高中数学单元测试——第2章圆与方程（较易版01）

**基本信息** 高中数学第2章圆与方程单元复习卷（较易版），覆盖圆的方程、位置关系等核心知识，梯度合理，适配单元巩固与基础能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|圆的方程（1）、点与圆位置（2）、直线与圆位置（3-6）|基础概念辨析，突出几何直观| |多选题|3/18|圆与圆位置（10）、曲线性质（11）|多角度考查推理能力，选项层次分明| |填空题|3/15|切线方程（12）、圆相交条件（13）|强化运算能力，注重知识应用| |解答题|5/77|轨迹方程（19）、台风问题（18）|结合实际情境（台风移动）考查模型观念，探究性问题（19②）发展创新意识|

高中数学单元测试 —— 第2章 圆与方程（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）圆C的圆心坐标和半径分别是（    ） A．，4 B．，4 C．，2 D．，2 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程可得圆心和半径. 【详解】由题意可知圆的圆心坐标为，半径是2. 故选：C. 2．（本题5分）已知圆的方程为，则点在（    ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】根据该点到圆心的距离与圆的半径进行比较即可. 【详解】圆心为，半径为， 因为， 所以在圆外， 故选：C 3．（本题5分）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】由题意可得直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程即可求解. 【详解】圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过点， 所以，解得. 故选:A. 4．（本题5分）直线与圆相交的充分不必要条件可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆心到直线的距离小于半径，求得的范围即可求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为1， 由直线与圆相交，得，即，得， 结合选项可知：直线与圆相交的充分不必要条件可以是. 故选：C. 5．（本题5分）直线被圆所截得的弦长为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先求出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，即可得出的值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由垂径定理，得点到直线距离为， 根据点到直线距离公式，知圆心到直线的距离， 化简可得，解得. 故选：A. 6．（本题5分）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由题意可求出的最小值，结合圆的性质，利用勾股定理可求得的最小值. 【详解】设点的坐标为，，圆的圆心坐标为，半径， 则 由圆的几何性质可得， 又， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 故选：C 7．（本题5分）一条东西走向的高速公路沿线有三座城市，其中在正西处，在正东处，台风中心在城市西偏南方向处，且以每小时的速度沿东偏北方向直线移动，距台风中心内的地区必须保持一级警戒，则从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出示意图计算从地解除一级警戒到地进入一级警戒台风的路程，然后计算时间即可. 【详解】    作于，作于， 直线的方程为， 故 又可得，， ， 从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间为小时. 故选：A 8．（本题5分）已知点，动点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意求出动点的轨迹方程，再根据的几何意义，将原问题转化为直线与圆的交点问题. 【详解】因为点，动点满足， 所以，整理得， 即动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 又因为表示点与点连线的斜率，记为， 设过点的直线方程为，即， 则直线与圆有交点， 所以，解得， 即的取值范围是. 故选：D 二、多选题 9．（本题6分）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ）． A．圆C的圆心坐标为 B．直线l与圆C相交 C．圆与圆C相切 D．圆C上存在4个点到直线l的距离为1 【答案】ABD 【分析】对于A，将圆方程化为标准式可判断选项正误；对于B，比较圆心到直线距离与圆半径大小可判断选项正误；对于C，比较两个圆心之间的距离与两圆半径之和与半径之差大小可判断选项正误；对于D，利用到直线的距离为1的直线与圆的位置关系可判断选项正误. 【详解】因为，所以， 圆C的圆心坐标为，故A正确； 圆心C到直线的距离为， 所以直线l与圆C相交，故B正确； 圆与圆C两圆心距离， 两圆半径之和为，半径之差为， 因为，故两圆相交，故C错误； 因为圆心C到直线的距离为，所以， 圆C上存在4个点到直线l的距离为1，故D正确. 故选：ABD. 10．（本题6分）已知圆和圆，分别是圆，圆上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆有四条公切线 B．的取值范围是 C．是圆与圆的一条公切线 D．过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得 【答案】ABD 【分析】对于A，根据两圆心之间的距离与半径和的比较，确定两圆的位置关系，可得答案； 对于B，根据圆外离的基本性质，可得答案； 对于C，根据公切线与圆心连线的位置关系以及距离，建立方程，可得答案； 对于D，根据直线与圆相切的性质，可得答案. 【详解】对于选项A，由题意可得，圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径， 因为两圆圆心距，所以两圆外离，有四条公切线，A正确； 对于B选项，的最大值等于，最小值为，B正确； 对于C选项，显然直线与直线平行， 因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线， 设直线为，则两平行线间的距离为2，即，故，故C不正确； 对于D选项，易知当时，四边形为正方形，故当时，，故D正确， 故选：ABD. 11．（本题6分）曲线，是曲线上任意两点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的图象有且仅有条对称轴 B．曲线所围成的面积为 C．的最大值为 D．记曲线上任意一点，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】分类讨论可得四个象限中曲线的方程，由此可得曲线的图象；根据图象对称性可知AB正误；根据曲线内切于圆可知C正确；将转化为曲线上的点到直线的距离的倍，结合图形可求得D正确. 【详解】当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即； 可作出曲线的图象如下图所示（含坐标原点）， 对于A，由图象可知：曲线关于轴，直线，对称，A错误； 对于B，在第一象限中，曲线围成的图象面积为， 曲线所围成的图形面积为，B正确； 对于C，曲线内切于圆，且切点在上，如下图所示， 则的最大值即为圆的直径，，C正确； 对于D，， 的几何意义为曲线上的点到直线的距离的倍； 曲线上的点到直线的距离的最小值为， 的最小值为，D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（本题5分）过点与圆：相切的直线方程为______. 【答案】 【分析】易知点在圆上，根据圆的切线性质进行求解即可. 【详解】易知点在圆上，故所求切线与直线垂直， 又，所以所求切线斜率， 故所求切线方程为，即. 故答案为：. 13．（本题5分）若圆与圆相交，则的一个取值为______． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】求出两圆圆心坐标与半径，求出圆心距，即可得到不等式组，从而求出的取值范围，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 又点与的距离， 因为圆与圆相交， 所以，即，即，解得； 所以的取值范围为， 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 14．（本题5分）已知圆，若点是圆上的动点，则的最小值为___________． 【答案】5 【分析】先由确定出点坐标，将转化为，再根据三点共线确定出的最小值. 【详解】设存在使得恒成立， 因为，所以， 化简可得， 又因为点在圆上运动，所以， 两方程对比可得，，解得， 所以存在使得恒成立，即， 所以，如图所示， 当且仅当三点共线且点在两点之间时，取最小值， 此时， 故答案为：．      四、解答题 15．（本题13分）求下列圆的方程 (1)圆经过坐标原点，和； (2)圆的圆心在x轴上，并且过和两点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为，依题意得到方程组，解得即可； （2）设圆心坐标为，半径为，则其标准方程为，根据圆过和两点得到方程组，解得、，即可得解. 【详解】（1）解：设圆的方程为， 依题意可得，解得， 所以圆的方程为，即. （2）解：根据题意，设圆心坐标为，半径为， 则其标准方程为， 由于点和在圆上，则有①， ②， 解可得，， 故圆的标准方程为； 16．（本题15分）已知圆，直线． (1)判断直线与圆的位置关系； (2)求经过点的圆的切线方程． 【答案】(1)相离 (2)和 【分析】（1）首先求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断； （2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出，即可得解. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离. （2）过点的斜率不存在的直线方程为， 满足圆心到的距离为，符合题意； 当斜率存在时，设直线方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线方程为，即， 综上可得过点的圆的切线方程为和. 17．（本题15分）已知关于x，y的方程. (1)若该方程表示圆C，求m的取值范围； (2)若圆C与圆外切，求m的值； (3)若（2）中的圆C与经过点的直线l相交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)4； (3)或. 【分析】（1）化给定方程为，利用方程表示圆，即可求出范围. （2）根据给定条件，利用两圆相外切，列出方程，求出的值. （3）由（2）求出圆的方程，由圆的弦长公式求出圆心到直线l的距离，再按斜率存在与否分类求出方程. 【详解】（1）方程，变形得， 由方程表示圆，得，解得， 所以实数的取值范围为. （2）由圆，得，此圆圆心，半径为， 又圆的圆心，半径， 由圆与圆相外切，得，即， 所以. （3）由（2）知，圆的圆心，半径， 由圆的弦长，得圆心到直线的距离， 圆心到直线的距离为，且直线过点，因此直线方程可以是； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由，解得，直线的方程为， 所以直线l的方程为或. 18．（本题17分）某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东角（为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心km以内会受其影响. (1)若此人刚好不被台风影响，求的最大值； (2)若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？ 【答案】(1)； (2)小时. 【分析】（1）由题设知，骑行路线正好与圆相切时此人不被台风影响，此时角最大，结合已知求最大的正切值即可. （2）写出此人骑行方向为北偏东所在直线的方程，再利用弦心距、圆的半径与弦长的几何关系求该直线被圆所截弦长，即可求此人被台风影响持续时间. 【详解】（1）由题意，如图，圆是以坐标原点为圆心，为半径的圆， 要使此人不被台风影响，骑行路线正好与圆相切时，角最大， 由，，则，知，则最大. （2）由题意，骑行路线所在直线方程为，圆心到直线的距离为， 该直线与圆相交的弦长为， 即此人被台风影响持续时间为.    19．（本题17分）已知点，，动点满足，其轨迹为. (1)求动点轨迹的方程； (2)过点的直线交轨迹于，两点， ①若，求直线的方程； ②求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）设，再利用两点间距离公式计算即可得； （2）①设出直线方程，借助韦达定理与向量数量积计算即可得；②借助韦达定理、点到直线距离公式与弦长公式计算即可得. 【详解】（1）设，则由可得， 化简得，即动点轨迹的方程为； （2）①若直线斜率不存在，则、分别为、， 此时，不符； 则直线斜率存在，设，、， 联立，消去得， 则，即， 有、， ， 即，则， 故直线的方程为或； ②若直线斜率不存在，此时不存在，不符，故直线斜率存在， ， 点到直线的距离， 则， 令，则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故面积的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第2章 圆与方程（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）圆C的圆心坐标和半径分别是（    ） A．，4 B．，4 C．，2 D．，2 2．（本题5分）已知圆的方程为，则点在（    ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不确定 3．（本题5分）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D．0 4．（本题5分）直线与圆相交的充分不必要条件可以是（ ） A． B． C． D． 5．（本题5分）直线被圆所截得的弦长为，则（    ） A． B． C． D．2 6．（本题5分）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 7．（本题5分）一条东西走向的高速公路沿线有三座城市，其中在正西处，在正东处，台风中心在城市西偏南方向处，且以每小时的速度沿东偏北方向直线移动，距台风中心内的地区必须保持一级警戒，则从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知点，动点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ）． A．圆C的圆心坐标为 B．直线l与圆C相交 C．圆与圆C相切 D．圆C上存在4个点到直线l的距离为1 10．（本题6分）已知圆和圆，分别是圆，圆上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆有四条公切线 B．的取值范围是 C．是圆与圆的一条公切线 D．过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得 11．（本题6分）曲线，是曲线上任意两点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的图象有且仅有条对称轴 B．曲线所围成的面积为 C．的最大值为 D．记曲线上任意一点，则的最小值为 三、填空题 12．（本题5分）过点与圆：相切的直线方程为______. 13．（本题5分）若圆与圆相交，则的一个取值为______． 14．（本题5分）已知圆，若点是圆上的动点，则的最小值为___________． 四、解答题 15．（本题13分）求下列圆的方程 (1)圆经过坐标原点，和； (2)圆的圆心在x轴上，并且过和两点． 16．（本题15分）已知圆，直线． (1)判断直线与圆的位置关系； (2)求经过点的圆的切线方程． 17．（本题15分）已知关于x，y的方程. (1)若该方程表示圆C，求m的取值范围； (2)若圆C与圆外切，求m的值； (3)若（2）中的圆C与经过点的直线l相交于M，N两点，且，求直线l的方程． 18．（本题17分）某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东角（为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心km以内会受其影响. (1)若此人刚好不被台风影响，求的最大值； (2)若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？ 19．（本题17分）已知点，，动点满足，其轨迹为. (1)求动点轨迹的方程； (2)过点的直线交轨迹于，两点， ①若，求直线的方程； ②求面积的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $