高中数学单元测试——第4章数列（较难版01）

**基本信息** 高中数学第4章数列单元复习卷（较难版），通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查等差等比数列性质、前n项和及新定义问题，适配单元复习，培养数学思维与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|等差等比基本量计算（如第1题公差）、充分必要条件（第2题）|基础巩固，聚焦概念辨析| |多选题|3题18分|数列概念（第9题）、等差数列前n项和性质（第10题）|能力提升，考查逻辑推理| |填空题|3题15分|等比数列单调性（第12题）、递推关系（第13题）|深化理解，突出运算能力| |解答题|5题77分|等差等比综合应用（第15题）、新定义类等积数列（第11题）、实际情境（第6题毕达哥拉斯数）|创新应用，培养数学眼光与建模能力|

高中数学单元测试 —— 第4章 数列（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在等差数列中，，，则公差（   ） A． B．3 C． D．6 2．（本题5分）“”是“成等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（本题5分）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）在等差数列中，，，则（   ） A． B． C．1 D．2 5．（本题5分）已知数列为等比数列，首项，公比，前n项和，则n=（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（本题5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为正方形数，第三行的，，，称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第项分别为（   ）      A．， B．， C．， D．， 7．（本题5分）已知数列的前项和为，，若恒成立，则整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（本题5分）已知数列满足，，则数列的前2026项和为（     ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 二、多选题 9．（本题6分）下面四个结论正确的是（    ） A．数列的项数是无限的 B．数列的图像是一系列孤立的点 C．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 D．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数 10．（本题6分）设等差数列的前项和为，公差为，已知，，则下列选项正确的有（    ） A．最小时， B．时，的最小值为16 C．数列是递增数列 D． 11．（本题6分）定义：在一个任何一项都不为0的数列中，从第一项开始，连续三项的积都为同一个常数，称这个数列为类等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知类等积数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．公积为3 D． 三、填空题 12．（本题5分）等比数列为递减数列，若，，则_______ 13．（本题5分）数列是正项数列，若，且，，则_______． 14．（本题5分）已知正项数列满足，且，若存在，使得，则__________. 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 16．（本题15分）记正项数列的前项和为，已知， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项的和，求证：. 17．（本题15分）已知数列的前项和为，且 (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式及前项和． 18．（本题17分）已知数列的前项和为，其中，；数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； 19．（本题17分）已知数列共有m（，）项，且各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为． (1)若数列为求T； (2)若是等比数列，且， ． （i）求； （ii）令（），若，求m的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第4章 数列（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在等差数列中，，，则公差（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】由等差数列的定义计算即可. 【详解】公差. 故选：B． 2．（本题5分）“”是“成等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用推出关系来判断即可. 【详解】当时，如，此时不能成等比数列，故充分性不成立， 当成等比数列，可以推出，故必要性成立， 所以“”是“成等比数列”的必要不充分条件， 故选：B. 3．（本题5分）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给数列，写出数列的一个通项公式，再求解第8项. 【详解】记数列为，通过观察分子分母的特征，可得数列的一个通项公式为，. 故选：B 4．（本题5分）在等差数列中，，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用等差数列下标和的性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质得，则， 又，所以． 故选：D. 5．（本题5分）已知数列为等比数列，首项，公比，前n项和，则n=（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等比数列求和公式直接计算即可. 【详解】因为数列为等比数列，首项，公比，前n项和， 所以，整理得，∴. 故选：C. 6．（本题5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为正方形数，第三行的，，，称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第项分别为（   ）      A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】设正方形数构成的数列为，五边形数构成的数列为，根据这两个数列前四项的值，可归纳得出、的值. 【详解】设正方形数构成的数列为，五边形数构成的数列为， 则，，，，由此得出， ，，，， 由此得出. 故选：B. 7．（本题5分）已知数列的前项和为，，若恒成立，则整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据与的关系及等差数列的定义可得，是以为首项，2为公差的等差数列，然后利用等差数列求和公式求得，然后分离参数得，根据恒成立求解即可. 【详解】由①，得②， ①-②得， 整理得，所以是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以，整理可得， 又因为，所以，即整数的最大值是5. 故选：B. 8．（本题5分）已知数列满足，，则数列的前2026项和为（     ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】A 【分析】写出数列的前几项，发现规律，利用数列的周期性求解问题. 【详解】，可以发现数列是周期为3的周期数列， 可以发现数列是周期为3的周期数列， 因为 所以数列的前2026项和为. 二、多选题 9．（本题6分）下面四个结论正确的是（    ） A．数列的项数是无限的 B．数列的图像是一系列孤立的点 C．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 D．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数 【答案】BD 【分析】由数列概念判断各选项正误即可得答案. 【详解】A选项，有限数列的项数是有限的，故A错误； B选项，因数列的项数均为正整数，则若将项数作为横坐标，项作为纵坐标画在平面直角坐标系中，则相应图象为一系列孤立的点，故B正确. C选项，相同数列是指，两个数列，相同的项数对应相同的项，则数列1，2，3，4和数列1，3，4，2不是相同的数列，故C错误； D选项，因数列的项数均为正整数，项数与项一一对应，且分为有限数列与无限数列，则数列可看作定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数，故D正确. 故选：BD 10．（本题6分）设等差数列的前项和为，公差为，已知，，则下列选项正确的有（    ） A．最小时， B．时，的最小值为16 C．数列是递增数列 D． 【答案】AC 【分析】由等差数列的和的公式和等差数列的性质，得到，再结合已知，得到，进而分析可以判定各选项. 【详解】由，则， 又，则，D错误；当最小时，，故A正确； 所以，数列是递增数列，故C正确； 对于B，由上分析，当时，，当时，， 又，又，所以时，的最小值为15，故B错误； 故选：AC. 11．（本题6分）定义：在一个任何一项都不为0的数列中，从第一项开始，连续三项的积都为同一个常数，称这个数列为类等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知类等积数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．公积为3 D． 【答案】AC 【分析】根据已知新定义计算判断A，C，应用周期性计算求和判断B，分类计算判断D. 【详解】对于A，由，得正确； 对于B，由A知，该数列的周期为3，由，得，解得错误； 对于C，由B知，正确； 对于D，当时，，当时，，当时，错误； 故选：AC. 三、填空题 12．（本题5分）等比数列为递减数列，若，，则_______ 【答案】 【分析】根据等比数列基本量的计算求出，结合等比数列的通项公式计算即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，解得或， 又，所以， 又因为该等比数列为递减数列，所以， 所以. 故答案为： 13．（本题5分）数列是正项数列，若，且，，则_______． 【答案】3 【分析】首先求得，，结合得即可求解. 【详解】因为，，所以，， 即，， 又因为，所以，， 因为，，所以， 所以， 所以. 故答案为：3. 14．（本题5分）已知正项数列满足，且，若存在，使得，则__________. 【答案】30 【分析】根据题意可得为等差数列，从而得到，利用裂项相消求出即可求解. 【详解】，则， 两边同除以得：，即， 为等差数列，设数列的公差为， 又， 则， ， 即，解得， ， ， . ∴解得. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据给定条件，列出关于公差、公比的方程组，求解即可得通项公式. （2）利用分组求和法，结合等差、等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列的公比为q， 由，得，而，解得，， 所以， （2）由（1）得，，设数列的前n项和为， 则 16．（本题15分）记正项数列的前项和为，已知， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项的和，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由可求得数列的通项公式； （2）求得，利用裂项求和法可求得，即可证得结论成立. 【详解】（1）当时， 而时，满足，. （2）因为， 所以 因为，所以，. 17．（本题15分）已知数列的前项和为，且 (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式及前项和． 【答案】(1) 数列中，，则， 则，又， 所以数列是首项为公比为的等比数列，. (2)，. 【分析】（1）数列中，，变形为，利用等比数列的定义即可证明． （2）由（1）可得：，即可得出数列的通项，利用错位相减法求数列的前项和． 【详解】（1）略 （2）由（1）可得：，因此， 数列前项和为， 可得， 两式相减可得， 所以. 18．（本题17分）已知数列的前项和为，其中，；数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据，求出的通项公式，根据通项公式研究数列各项正负情况，进而得到的前项和. 【详解】（1）， 时，有， 时有， ， ， 又，也符合上式， 故数列是首项为1，公比为2的等比数列， . （2）， 时，， 时有， ，又，也符合上式， 所以， 当时，当时， 当时，， 当时，. 故. 19．（本题17分）已知数列共有m（，）项，且各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为． (1)若数列为求T； (2)若是等比数列，且， ． （i）求； （ii）令（），若，求m的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）7． 【分析】（1）利用列举求解，即可得集合； （2）（i）先求等比数列的通项公式，再利用组合数思想可确定，然后给出证明即可； （ii）利用裂项求和思想，再结合奇偶项讨论，最后可利用数列递推关系求最大项思想求解. 【详解】（1）因为数列为所以， ，，则． （2）（i）设等比数列的公比为，由各项为正整数可得， 由题意可知， ， 即，解得或（舍去）， 所以． 因为，所以集合T中元素最多为个，即． 对于数列，，，，，此时， 若存在，即，其中，， 故． 若，不妨设，则，而，， 故为偶数，为奇数，矛盾，故，， 故由，，，…，得到彼此互异，所以． （ii）由（i）知，（） 所以（）， 则 ． ①当n为奇数时，，从而． ②当n为偶数时，． 令，则（）， 当时，单调递增． 又因为 ， ， 所以m的最大值为7． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $