调递增， ，， 故存在使得，且， 在单调递减，在单调递增， ， 又因为，所以， 所以在上恒成立． 【分析】（1）根据函数的零点个数，列式构造函数求出导函数，根据导函数正负得出函数值域即可列式得出参数范围； （2）将代入构造函数，再根据导函数得出函数单调性进而得出最小值即可证明. 【详解】（1）由有2个零点，故，令， 则与的图象有2个交点， ，时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，且当时，， 当趋向于正无穷时，趋向于于0， 当时，与的图象有2个交点， 故的取值范围是． （2）略 19．（本题17分）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若，试讨论的单调性； (3)是否存在，使得在区间上的最小值为，若存在，求出，若不存在说明理由. 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）求定义域，求导，得到的单调性，进而得到函数极值情况； （2）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性； （3）由（2）可知，时，在上为减函数，在上为增函数，故分，，三种情况，根据函数最小值得到方程，求出. 【详解】（1）当时，，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以时，取极小值，无极大值； （2）因为，，若，恒成立，递增； 若，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，时，在上单调递增， 时，在上单调递减，在上单调递增． （3）由（2）可知，时，在上为减函数，在上为增函数． 假设存在，使得在区间上的最小值为， 若，即时，，解得，符合题意； 若，即时，， 解得，舍去； 若，即时，，解得，舍去． 综上所述，存在，使得在区间上的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 2．（本题5分）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 4．（本题5分）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）若函数的极小值为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）某火车每小时电力消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为时，每小时电力消耗费用为40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为，要使从甲城开往乙城的总费用最少，则速度应为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列函数在定义域上为增函数的有（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）如下图是的导函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A．在区间上单调递增 B．是的极小值点； C．在区间上单调递增，在区间上单调递减 D．在处取最大值 11．（本题6分）记为函数的阶导数，，若存在，则称阶可导.英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称其为在处的次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值.下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．在处的3次泰勒多项式为 D． 三、填空题 12．（本题5分）若，则________． 13．（本题5分）函数，的最小值是________. 14．（本题5分）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是____． 四、解答题 15．（本题13分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 16．（本题15分）已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 17．（本题15分）已知函数． (1)在单调递减，求m的取值范围； (2)若有两个不同的零点，求m的取值范围． 18．（本题17分）已知函数，． (1)若有2个零点，求a的取值范围； (2)当时，证明：在上恒成立． 19．（本题17分）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若，试讨论的单调性； (3)是否存在，使得在区间上的最小值为，若存在，求出，若不存在说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $