高中数学单元测试——第4章数列（适中版02）

**基本信息** 本卷为高中数学数列单元复习卷，以基础巩固与能力提升为梯度，融合数学文化（如毕达哥拉斯五边形数）与创新情境（如“积扩充”问题），全面覆盖数列核心知识，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|等差等比数列基本量计算（如第1题递推求项）、概念辨析（第2题等比中项）|基础题型为主，注重概念理解| |多选题|3题18分|数列定义（第9题）、等差数列性质（第10题）|强化知识辨析与性质综合应用| |填空题|3题15分|等比数列性质（第12题）、递推数列（第13题）|聚焦关键技能，难度适中| |解答题|5题77分|等差等比综合（第15题）、新定义“积扩充”探究（第19题）|突出逻辑推理与创新意识，贴合高考命题趋势|

高中数学单元测试 —— 第4章 数列（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知数列满足，，则（    ） A．2028 B．2029 C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式可得答案. 【详解】因为，所以数列是等差数列，且公差为， 所以. 故选：C 2．（本题5分）三个数成等比数列，的值为（   ） A．2 B．8 C．16 D． 【答案】C 【分析】利用等比中项求解即可. 【详解】因为三个数成等比数列， 所以，解得， 故选：C 3．（本题5分）某数列前12项依次是，则数列中的值应为（   ） A．56 B．60 C．62 D．64 【答案】B 【分析】观察数列，找到规律，即可求解. 【详解】观察数列，易知奇数项和偶数项规律不同. 奇数项为 则，，，，易知， 所以. 故选：B. 4．（本题5分）已知等差数列中，，，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意利用等差数列下标和性质运算求解. 【详解】因为数列为等差数列，则， 即，所以. 故选：D. 5．（本题5分）已知为正项等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C．15 D．63 【答案】D 【分析】由等比数列前项和公式结合条件即可求得公比，进而求得的值. 【详解】因为，且， 所以有，即， 则有，所以公比， 所以， 故选：D． 6．（本题5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，5，12，22称为五边形数，则五边形数所构成的数列的第5项是（ ） A．32 B．35 C．51 D．70 【答案】B 【分析】根据题图确定五边形中小石子增量关系，法1：根据规律写出第5项，法2：总结归纳得到第个五边形数为，即可得. 【详解】观察规律：第1项1，第2项5，第3项12，第4项22， 所以增量依次为，构成公差为3的等差数列， 法1：依上知，第5项为， 法2：总结归纳知，第个五边形数为， 当时，. 故选：B 7．（本题5分）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用递推公式，可得是等比数列，求出通项，分奇偶讨论可得答案. 【详解】由，得，得， 则是首项为，公比为的等比数列， 所以，即． 当为奇数时，为递增数列， 所以，即． 当为偶数时，为递减数列， 所以，所以． 又，所以，所以. 故选：C 8．（本题5分）已知数列满足，，，为数列的前项和，则（   ） A． B． C．的最大值为20 D． 【答案】D 【分析】首先计算数列的奇数项和偶数项，可得出选项A，分别计算奇数项的和，偶数项的和，相加得，可得出选项B，分别计算前n项和的最大值，可得出选项C，代入的公式可得出选项D. 【详解】奇数项 ，构成首项为8、公差为 的等差数列. 通项； 偶数项： ，构成周期为2的周期数列；， 通项：， 选项A，，对应， ，选项A 错误. 选项B，为偶数， 奇数项和：， 偶数项和：， ， 为奇数， 偶数项和：， ， 选项B 错误. 选项C，由 为偶数，， 为奇数，， 开口向下的二次函数，对称轴都为， 所以， ，C错误. D. ， ，即 ， ， ， ， ，选项D 正确. 故选：D 二、多选题 9．（本题6分）下列有关数列的说法正确的是（   ） A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 【答案】BC 【分析】A选项，根据数列的定义作出判断；B选项，，B正确；C选项，观察得到第8个数是；D选项，，故D错误. 【详解】A选项，数列，0，4中，， 数列4，0，中，，不是同一个数列，A错误； B选项，，则110是该数列的第11项，B正确； C选项，在数列，，，，，....，第8个数是，C正确； D选项，，故通项公式不为，D错误. 故选：BC 10．（本题6分）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（   ） A．数列是递增数列 B． C． D．当取得最大值时， 【答案】BC 【分析】设等差数列的公差为，由条件不等式，利用等差数列求和公式推出，，即可对选项逐一判断. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意可得：， ， 即，，且，即B、C正确； 因，故数列是递减数列，故A错误； 因，，即当取得最大值时，，故D错误. 故选：BC. 11．（本题6分）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据等积数列的定义求得通项公式，即可判断可选项. 【详解】对于A，由题可知，对任意的，， 则对任意的，，所以，，故，A对； 对于B，，所以，由A可知，，所以，B对； 对于C，，C错； 对于D，因为，所以，D对. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）在等比数列中，若，则_________. 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式直接求解. 【详解】设等比数列的公比为，由题得，， 所以，解得. 所以. 故答案为：. 13．（本题5分）数列是正项数列，若，且，，则_______． 【答案】3 【分析】首先求得，，结合得即可求解. 【详解】因为，，所以，， 即，， 又因为，所以，， 因为，，所以， 所以， 所以. 故答案为：3. 14．（本题5分）已知数列满足，则的前n项和的最小值是______． 【答案】/ 【分析】由通项公式变形得出为等差数列，写出等差数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，然后分析求出数列的前n项和的最小值即可. 【详解】由，可得， 所以为等差数列，首项为，公差为2， 所以，则，则， 当时，，所以数列的前n项和的最小值为： ， 故答案为：． 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据给定条件，列出关于公差、公比的方程组，求解即可得通项公式. （2）利用分组求和法，结合等差、等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列的公比为q， 由，得，而，解得，， 所以， （2）由（1）得，，设数列的前n项和为， 则 16．（本题15分）记正项数列的前项和为，已知， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项的和，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由可求得数列的通项公式； （2）求得，利用裂项求和法可求得，即可证得结论成立. 【详解】（1）当时， 而时，满足，. （2）因为， 所以 因为，所以，. 17．（本题15分）已知数列的前项和为，且 (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式及前项和． 【答案】(1) 数列中，，则， 则，又， 所以数列是首项为公比为的等比数列，. (2)，. 【分析】（1）数列中，，变形为，利用等比数列的定义即可证明． （2）由（1）可得：，即可得出数列的通项，利用错位相减法求数列的前项和． 【详解】（1）略 （2）由（1）可得：，因此， 数列前项和为， 可得， 两式相减可得， 所以. 18．（本题17分）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间的个数，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系得到，即可求解； （2）根据（1）可得，从而有时，，再对讨论，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 两式相减得，得到，又，则， 又当时，，所以，得到，满足， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知， 所以当时，， 所以，当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 所以. 19．（本题17分）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为． (1)求和； (2)求和． (3)求数列的前项积． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据“积扩充”的概念直接求解即可； （2）由题意，变形为，然后利用等比数列的定义及通项公式求得；设，则，即，然后利用等比数列的定义及通项公式求得，进而得； （3）对两边取对数得，结合等比数列求和公式利用并项求和法求得，即可得解. 【详解】（1）由题意，，，. （2），所以， 又因为，所以，所以， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即； 设，则，即， 又因为，所以，所以， 所以数列是以6为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 所以. （3）要求， 只需求， 又， 所以 ， 所以，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第4章 数列（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知数列满足，，则（    ） A．2028 B．2029 C． D． 2．（本题5分）三个数成等比数列，的值为（   ） A．2 B．8 C．16 D． 3．（本题5分）某数列前12项依次是，则数列中的值应为（   ） A．56 B．60 C．62 D．64 4．（本题5分）已知等差数列中，，，则（   ） A． B． C． D．3 5．（本题5分）已知为正项等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C．15 D．63 6．（本题5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，5，12，22称为五边形数，则五边形数所构成的数列的第5项是（ ） A．32 B．35 C．51 D．70 7．（本题5分）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知数列满足，，，为数列的前项和，则（   ） A． B． C．的最大值为20 D． 二、多选题 9．（本题6分）下列有关数列的说法正确的是（   ） A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 10．（本题6分）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（   ） A．数列是递增数列 B． C． D．当取得最大值时， 11．（本题6分）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）在等比数列中，若，则_________. 13．（本题5分）数列是正项数列，若，且，，则_______． 14．（本题5分）已知数列满足，则的前n项和的最小值是______． 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 16．（本题15分）记正项数列的前项和为，已知， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项的和，求证：. 17．（本题15分）已知数列的前项和为，且 (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式及前项和． 18．（本题17分）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间的个数，求数列的前项和. 19．（本题17分）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为． (1)求和； (2)求和． (3)求数列的前项积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $