高中数学单元测试——第四章数列（适中版02）

**基本信息** 高中数学第四章数列单元复习卷，覆盖等差等比数列、递推关系及新定义问题，通过基础巩固到创新应用的梯度设计，培养数学抽象、推理能力与应用意识，适配单元知识整合与核心素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等差等比基本量、充分必要条件|融入古希腊数学文化（第6题），考查数学眼光| |多选题|3/18|数列概念、等差数列性质、“等积数列”新定义|通过辨析与新情境，发展推理意识| |填空题|3/15|等比数列公比、递推数列、前n项和最小值|聚焦关键能力，强化符号表达| |解答题|5/77|等差等比综合、数列证明、前n项和计算|多问递进，如第19题等项数对证明，综合考查数学思维与论证能力|

高中数学单元测试 —— 第四章 数列（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在等差数列中，，，则公差（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】由等差数列的定义计算即可. 【详解】公差. 故选：B． 2．（本题5分）“”是“成等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用推出关系来判断即可. 【详解】当时，如，此时不能成等比数列，故充分性不成立， 当成等比数列，可以推出，故必要性成立， 所以“”是“成等比数列”的必要不充分条件， 故选：B. 3．（本题5分）已知数列，则是它的（    ） A．第9项 B．第10项 C．第13项 D．第12项 【答案】C 【分析】首先得出数列的通项公式，然后解方程即可求解. 【详解】数列，即数列的通项公式是， 令，所以是它的第13项. 故选：C. 4．（本题5分）已知等差数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用等差数列的性质，若，则，即可得解. 【详解】因为是等差数列，则有，又，所以． 故选：D． 5．（本题5分）已知数列为等比数列，首项，公比，前n项和，则n=（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等比数列求和公式直接计算即可. 【详解】因为数列为等比数列，首项，公比，前n项和， 所以，整理得，∴. 故选：C. 6．（本题5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为正方形数，第三行的，，，称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第项分别为（   ）      A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】设正方形数构成的数列为，五边形数构成的数列为，根据这两个数列前四项的值，可归纳得出、的值. 【详解】设正方形数构成的数列为，五边形数构成的数列为， 则，，，，由此得出， ，，，， 由此得出. 故选：B. 7．（本题5分）在数列中，，，若不等式 对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列的前n项和与通项之间的关系推出，结合题意可得，设，结合数列单调性可得的最大值，即可得结果. 【详解】因为，， 当时，则， 两式相减可得：，即， 且，即，可知数列是各项均为的常数列， 所以，即. 因为，即，可得， 设，则， 令，解得， 当时，数列递增；当时，；当时，数列递减， 所以的最大值为. 因为对恒成立， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：C. 8．（本题5分）已知数列满足，，，为数列的前项和，则（   ） A． B． C．的最大值为20 D． 【答案】D 【分析】首先计算数列的奇数项和偶数项，可得出选项A，分别计算奇数项的和，偶数项的和，相加得，可得出选项B，分别计算前n项和的最大值，可得出选项C，代入的公式可得出选项D. 【详解】奇数项 ，构成首项为8、公差为 的等差数列. 通项； 偶数项： ，构成周期为2的周期数列；， 通项：， 选项A，，对应， ，选项A 错误. 选项B，为偶数， 奇数项和：， 偶数项和：， ， 为奇数， 偶数项和：， ， 选项B 错误. 选项C，由 为偶数，， 为奇数，， 开口向下的二次函数，对称轴都为， 所以， ，C错误. D. ， ，即 ， ， ， ， ，选项D 正确. 故选：D 二、多选题 9．（本题6分）下列有关数列的说法正确的是（   ） A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 【答案】BC 【分析】A选项，根据数列的定义作出判断；B选项，，B正确；C选项，观察得到第8个数是；D选项，，故D错误. 【详解】A选项，数列，0，4中，， 数列4，0，中，，不是同一个数列，A错误； B选项，，则110是该数列的第11项，B正确； C选项，在数列，，，，，....，第8个数是，C正确； D选项，，故通项公式不为，D错误. 故选：BC 10．（本题6分）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（   ） A．数列是递增数列 B． C． D．当取得最大值时， 【答案】BC 【分析】设等差数列的公差为，由条件不等式，利用等差数列求和公式推出，，即可对选项逐一判断. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意可得：， ， 即，，且，即B、C正确； 因，故数列是递减数列，故A错误； 因，，即当取得最大值时，，故D错误. 故选：BC. 11．（本题6分）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据等积数列的定义求得通项公式，即可判断可选项. 【详解】对于A，由题可知，对任意的，， 则对任意的，，所以，，故，A对； 对于B，，所以，由A可知，，所以，B对； 对于C，，C错； 对于D，因为，所以，D对. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）已知等比数列，，，则公比____. 【答案】 【分析】由等比数列的性质计算可得. 【详解】由题意得， 解得. 故答案为：2. 13．（本题5分）已知数列，满足，，则______. 【答案】 【分析】根据条件可得，然后求和即可. 【详解】由，，可得， . 故答案为： 14．（本题5分）已知数列满足，则的前n项和的最小值是______． 【答案】/ 【分析】由通项公式变形得出为等差数列，写出等差数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，然后分析求出数列的前n项和的最小值即可. 【详解】由，可得， 所以为等差数列，首项为，公差为2， 所以，则，则， 当时，，所以数列的前n项和的最小值为： ， 故答案为：． 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据给定条件，列出关于公差、公比的方程组，求解即可得通项公式. （2）利用分组求和法，结合等差、等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列的公比为q， 由，得，而，解得，， 所以， （2）由（1）得，，设数列的前n项和为， 则 16．（本题15分）已知数列的前项的和为，数列是公差为1的等差数列． (1)证明：数列是公差为2的等差数列； (2)设数列的前项的和为，若，证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合与之间的关系进行求解证明即可； （2）根据（1）的结论，结合裂项相消法进行求解证明即可. 【详解】（1）因为数列是公差为1的等差数列，所以． 从而可得． 当时，． 即可得，所以数列是公差为2的等差数列； （2）根据第（1）问数列是公差为2的等差数列可得， 从而可得． 所以数列的通项公式． 所以． 从而可得． 所以成立． 17．（本题15分）记数列的前项和为，已知. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) 由题意得：当时，， 当时，由有：， 所以，即，所以， 所以， 所以数列是以为公比，首项为的等比数列； (2) 【分析】（1）由，结合等比数列的定义即可得证； （2）利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）有， 所以， 所以①， ②， 由①②有： ， 所以. 18．（本题17分）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3) 因为，所以， 又当时，，即，所以， 所以， 所以 ，得证. 【分析】（1）根据与的关系求解； （2）利用错位相减法求解； （3）利用放缩求和证明. 【详解】（1）当时，； 当时，； 又， 所以 （2）因为，，所以. 所以. 所以①， 所以②， 所以①②得 ， 所以 （3）略 19．（本题17分）在数列中，，且． (1)求的通项公式． (2)证明：． (3)若数列中存在两项，，使得，则称为数列的等项数对．证明：的等项数对唯一． 【答案】(1)； (2)证明：设， 则， 则， 因为，所以． (3)证明：由（1）知，， 当时，，当时，， 所以，注意到， ，，，，， 所以的等项数对唯一，且唯一等项数对为． 【分析】（1）先证明为等差数列，然后可得通项； （2）利用错位相减法求出，然后可证； （3）判断数列单调性可得，然后验证前几项即可得证. 【详解】（1）因为，，所以， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，得． （2）略 （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 数列（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在等差数列中，，，则公差（   ） A． B．3 C． D．6 2．（本题5分）“”是“成等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（本题5分）已知数列，则是它的（    ） A．第9项 B．第10项 C．第13项 D．第12项 4．（本题5分）已知等差数列满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知数列为等比数列，首项，公比，前n项和，则n=（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（本题5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为正方形数，第三行的，，，称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第项分别为（   ）      A．， B．， C．， D．， 7．（本题5分）在数列中，，，若不等式 对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知数列满足，，，为数列的前项和，则（   ） A． B． C．的最大值为20 D． 二、多选题 9．（本题6分）下列有关数列的说法正确的是（   ） A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 10．（本题6分）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（   ） A．数列是递增数列 B． C． D．当取得最大值时， 11．（本题6分）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）已知等比数列，，，则公比____. 13．（本题5分）已知数列，满足，，则______. 14．（本题5分）已知数列满足，则的前n项和的最小值是______． 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 16．（本题15分）已知数列的前项的和为，数列是公差为1的等差数列． (1)证明：数列是公差为2的等差数列； (2)设数列的前项的和为，若，证明． 17．（本题15分）记数列的前项和为，已知. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 18．（本题17分）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 19．（本题17分）在数列中，，且． (1)求的通项公式． (2)证明：． (3)若数列中存在两项，，使得，则称为数列的等项数对．证明：的等项数对唯一． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $